01 / 導讀
導讀
引用
Thompson, S. P., & Gardner, M. (1998). Calculus Made Easy (revised and expanded ed.). St. Martin's Press. Free public-domain edition of Thompson's original text (2nd ed., 1914): https://www.gutenberg.org/ebooks/33283
章節概要
西爾凡納斯・P・湯普森是一位物理學家，著有多部電學技術書籍。他在1910年匿名（署名「F.R.S.」）出版《Calculus Made Easy》，1914年推出增訂第二版，用他自己的話說，加入了「相當數量的例題與習題」。副標題說明了本書的宗旨：為那些「通常被冠上微分學與積分學這類嚇人名稱」的方法，提供「最最簡單的入門」。全書由一篇序曲與二十一章構成，後附「尾聲與辯白」、標準形式表，以及十九組習題的解答。馬丁・加德納修訂的1998年版保留了湯普森的正文，但據出版社介紹，加入了新的導論、三個新章節、全書語言與方法的現代化，以及一份練習題附錄；加德納的章節放在最前面，因此1998年版的章號與原書不同。以下概要依照湯普森的章節，它們是兩個版本的主體。
序曲與第I章：把你從最初的恐懼中解救出來
序曲定下全書基調（「一個傻瓜做得到的，另一個傻瓜也做得到」），並批評教科書作者掩蓋了簡單的部分其實有多簡單。接著第I章用兩段話消除「最初的恐懼」：d 只是「一點點」的意思，積分符號則是拉長的 S，意思是「所有這些一點點的總和」。
第II章：論不同程度的微小
湯普森藉由分與秒，以及以英鎊、先令與便士計的金額，說明微小量有一階與二階之分，而一個微小量再乘上另一個微小量的結果可以忽略。這個想法在全書中取代了形式化的極限。
第III章：論相對的增長
本章引入常數與變數，把導數說成一個變數的微小增長與另一個變數相應增長之比 dy/dx，並以長與寬同時改變的長方形等例子說明。
第IV–VI章：最簡單的情形；下一步：怎麼處理常數；和、差、積、商
從基本原理出發（讓 x 增長為 x + dx，展開，捨去二階微小量），湯普森推導出 x² 的導數，再推廣到 xⁿ，說明相加的常數會消失、相乘的常數則保留，並建立和、差、積、商的微分規則。每章都有習題。
第VII章：逐次微分
以 f(x)、f′(x)、f″(x) 的記號反覆微分，附少量習題。
第VIII章：當時間變動時
以時間為自變數：速度與加速度分別是一階與二階導數，並以火車、汽車、落下的石頭等運動說明。
第IX章：介紹一個好用的訣竅
也就是今日所謂連鎖律的代換：以一個字母取代複雜的內層式子，分兩步微分再相乘。
第X章：微分的幾何意義
把導數視為曲線的斜率，以許多作圖實例說明曲線在哪裡上升、下降與轉向。
第XI章：極大與極小
令導數為零以求最大值與最小值，搭配湯普森特有的工程問題（最經濟的尺寸、最有效率的配置）與一大組習題。
第XII章：曲線的彎曲
把二階導數視為斜率變化的速率，用來分辨極大與極小。
第XIII章：其他好用的訣竅
部分分式（用來簡化複雜分式的微分）與反函數的導數。
第XIV章：論真正的複利與有機成長定律
全書最長的一章。湯普森從單利與複利出發，把越來越頻繁計算複利的極限引向數 ε（e），接著發展指數級數、自然對數與「對數成長率」，再討論「衰減」曲線、牛頓冷卻定律與時間常數。
第XV章：如何處理正弦與餘弦
從角度的微小變化出發，以幾何方式推導正弦、餘弦及相關函數的導數，並應用於振盪的量。
第XVI章：偏微分
兩個以上變數的函數，固定其他變數而對其中一個變數微分，以及兩個自變數函數的極大與極小。
第XVII章：積分
把積分符號解釋為無數微小部分的加總，給出簡單的幾何加總，並簡短討論收斂級數。
第XVIII章：作為微分逆運算的積分
積分是微分的逆運算；積分常數；簡單積分表；導出對數的 1/x 這個特殊情形；以及二重與三重積分。
第XIX章：論以積分求面積
把曲線下的面積分成細條相加，求上下限之間的定積分、極座標下的面積，以及球等立體的體積，並應用於壓縮氣體所做的功等問題。
第XX章：訣竅、陷阱與勝利
分部積分與代換（「訣竅」），關於零、無限大與不定式的警告（「陷阱」），以及以微分方程解決物理問題（「勝利」）。
第XXI章：求一些解
以八個例題簡要介紹微分方程：從變化率與該量本身成正比的方程，到帶有正弦驅動項的方程，再到解為振盪或指數函數的二階方程，以及一個描述波動的偏微分方程。湯普森強調，積分是一門要靠練習才能掌握的「技藝」。
尾聲與辯白
湯普森預先回應專業數學家的批評：本書讓微積分顯得太簡單、洩漏了行規秘訣、沒有嚴格證明其方法、還省略了困難的部分；他爽快承認最後一項屬實，因為本書正是為那些被傳統教法嚇跑的初學者而寫。
核心概念
第I–III章：語言
