Thomas 微積分

引用

Hass, J. R., Heil, C. E., Bogacki, P., & Weir, M. D. (2022). Thomas' Calculus (15th ed.). Pearson.

章節概要

Pearson 的目錄包括十七個印刷章節、另外兩個僅線上提供的章節（第18章和第19章）以及附錄。第1–11章構成單變數微積分，第12–16章構成多變數微積分；Pearson 還把這兩部分作為《Single Variable》和《Multivariable》兩個分冊單獨銷售。據出版社介紹，第十五版增加了習題，更新了許多應用，並修訂了圖表和文字以提高清晰度，兩個線上章節為新增內容。

第1–2章：函數；極限與連續

全書以一個簡短的函數章節開篇：函數圖像、函數的組合、圖像的平移與縮放、三角函數，以及用軟體作圖一節。第2章從變化率和曲線的切線講起，隨後介紹函數的極限與極限法則、極限的精確定義、單側極限、連續性，以及涉及無窮的極限與漸近線。

第3–4章：導數；導數的應用

第3章由一點處的導數過渡到作為函數的導數、求導法則、作為變化率的導數、三角函數的導數、連鎖律、隱函數求導、反函數與對數函數的導數、相關變化率，以及線性化與微分。第4章轉向極值、中值定理、一階導數檢驗、凹凸性與曲線作圖、應用型最佳化問題、牛頓法和原函數。

第5–6章：積分；定積分的應用

積分透過面積與有限和的估計、求和符號、定積分和微積分基本定理引入，隨後是換元法和曲線間的面積。第6章把定積分應用於體積（截面法與圓柱殼法）、弧長、旋轉曲面面積、功與流體壓力，以及矩與質心。

第7–9章：超越函數；積分技巧；一階微分方程

第7章討論反函數、自然對數、指數函數、指數變化與可分離變數的微分方程、羅必達法則、反三角函數與雙曲函數，以及相對增長率。第8章彙集了積分技巧（分部積分、三角函數積分與三角代換、部分分式、積分表與電腦代數系統、數值積分、瑕積分），並以機率一節結尾。第9章引入一階微分方程：斜率場與歐拉方法、線性方程、應用、自治方程，以及方程組與相平面。

第10–11章：無窮數列與級數；參數方程與極座標

第10章從數列和無窮級數出發，經過積分判別法、比較判別法、比值與根值判別法、交錯級數與條件收斂，進入冪級數以及泰勒級數和麥克勞林級數，包括它們的收斂性和應用。第11章涵蓋平面曲線的參數化、參數曲線的微積分、極座標及其圖像、極座標中的面積與長度，以及圓錐曲線（包括極座標下的圓錐曲線）。

第12–13章：向量與空間幾何；向量值函數與空間運動

多變數部分從三維座標系、向量、內積與外積、空間中的直線與平面，以及柱面與二次曲面開始。第13章對向量函數求導與積分：空間曲線及其切線、拋體運動、弧長、曲率與法向量、加速度的切向分量與法向分量，以及極座標中的速度與加速度。

第14–15章：偏導數；重積分

第14章涵蓋多元函數、高維空間中的極限與連續、偏導數、連鎖律、方向導數與梯度向量、切平面與微分、極值與鞍點、拉格朗日乘數法、二元泰勒公式，以及帶約束變數的偏導數。第15章涵蓋二重積分和三重積分，包括極座標、柱座標和球座標下的積分，應用，以及重積分中的變數代換。

第16–17章：積分與向量場；二階微分方程

第16章依次展開純量函數的線積分、向量場與線積分（功、環流與通量）、路徑無關性與保守場、格林定理、曲面與面積、曲面積分、斯托克斯定理，以及作為統一理論呈現的散度定理。第17章回到微分方程，介紹二階線性方程、非齊次方程、應用、歐拉方程和冪級數解法。

第18–19章（線上）與附錄

第18章「Complex Functions」涵蓋複數、極限與連續、複導數、柯西–黎曼方程、複級數和保角映射。第19章「Fourier Series and Wavelets」涵蓋週期函數、正弦與餘弦的求和、三維及更高維中的向量與逼近、函數的逼近，以及哈爾系與小波。附錄A彙集實數、歸納法、直線、圓與拋物線、極限定理的證明、實數理論，以及兩個技術性結果。線上的附錄B涵蓋行列式、多於兩個變數的函數的極值，以及梯度下降。

