01 / 導讀
導讀
引用
Strang, G., & Herman, E. (2016). Calculus Volume 1. OpenStax. Free official edition: https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1
章節概要
第1章：函數與圖形
本書以一個地震問題開篇——規模 9 的地震比規模 8.2 的地震強多少？——這個問題隨後用對數來回答。本章複習微積分所需的函數：記號、定義域與值域、圖形、零點和合成；多項式函數、有理函數、冪函數和根式函數及其變換；弧度制下的三角函數；包括反三角函數在內的反函數；以及指數函數和對數函數，並初步介紹雙曲函數。本章被定位為正式學習微積分之前必須掌握的基礎。
第2章：極限
預覽一節說明切線問題和面積問題如何引出微分學與積分學，並把瞬時速度看作平均速度的極限。本章隨後透過表格和圖形估計極限，討論單邊極限和無窮極限，建立極限運算法則和代數技巧（因式分解、共軛有理化、夾擠定理），並定義連續性，對不連續點分類，敘述中間值定理。在直觀處理之後，最後一節給出精確的 ε–δ 定義並說明如何用它證明極限。
第3章：導數
本章直接以極限為基礎，把導數定義為切線斜率和差商的極限，然後把它看作一個函數，討論高階導數以及可微與連續的關係。本章建立微分法則（冪法則、和差積商法則），把導數解釋為運動、人口成長以及邊際成本和邊際收益中的變化率，並推導三角函數的導數、連鎖律、藉助反函數定理求反函數的導數、隱函數微分，以及指數函數和對數函數的導數（包括對數微分法）。
第4章：導數的應用
本章用導數解決問題：相關變化率、線性近似與微分（包括測量誤差）、藉助臨界點求極值，以及均值定理及其關於函數增減的推論。隨後討論一階和二階導數檢定與凹性、用於繪圖的無窮遠處極限和漸近線、實際最佳化問題、用於不定型和比較成長速度的羅必達法則、近似求根的牛頓法，以及引向積分的反導函數和初值問題。
第5章：積分
本章從阿基米德的窮盡法出發，引入求和記號和用來近似面積的黎曼和，然後把定積分定義為有向面積，討論其性質和函數的平均值。微積分基本定理（兩部分，以及積分均值定理）把積分與微分連結起來。本章最後介紹積分公式與淨變化定理、變數代換積分，以及涉及指數函數、對數函數和反三角函數的積分。
第6章：積分的應用
定積分被應用於曲線之間的面積、用切片法（圓盤法和墊圈法）以及圓柱殼法求體積、弧長與曲面面積，以及質量、功和靜水壓力（胡佛水壩的例子）等物理量。力矩與質心引出帕普斯定理。隨後本章給出嚴格的處理：把自然對數定義為積分，把指數函數定義為其反函數，並把它們應用於指數成長與衰減（倍增時間與半衰期），最後討論雙曲函數的微積分。
核心概念
第1章：函數與圖形
- 函數：對每個輸入恰好指定一個輸出的規則；在圖形上可用垂直線檢驗。
- 反函數：當函數是一對一時存在，其圖形是原圖形對直線 y = x 的對稱圖形；三角函數需要限制定義域才有反函數。
- 自然指數函數與自然對數：eˣ 與 ln x，是貫穿微積分的一對互逆函數。
第2章：極限
- 極限：當輸入趨近某點時函數趨近的值，即使函數在該點沒有定義，極限也可能存在。
- 連續性：若函數在某點有定義、極限存在且二者相等，則稱函數在該點連續。
- 中間值定理：閉區間上的連續函數取到端點函數值之間的每一個值。
- ε–δ 定義：用於證明極限敘述的精確定義。
第3章：導數
- 導數：差商的極限，給出切線斜率和瞬時變化率。
- 連鎖律：合成函數的微分法則 (f∘g)′(x) = f′(g(x))g′(x)。
- 隱函數微分：當 y 沒有明確給出時，對方程式兩邊微分以求 dy/dx。
第4章：導數的應用
- 臨界點：導數為零或不存在的點，是局部極值唯一可能出現的位置。
- 均值定理：可微函數在區間內存在一點，其瞬時變化率等於區間上的平均變化率。
- 羅必達法則：透過分別對分子和分母微分來計算 0/0 和 ∞/∞ 型不定型的極限。
- 反導函數：導數等於給定函數的函數，相差一個常數。
第5章：積分
- 黎曼和：用矩形面積之和近似曲線下的面積。
- 定積分：黎曼和的極限，度量有向面積。
- 微積分基本定理：微分與積分互為逆運算，定積分可以用反導函數來計算。
- 變數代換法：逆用連鎖律來簡化積分。
第6章：積分的應用
- 圓盤法、墊圈法與圓柱殼法：透過對截面或圓柱殼積分來計算旋轉體體積的方法。
- 功與靜水壓力：對力關於距離積分、對壓力關於面積積分所得的物理量。