- 作為「一點點」的 d：把 dx 視為 x 的微小增量。
- 微小的階：微小量之積與這些量本身相比可以忽略。
- 微分係數：dy/dx，相應微小增長之比。
第IV–XIII章：微分
- 基本原理：讓變數增長一點點並捨去二階項，以此推導規則。
- 和、積、商的規則：從最簡單的情形逐步建立。
- 「好用的訣竅」：對合成式子微分的代換法，也就是連鎖律。
- 極大與極小：一階導數為零之處，由二階導數判斷是哪一種。
- 部分分式：把分式拆開以便處理。
第XIV–XVI章：成長、振盪與多變數
- 數 ε：由取極限的複利產生；它的指數函數就是自身的導數。
- 有機成長定律：成長率與當下大小成正比的成長，以及相反的衰減曲線。
- 正弦與餘弦的導數：處理振盪問題的基礎。
- 偏微分：一次只針對一個變數的變化率。
第XVII–XXI章：積分與微分方程
- 作為加總的積分：把無數微小的元素加起來。
- 積分常數：逆轉微分時出現的待定常數。
- 定積分與面積：上下限之間的積分即曲線下的面積。
- 分部積分：把式子化為可積形式的「訣竅」之一。
- 微分方程：含有導數的方程，其解描述一個物理過程。
評析
優點
- 先消除恐懼。 序曲與第I章說到做到：在介紹任何規則之前先揭開符號的神秘面紗，而對「傻瓜同伴」說話的閒談式文風一直延續到書末。
- 一切都推導，什麼都不必死背。 每條規則都在讀者眼前由「一點點」的論證建立起來，學生因此能重建規則，而不是背誦規則。第IV章對 x² 的推導及其推廣，正是這種做法的範例。
- 實用、帶有工程色彩的例子。 極值問題、利息與冷卻、電燈與氣體壓縮，把微積分和測量與設計連結起來，反映了湯普森的背景。
- 習題附解答。 十九組習題在書末都有解答，加上許多完整解出的例題，讓本書沒有老師也能使用。
- 篇幅不大，涵蓋面卻異常廣。 約250頁就講到指數函數、偏導數、極座標面積、體積與二階微分方程。
局限
- 刻意不談極限與嚴謹性。 「微小的階」的論證在全書中取代了極限概念，尾聲也公開拒絕證明這些方法。之後要學分析的學生必須重新學習基礎；據出版社介紹，1998年版中加德納新增的章節在一定程度上補足了這一點。
- 原書的記號與語言已經過時。 湯普森把 e 寫成 ε，把導數稱為「微分係數」，使用英鎊與先令，還對「五年級男生」說話；1998年版對語言與方法做了現代化處理。
- 涵蓋不均。 積分技巧被壓縮成幾個「訣竅」，積分的形式定義、數列、泰勒級數與向量微積分等內容，不是付之闕如，就是一筆帶過。
- 不是課程教科書。 書中沒有一學期課程所期待的系統章節、學習目標或分級習題，它是入門讀物或輔助讀物。
在課程中的定位
在本課程中，它是最平易近人的入口：一本簡短而自成一體的入門書，適合對微積分感到焦慮、或想在正式課程之前先建立直觀的學生。《Calculus Volume 1》（OpenStax）是一本免費、完整的一學期教科書，以大量例題與習題發展函數、極限、導數與積分；《Thomas' Calculus》則是延伸到多變數微積分的綜合性系列教科書。可以其中一本為主要教材，同時逐章對照閱讀湯普森以建立直觀：學微分規則前讀第II–VI章，學連鎖律前讀第IX章，學指數與對數前讀第XIV章，學積分前讀第XVII–XIX章。
賓莫爾與戴維斯的《Calculus: Concepts and Methods》以及雷德的《Advanced Calculus》屬於晚得多的階段，那時學生需要湯普森刻意省略的嚴謹性，以及多變數與向量的理論。
如何使用本書
唯一的先備條件是熟悉中學代數：展開括號、處理乘方與分數，後面幾章還需要基本的幾何與三角知識。
- 核心順序： 序曲與第I–XI章涵蓋第一門微分課程的觀念；依序閱讀，每組習題做完再往下讀。
- 第二階段： 第XIV章（指數成長與衰減）與第XV章（正弦與餘弦）補齊標準函數；第XVII–XIX章涵蓋積分的要點。
- 初讀時可略過： 第XII–XIII章、第XVI章與第XX–XXI章是延伸內容（曲率、部分分式、偏導數、積分訣竅、微分方程），最好在正式課程教到這些主題時再讀。
- 對照書末解答核對每一題，並在不看書的情況下重做基本原理的推導。
- 搭配一本現代教科書使用，補足極限的定義與考試所用記號的練習。
1998年版的讀者要注意，由於加德納的新章節放在前面，章號與湯普森原書不同；上面列出的章名仍是可靠的指引。
版本與來源
本導讀根據閱讀湯普森第二版（Macmillan，1914年）的公共領域文本寫成，使用的是古騰堡計畫的轉錄本（電子書 #33283，PDF 版）：讀了第二版序言、目錄、序曲、每章的開頭與主要例題、各組習題與解答、標準形式表，以及「尾聲與辯白」。本站所列、由馬丁・加德納修訂的 St. Martin's 出版社1998年版未能取得；其增補內容（新導論、三個新章節、語言與方法的現代化、練習題附錄）依據 Google Books 上出版社的介紹加以描述。