Calculus Made Easy（やさしい微積分）

引用

Thompson, S. P., & Gardner, M. (1998). Calculus Made Easy (revised and expanded ed.). St. Martin's Press. Free public-domain edition of Thompson's original text (2nd ed., 1914): https://www.gutenberg.org/ebooks/33283

章の要約

物理学者で電気に関する技術書を多数著したシルヴァナス・P・トンプソンは、1910年に『Calculus Made Easy』を匿名（「F.R.S.著」）で出版し、1914年の第2版で増補した。本人の言葉によれば「かなりの数の例題と練習問題」を加えたのである。副題が本書の狙いを告げている。一般に微分学・積分学という「恐ろしい名前」で呼ばれる方法への「いちばんやさしい入門」である。序章と21の章の後に「エピローグと弁明」、標準形の表、19組の練習問題の解答が続く。マーティン・ガードナーによる1998年版はトンプソンの本文を保ちつつ、出版社によれば新しい序論、3つの新しい章、全体にわたる言葉と方法の現代化、練習問題の付録を加えている。ガードナーの章が冒頭に置かれているため、1998年版の章番号は原著からずれている。以下の要約は、両方の版の本体をなすトンプソンの章に沿っている。

序章と第I章：最初の恐怖からあなたを解放するために

序章は全体の調子を決める（「ひとりの愚か者にできることは、別の愚か者にもできる」）。そして教科書の著者たちが、やさしい部分がいかにやさしいかを隠していると非難する。第I章は二つの段落で「最初の恐怖」を取り除く。d は単に「ほんの少しの」を意味し、積分記号は長く伸ばした S で「ほんの少しずつをすべて足したもの」を意味する。

第II章：さまざまな程度の小ささについて

分と秒、ポンド・シリング・ペンスの金額を使って、トンプソンは小さな量には一次の小ささと二次の小ささがあり、小さな量にさらに小さな量を掛けたものは無視できることを示す。この考えが、本書全体を通じて形式的な極限の代わりとなる。

第III章：相対的な増え方について

定数と変数が導入され、導関数は、ある変数のわずかな増加と、それに対応する別の変数の増加との比 dy/dx として示される。縦と横が同時に変わる長方形などの例で説明される。

第IV–VI章：最も簡単な場合／次の段階——定数をどう扱うか／和、差、積、商

第一原理から出発し（x を x + dx に増やし、展開して二次の微小量を捨てる）、トンプソンは x² の導関数、次いで xⁿ の導関数を導き、加えられた定数は消え、掛けられた定数は残ることを示し、和・差・積・商の規則を組み立てる。各章に練習問題がある。

第VII章：逐次微分

f(x)、f′(x)、f″(x) の記法を用いて繰り返し微分することを扱い、いくつかの練習問題を添える。

第VIII章：時間が変わるとき

独立変数としての時間：速度と加速度を一階・二階の導関数として扱い、列車、自動車、落下する石などの運動で説明する。

第IX章：便利な手口を紹介する

今日では連鎖律と呼ばれる置き換えの方法。複雑な内側の式を一文字で置き換え、二段階で微分して掛け合わせる。

第X章：微分の幾何学的な意味

導関数を曲線の傾きとしてとらえ、曲線がどこで上がり、下がり、向きを変えるかを、描かれた多くの例で示す。

第XI章：極大と極小

導関数をゼロとおいて最大値・最小値を求める。最も経済的な寸法や最も効率のよい配置といった、トンプソンらしい工学的な問題と、長い練習問題が付く。

第XII章：曲線の曲がり具合

二階導関数を傾きが変化する割合としてとらえ、極大と極小を見分けるのに用いる。

第XIII章：その他の便利な手口

複雑な分数の微分を簡単にする部分分数と、逆関数の導関数。

第XIV章：真の複利と有機的成長の法則について

最も長い章。単利と複利から出発し、ますます頻繁に複利計算を行う極限として数 ε（e）に至り、指数級数、自然対数、「対数的な増え方」を展開し、さらに「減衰」曲線、ニュートンの冷却の法則、時定数へと進む。