核心概念

第1–6章：單變數微積分

• 極限的精確定義：在第2章中，緊接極限法則之後單獨成節的極限形式化定義。
• 中值定理：第4章的結果，一階導數檢驗和單調性論證都以它為基礎。
• 微積分基本定理：第5章陳述的、連接定積分與原函數的定理。

第7–11章：超越函數、技巧、級數與曲線

• 可分離變數的微分方程與斜率場：在第7章與指數變化一起引入，在第9章中得到擴展。
• 羅必達法則：第7章中處理不定式的方法。
• 泰勒級數與麥克勞林級數：第10章把它們與收斂判別法及其應用放在一起講解。
• 極座標與圓錐曲線：第11章把曲線的描述擴展到直角座標之外。

第12–17章：多變數與向量微積分

• 內積與外積：第12章的代數工具。
• 梯度與方向導數：第14章對多元函數沿給定方向如何變化的說明。
• 拉格朗日乘數法：第14章中的條件極值問題。
• 格林定理、斯托克斯定理與散度定理：第16章把最後的散度定理與前兩個定理作為統一理論呈現。

評析

優點

• 一本書涵蓋整個課程序列。 目錄從函數與極限一直到向量微積分，並包含一階和二階微分方程（第9章和第17章），因此一本教材就能支撐三個學期或三個學季的課程序列；印刷版分為《Single Variable》和《Multivariable》兩個分冊，也適合較短的課程。
• 技術融入了結構。 目錄中有用軟體作圖一節（1.4）、積分表與電腦代數系統一節（8.6）、數值積分一節，以及目錄中列在第11–17章各章末尾的「Technology Application Projects」。
• 章末的複習材料。 目錄在第11–17章每章末尾列出「Questions to Guide Your Review」、練習題以及補充與提高習題，學生可以藉此在考試前檢驗自己。書末還有奇數編號習題的答案和應用索引。
• 證明保持易讀。 極限定理的證明、實數理論和混合偏導數定理放在附錄A中，因此正文章節可以專注於概念和技巧，而想了解細節的讀者仍可查閱。

侷限

• 理論偏少。 由於較精細的證明都在附錄裡，本書是一本微積分教材，而不是分析學入門；想要嚴格發展極限與連續的學生需要另找一本分析學教材。
• 假定具備預備知識。 開篇一章只有四節（函數、圖像的組合與平移、三角函數、用軟體作圖），附錄A複習實數、歸納法以及直線、圓與拋物線；代數基礎薄弱的學生需要自行補強。
• 部分內容僅線上提供。 複函數章、傅立葉級數與小波章以及附錄B都線上上，只有印刷版的讀者無法獲得。

在課程中的定位

《Thomas' Calculus》是本課程書單中涵蓋整個序列的主教材。吉爾伯特·斯特朗和埃德溫·赫爾曼的《Calculus Volume 1》是一本免費、開放授權的單變數微積分教材，適合作為前兩個學期的伴讀或替代，但沒有涉及多變數內容。《Calculus Made Easy》是一本簡短、輕鬆的入門讀物，講解微分與積分的核心思想，可作為第2–5章之前或同時閱讀的溫和的第一本書，但不能代替 Thomas 提供的習題訓練。《Calculus: Concepts and Methods》和《Advanced Calculus》被列為更嚴格、更廣泛的論述，應在 Thomas 的課程序列之後閱讀，而不是用來替代它。

如何使用本書

《Thomas' Calculus》面向已學完預備課程（代數、函數與三角）的理工科和數學專業學生。最適合把它作為兩到三個學期課程的主線，邊讀邊動筆：學習主要發生在習題和章末的複習部分。

實用的學習安排如下：

• 第一學期（第1–6章）： 依次學習函數、極限、導數以及積分的最初應用；中值定理（4.2）和微積分基本定理（5.4）是繼續之前需要掌握的兩節。
• 第二學期（第7–11章）： 超越函數、積分技巧、微分方程與級數。第10章有十節，介紹了一系列收斂判別法；值得反覆練習，直到選用哪種判別法成為熟練的操作。
• 第三學期（第12–17章）： 先學向量與三維幾何，後面的所有內容都需要它；第14–16章依次從偏導數建立到重積分，再到線積分和曲面積分。
• 選學： 8.9節（機率）、第17章（二階方程）以及線上的第18–19章，視課程而定；Technology Application Projects 適合能使用電腦代數系統的學生。

需要證明時請查閱附錄A，並用奇數編號習題的答案隨時檢查練習成果。