01 / 導讀
導讀
引用
Wrede, R. C., & Spiegel, M. R. (2010). Schaum's Outline of Advanced Calculus (3rd ed.). McGraw-Hill.
章節概要
背景與主旨
這是一本 Schaum 系列的「提要」（Outline）：每章以緊湊的形式陳述基本定義、定理和方法，然後演算例題，並配有補充習題。出版社稱第三版含有1,370道完整解答的題目、對課程基礎的完整複習，以及對高等微積分各概念的簡明解釋。它的設計是與課堂教材配合使用，而不是取代教材。
全書十六章，從實數與數列出發，經過一元和多元的微積分與向量分析，到級數、傅立葉方法、特殊函式和複變函式。前半部分提供基礎和多元微積分；後半部分涵蓋級數與變換，以及複變函式。
第1–3章：數；數列；函式、極限與連續
全書從實數系開始：集合、小數與幾何表示、指數、根和對數，以及實數所依據的公理。第2章討論數列、數列的極限、有界性和柯西收斂準則，並初步接觸無窮級數。第3章轉向函式、極限與連續，包括分段連續和一致連續。
第4–5章：導數；積分
第4章給出導數、求導法則及其應用。第5章給出定積分及其在計算面積和體積中的用途，並注意數值計算。
第6–8章：偏導數；向量；偏導數的應用
第6章把極限、連續和導數推廣到多元函式。第7章涵蓋向量代數與幾何、向量函式，以及梯度、散度和旋度等微分運算元。第8章把偏導數應用於幾何和最最佳化，包括拉格朗日乘數法和積分號下求導。
第9–10章：多重積分；線積分、面積分與積分定理
第9章討論二重和三重積分以及變數替換。第10章引入線積分和麵積分，以及向量微積分的積分定理，即格林定理、斯托克斯定理和散度定理。
第11–12章：無窮級數；廣義積分
第11章涵蓋級數的收斂判別法、冪級數和泰勒級數。第12章討論廣義積分及其收斂性。
第13–15章：傅立葉級數；傅立葉積分；Gamma 與 Beta 函式
第13章介紹傅立葉級數及其性質，以及在邊值問題中的應用。第14章把這些思想推廣到傅立葉積分和變換。第15章涵蓋 Gamma 函式和 Beta 函式及二者的關係。
第16章：複變函式
最後一章介紹複分析：複函式、積分、級數和留數。
核心概念
第1–5章：基礎
- 實數的完備性：作為極限基礎的公理性質。
- 柯西收斂準則：不知道極限也能檢驗數列是否收斂。
- 一致連續：在整個區間上表現良好的更強形式的連續性。
- 微積分基本定理：微分與積分之間的聯絡。
第6–10章：多元與向量微積分
- 偏導數與雅可比行列式：多元函式的導數，以及變數替換中的因子。
- 梯度、散度與旋度：向量分析的微分運算元。
- 拉格朗日乘數法：帶約束的最最佳化。
- 格林、斯托克斯與散度定理：區域上的積分與其邊界上積分之間的關係。
第11–16章：級數、變換與復變數
- 收斂判別法、冪級數和泰勒級數：判斷級數是否收斂，並用級數表示函式的方法。
- 傅立葉級數與積分：用三角項表示函式。
- Gamma 與 Beta 函式：由積分定義的特殊函式。
- 留數：複分析中用於計算積分的工具。
評析
優點
- 以解題為中心。 書中有1,370道已解答的題目，為課程中的大部分技巧提供了示範，並配有補充習題供練習。
- 內容緊湊。 十六章彙集了一門典型高等微積分課程的主題，從數列和連續性到向量積分定理、傅立葉方法和複變函式，集於一卷。
- 與其他教材相容。 本書設計為與課堂教材並用，因而是額外練習和快速複習的好來源。
- 組織清晰。 每章都遵循先陳述、再演算例題的同一模式，讀者可以很快找到某道習題所需的法則。
局限
- 是提要，而非完整教材。 理論只作簡略陳述，想要了解動機或完整證明的讀者需要在身旁備一本分析學教科書。
- 敘述有限。 這種形式重方法輕解釋，初學者可能發現各章之間的聯絡沒有被充分展開。
- 層次與範圍。 本書涵蓋一元和多元微積分，不涉及測度論或泛函分析，因此不能替代嚴格的實分析課程。
在課程中的定位
Advanced Calculus 是多元或高等微積分課程的輔助讀物。它以書單中其他書所涵蓋的一元微積分為前提：Calculus Made Easy 是核心思想的非正式入門讀物，Calculus Volume 1 是免費的一元微積分首門課程教材，Binmore 的 Calculus: Concepts and Methods 和 Thomas' Calculus 則帶著講解和習題把這門學科推進到多元微積分。
如果極限和導數的概念對你還是新的，應先讀那些書。然後，對於偏導數、向量微積分、級數、傅立葉方法和複變函式，當學生需要比主教材更多的例題時，這本書可以作為參考和練習來源。
如何使用本書
本書面向已學過入門微積分、希望在高等課程主題上做例題練習的數學、物理和工程專業本科生。
與課堂講授或主教材並用。對每個主題，先讀定義和定理的概要，再在看解答之前自己嘗試例題，最後做補充習題。第6–10章的多元與向量微積分是大多數理工科課程的核心，第11–16章則是關於級數、傅立葉分析和複變函式的課程的下一個模組。
由於理論很濃縮，每當某個定理需要完整證明或動機說明時，請配合教科書使用。把第1–5章作為基礎的複習，跳過你的課程已經講過的內容。