第XV章：正弦と余弦の扱い方

正弦、余弦とその関連関数の導関数を、角のわずかな変化から幾何学的に導き、振動する量に応用する。

第XVI章：偏微分

二つ以上の変数の関数、他の変数を一定に保って一つの変数について微分すること、そして二つの独立変数の関数の極大と極小。

第XVII章：積分

積分記号を無数の微小部分の和として説明し、簡単な幾何学的な和を示し、収束級数について短く論じる。

第XVIII章：微分の逆としての積分

微分を元に戻す操作としての積分、積分定数、簡単な積分の一覧、対数につながる 1/x という特別な場合、そして二重積分と三重積分。

第XIX章：積分によって面積を求めることについて

細い帯を足し合わせて曲線の下の面積を求めること、上限と下限のある定積分、極座標での面積、球などの立体の体積を扱い、気体を圧縮するときの仕事などに応用する。

第XX章：手口、落とし穴、そして勝利

部分積分と置換（「手口」）、ゼロ、無限大、不定形についての注意（「落とし穴」）、そして物理的な問題を解くための微分方程式の利用（「勝利」）。

第XXI章：いくつかの解を求める

8つの例題による微分方程式への短い入門。変化率が量そのものに比例する方程式から、正弦的な外力項をもつ方程式、解が振動や指数関数となる二階の方程式、そして波についての偏微分方程式まで。トンプソンは積分が練習によって身につく「技芸」であることを強調する。

エピローグと弁明

トンプソンは専門の数学者からの反論を先回りする。本書は微積分をやさしく見せすぎる、商売の秘訣を明かしてしまう、方法を厳密に証明していない、難しい部分を省いている、というものだ。そして最後の非難は事実だと快活に認める。本書は、従来の教え方に尻込みしてきた初学者のために書かれたのである。

主要概念

第I–III章：言葉

• 「ほんの少しの」としての d：dx を x の小さな増分とみなすこと。
• 小ささの次数：小さな量どうしの積は、それぞれの量に比べて無視できる。
• 微分係数：dy/dx、対応する小さな増加の比。

第IV–XIII章：微分

• 第一原理：変数をわずかに増やし、二次の項を捨てることで規則を導くこと。
• 和・積・商の規則：最も簡単な場合から組み立てられる。
• 「便利な手口」：合成された式を微分するための置き換え、すなわち連鎖律。
• 極大と極小：一階導関数がゼロになる点で、二階導関数がどちらかを示す。
• 部分分数：扱いやすくするために分数を分解すること。

第XIV–XVI章：成長、振動、多変数

• 数 ε：極限まで進めた複利から生まれる数。その指数関数は自分自身の導関数である。
• 有機的成長の法則：増加率が現在の大きさに比例する成長と、その逆の減衰曲線。
• 正弦と余弦の導関数：振動を扱う基礎。
• 偏微分：一度に一つの変数についての変化率。

第XVII–XXI章：積分と微分方程式

• 和としての積分：無数の微小な要素を足し合わせること。
• 積分定数：微分を逆にたどるときに現れる未定の定数。
• 定積分と面積：上限と下限のあいだの積分を曲線の下の面積とみなすこと。
• 部分積分：式を積分できる形にするための「手口」の一つ。
• 微分方程式：導関数を含む方程式で、その解が物理的な過程を表す。

批判的分析

長所

• まず恐れを取り除く。 序章と第I章は約束どおりのことを行う。規則を導入する前に記号の謎を解き、「仲間の愚か者たち」に語りかける会話調の文体は最後まで続く。
• すべてを導き、何も暗記させない。 どの規則も読者の目の前で「ほんの少し」の議論から組み立てられるので、学生は規則を思い出すのではなく作り直すことができる。x² の導出とその一般化を示す第IV章は、このアプローチの手本である。
• 実用的で工学的な例。 極大・極小の問題、利息と冷却、電灯、気体の圧縮などが、微積分を測定や設計と結びつけており、トンプソンの経歴を反映している。
• 解答付きの練習問題。 巻末に解答のある19組の練習問題と、完全に解かれた多くの例題によって、教師なしでも使える。
• 分量のわりに異例なほど広い範囲。 約250ページで、指数関数、偏導関数、極座標での面積、体積、二階微分方程式にまで達する。

