微積分：概念與方法

引用

Binmore, K., & Davies, J. (2002). Calculus: Concepts and Methods. Cambridge University Press.

章節概要

本書循序漸進地帶領讀者從單變數微積分走向多變數微積分，再到簡單的微分方程和差分方程。單變數微積分與線性代數的思想在需要時引入，往往換一個新的角度來講，並且先對二維情形作詳細研究，再推廣到更高維。書中沒有定理和形式化證明，講解依靠幾何手段、例題和圖示。

第1章：Matrices and Vectors

微積分從線性代數開始。多變數微積分是用矩陣和向量的語言寫成的，所以先建立它們的運算和變換。經濟學方面的例子包括商品束和價格向量。

第2章：Functions of One Variable

從本書自己的視角重溫單變數微積分，涵蓋冪函式、指數函式和三角函式，導數及其計算，以及高階導數。

第3–4章：Functions of Several Variables；Stationary Points

透過偏導數和梯度研究多元函式。下一章針對一元和多元函式，在有約束和無約束的情形下求出並分類駐點。

第5–6章：Vector Functions；Optimisation of Scalar Valued Functions

向量值函式及其導數引出鏈式法則和多元標量值函式的泰勒級數。最佳化一章討論凸函式和凹函式，以及用拉格朗日方法求解約束最佳化。

第7–9章：Inverse Functions；Implicit Functions；Differentials

這幾章討論函式何時可以求逆、隱函式定理關於隱式確定某個變數的方程說了什麼，以及微分如何給出小變化的近似。

第10–11章：Sums and Integrals；Multiple Integrals

積分從和式、分部積分和微積分基本定理開始，推廣到重積分，包括無界區域上的積分。

第12–14章：Differential Equations of Order One；Complex Numbers；Linear Differential and Difference Equations

一階微分方程之後是複數，最後一章的線性微分方程和差分方程需要用到它。全書以帶星號習題的答案結尾，附有一些提示和解答，約80頁。

核心概念

第1–2章：矩陣、向量與單變數

• 矩陣與向量運算：用來表達多變數內容的代數。
• 單變數函式的導數：作為多變數各章的基礎而被重新審視。

第3–6章：多變數與最佳化

• 偏導數與梯度：多元函式的變化率。
• 駐點：一階條件成立的點，由二階資訊加以分類。
• 拉格朗日方法：約束最佳化，用於經濟學問題。

第7–11章：反函式、隱函式與積分

• 隱函式定理：一個方程把某個變數定義為其他變數的函式所需的條件。
• 微分：用於小變化的線性近似。
• 重積分：在平面及更高維區域上的積分。

第12–14章：微分方程與差分方程

• 一階微分方程：變化率由當前狀態給出。
• 線性差分方程：其離散時間對應物，用於分步演化的模型。

評析

優點

• 循序漸進而嚴肅認真。 劍橋大學出版社稱本書是入門讀物，同時是一本「嚴肅」的書，藉助幾何手段、例題、圖示和習題（345道習題和649幅插圖）仔細講解概念問題。
• 為非專業讀者開闢道路。 出版社稱本書對數學、經濟學和理科學生都有吸引力，其在商業和經濟方面的應用範圍對一本微積分教材來說並不常見。
• 內建線性代數。 線性代數的思想在需要時講授，讀者不必先學一門單獨的矩陣課程就能進入多變數微積分。
• 直觀的圖示。 許多插圖用 Mathematica 繪製，有助於理解難以手繪的曲面等物件。
• 支援自學。 解答可在書中（帶星號習題的答案以及提示和解答約佔80頁）或網上獲得。

局限

• 沒有證明。 出版社明確說明書中沒有定理和形式化證明。需要看到論證及其邏輯的學生，之後還要讀一本嚴格的分析教材。
• 起初集中在二維。 對更高維的處理是由平面推廣而來，因此想要對多變數向量微積分作完整、抽象論述的讀者會覺得不夠。
• 並非向量分析的全面綜述。 章節列表中沒有線積分與面積分、散度與旋度的章節，需要向量場理論的物理和工程專業學生要另找他書。

書中的應用

對商業和經濟的側重是本書特色的一部分。書中用商品束和價格向量說明矩陣與向量，用拉格朗日方法的最佳化解決經濟問題，並把反函式、隱函式和微分應用於契約曲線、影子價格和斯勒茨基方程等經濟學概念。積分與機率相聯繫，差分方程則應用於經濟和社會模型。書中也包含科學方面的例子。

在課程中的定位

在課程書單的微積分書籍中，賓莫爾與戴維斯針對的是需要多變數微積分、最佳化以及簡單微分方程和差分方程的讀者，尤其是經濟學和社會科學領域的讀者。它不是單變數微積分的第一門課。要學習單變數的思想，斯特朗與赫爾曼免費的 Calculus Volume 1 和輕鬆的入門讀物 Calculus Made Easy 是更合適的起點，而篇幅很大的 Thomas' Calculus 涵蓋包括多變數在內的標準全套課程。

與 Thomas' Calculus 相比，賓莫爾與戴維斯把矩陣和最佳化放在前面，並把拉格朗日乘數法、隱函式和差分方程作為核心話題。肖姆叢書中雷德的 Advanced Calculus 是以習題為主的綱要，適合作為額外練習的補充。

如何使用本書

本書面向希望不經過形式化證明的課程就理解多變數微積分及其主要用途的經濟、商業、理科和數學專業學生。它適合已經懂一些單變數微積分的讀者；第2章會重溫這部分內容，因此內建了簡短的複習。

合理的安排是：第1、2章作為基礎，第3至6章為多變數與最佳化的核心，第7至9章學習反函式、隱函式和微分，第10、11章學習積分，第12至14章學習方程。經濟學專業的學生最需要最佳化和微分的章節；理科學生可以較快地進入積分與方程的章節。

要做習題：帶星號的題目在書末附有答案和提示，這是檢查自己做得對不對的主要辦法。在進入代數推導之前，先利用插圖建立直觀影像。之後想看證明的讀者，應轉向分析學的第一門課程。