- 質心：系統的平衡點，由力矩求得；帕普斯定理把質心與旋轉體體積連結起來。
- 指數成長與衰減：倍增時間或半衰期恆定的模型 y = y₀e^{kt}。
評析
優點
- 結構清晰，附學習目標。 每節以編號的學習目標開始，以習題結束；每章末尾有關鍵詞彙、關鍵公式、核心概念和複習題，便於查閱和複習。
- 例題配有即時練習。 例題逐步求解，隨後是「Checkpoint」練習題，其答案在書末解答中；奇數號習題的答案也列在書末。
- 應用貫穿全書。 各章開篇的問題（地震規模、Hennessey Venom GT 的加速度、拍攝火箭發射的攝影機、冰帆船、胡佛水壩）在章內稍後得到解答；一級方程式看台、自由落下的跳傘者、大峽谷天空步道的質心等學生專題則延伸了內容。
- 超越函數的處理和嚴格程度都很靈活。 序言說明，指數函數和對數函數在第1章非正式地出現，在 6.7 節嚴格處理，且分別安排在獨立小節中，因此課程既可採用「早講超越函數」也可採用「晚講超越函數」的順序；極限也先直觀處理，ε–δ 定義單獨成節。
局限
- 只涉及單變數，而且只是第一部分。 第1冊止於積分的應用；積分技巧、微分方程和級數在第2冊，多變數微積分在第3冊，完整的課程序列需要其他各冊。
- 有證明但不是重點。 序言提到書中有 60 多個定理證明，但許多結論（例如中間值定理和極值的存在性）只敘述和使用而不證明，因此本書不是分析學教科書。
- 篇幅長、內容密。 連同解答近 800 頁，相似習題很多，學生可能需要指導來決定優先做哪些題。
- 科技工具的使用是可選的。 標有 [T] 的習題需要計算機或電腦代數系統，但本書不講授特定工具，因此數值和圖形方面的練習取決於教師的選擇。
書中的應用
應用涵蓋自然科學和社會科學：用對數比較地震強度（第1章）；相對論質量與極限（第2章）；速度與加速度、人口成長、邊際成本與邊際收益（第3章）；火箭發射中的相關變化率、收益和表面積的最佳化以及牛頓法（第4章）；冰帆船行駛距離與淨變化（第5章）；以及第6章中的體積、弧長、質量、功、胡佛水壩所受的靜水壓力、質心、指數成長與衰減，以及用雙曲函數描述的懸鏈線形狀。學生專題包括函數的最大值、推導圓面積公式、一級方程式看台、疊代過程與混沌、自由落下的跳傘者和大峽谷天空步道。
在課程中的定位
在這份「微積分與多變數微積分」書單中，Calculus Volume 1 與 Silvanus Thompson 的 Calculus Made Easy（一般被視為非正式、直觀的入門書）並列；Thompson 適合想要輕鬆入門的讀者，而 OpenStax 提供附完整習題的標準課程內容。Thomas' Calculus 一般被描述為在一冊中涵蓋單變數和多變數微積分的綜合性標準教科書，既可以取代 OpenStax 的三冊，也可以作為額外習題的來源。
Robert Wrede 的 Advanced Calculus 和 Binmore 等人的 Calculus: Concepts and Methods 的內容超出本冊，適合學完本冊（及後續各冊）單變數內容、希望追求更高嚴格性或更進階主題的學生。
如何使用本書
本書為大學單變數微積分的第一門課程而寫，通常是兩到三學期課程序列的第一學期。學生需要中學代數和三角，並熟悉函數；第1章和附錄C複習微積分之前的預備知識。
典型的一學期課程講授第2–5章，把第1章作為複習，並選講第6章的部分小節（面積、體積，可能還有物理應用）。偏好「晚講超越函數」的教師可以把 3.9 節、5.6 節以及指數函數內容延後到 6.7 節之後。先讀每節的學習目標，研讀例題並完成 Checkpoint，再做各類節末習題，並在書末解答中核對奇數題。考試前利用章末的核心概念和複習題，每章至少嘗試一個學生專題，看看這些思想如何應用。免費的網頁版還提供畫重點和筆記功能。
版本與來源
本導讀依據 Calculus Volume 1（OpenStax，2016 年首次出版；© 2016 Rice University，CC BY-NC-SA 4.0），閱讀的是 OpenStax 書籍頁面 https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1 連結的官方網頁版 PDF（2026 年 4 月產生）。導讀參考了序言（範圍、教學特色、早講或晚講超越函數、解答與資源）、完整目錄、全部六章的引言和學習目標、所有小節標題、全部六章完整的核心概念總結、學生專題，以及附錄和解答部分的結構。