短所

• 極限も厳密さもない、意図的に。 「小ささの次数」の議論が全体を通じて極限の概念の代わりとなり、エピローグは方法の証明をはっきり断っている。解析学に進む学生は基礎を学び直す必要がある。出版社の説明によれば、1998年版ではガードナーが加えた章がこの点に部分的に対処している。
• 原著の記法と言葉は古い。 トンプソンは e を ε と書き、導関数を「微分係数」と呼び、ポンドとシリングを使い、「五年級の男子生徒」に語りかける。1998年版は言葉と方法を現代化している。
• 扱いにむらがある。 積分の技法はいくつかの「手口」に圧縮され、積分の形式的な定義、数列、テイラー級数、ベクトル解析などは扱われないか、わずかに触れられるだけである。
• 授業用の教科書ではない。 1学期の授業が期待するような体系的な節、学習目標、段階的な問題集はなく、入門書あるいは副読本である。

コースにおける位置づけ

このコースでは最もやさしい入口である。微積分に不安を感じている学生や、正式な授業の前に直観的な予習をしたい学生のための、短く完結した入門書だ。『Calculus Volume 1』（OpenStax）は、関数、極限、導関数、積分を多くの例題と練習問題とともに展開する無料の1学期分の教科書であり、『Thomas' Calculus』は多変数微積分まで及ぶ包括的な通年用の教科書である。どちらかを主教科書とし、トンプソンを直観のために章ごとに並行して読むとよい。微分の規則の前に第II〜VI章、連鎖律の前に第IX章、指数関数と対数の前に第XIV章、積分の前に第XVII〜XIX章である。

ビンモアとデイヴィスの『Calculus: Concepts and Methods』やレードの『Advanced Calculus』は、トンプソンが意図的に省いた厳密さ、多変数とベクトルの理論が必要になる、ずっと後の段階に属する。

本書の使い方

前提となるのは学校で学ぶ代数に慣れていることだけである。かっこの展開、累乗と分数の計算、そして後半の章では初歩の幾何と三角法。

• 中核となる順序： 序章と第I〜XI章が、微分の最初の授業で学ぶ考え方を扱う。順に読み、先に進む前にすべての練習問題を解く。
• 第二段階： 第XIV章（指数的な成長と減衰）と第XV章（正弦と余弦）で標準的な関数がそろい、第XVII〜XIX章で積分の基本が身につく。
• 初読では省略してよい部分： 第XII〜XIII章、第XVI章、第XX〜XXI章は発展的な内容（曲率、部分分数、偏導関数、積分の手口、微分方程式）で、正式な授業がそれらの話題に入ったときに読むのがよい。
• すべての答えを巻末の解答で確かめ、 第一原理による導出を本を見ずにやり直す。
• 現代の教科書と組み合わせ、 極限の定義と、試験で使われる記法の練習を補う。

1998年版の読者は、ガードナーの新しい章が冒頭に置かれているため章番号がトンプソンのものと異なることに注意したい。上に示した章の題名は信頼できる手がかりとなる。

版と出典

このガイドは、トンプソンの第2版（Macmillan、1914年）のパブリックドメインの本文を、Project Gutenberg が翻刻したもの（電子書籍 #33283、PDF版）を読んだことに基づいている。読んだのは、第2版の序文、目次、序章、各章の冒頭と主要な例題、練習問題とその解答、標準形の表、そして「エピローグと弁明」である。サイトに掲載されているマーティン・ガードナー改訂の1998年 St. Martin's 版は入手できなかった。その追加部分（新しい序論、3つの新しい章、言葉と方法の現代化、練習問題の付録）は、Google Books に掲載された出版社の紹介文に基づいて記述している。