01 / 导读
导读
引用
Thompson, S. P., & Gardner, M. (1998). Calculus Made Easy (revised and expanded ed.). St. Martin's Press. Free public-domain edition of Thompson's original text (2nd ed., 1914): https://www.gutenberg.org/ebooks/33283
章节概要
西尔韦纳斯·P. 汤普森是一位物理学家，著有多部电学技术书籍。他于1910年匿名（署名“F.R.S.”）出版《Calculus Made Easy》，1914年出版增订第二版，用他自己的话说，增加了“相当数量的例题和习题”。副标题宣告了本书的宗旨：为那些“通常被冠以微分学和积分学这些吓人名称”的方法提供“最最简单的入门”。全书由一篇序曲和二十一章组成，后附“尾声与辩白”、标准形式表以及十九组习题的答案。马丁·加德纳修订的1998年版保留了汤普森的正文，但据出版社介绍，增加了新的导言、三个新章节、全书语言与方法的现代化，以及一个练习题附录；加德纳的章节放在最前面，因此1998年版的章号与原书不同。以下概要依照汤普森的章节，它们构成两个版本的主体。
序曲与第I章：把你从最初的恐惧中解救出来
序曲定下全书基调（“一个傻瓜能做到的，另一个傻瓜也能做到”），并指责教科书作者掩盖了容易的部分有多容易。随后第I章用两段话消除“最初的恐惧”：d 只是表示“一小点儿”，积分号是一个拉长的 S，意思是“所有这些小点儿的总和”。
第II章：论不同程度的微小
汤普森借助分钟和秒，以及以英镑、先令和便士计的钱数，说明微小量有一阶微小和二阶微小之分，一个微小量再乘以另一个微小量的结果可以忽略。这一思想在全书中取代了形式化的极限。
第III章：论相对增长
本章引入常量和变量，把导数表述为一个变量的微小增长与另一个变量相应增长之比 dy/dx，并以长和宽同时变化的长方形等例子加以说明。
第IV–VI章：最简单的情形；下一步：如何处理常数；和、差、积、商
从基本原理出发（让 x 增长为 x + dx，展开，舍去二阶微小量），汤普森推导出 x² 的导数，再推广到 xⁿ，说明相加的常数会消失而相乘的常数会保留，并建立和、差、积、商的求导法则。每章都有习题。
第VII章：逐次微分
用 f(x)、f′(x)、f″(x) 记号进行反复求导，附少量习题。
第VIII章：当时间变化时
以时间为自变量：速度和加速度分别是一阶和二阶导数，用火车、汽车、下落的石头等运动加以说明。
第IX章：介绍一个有用的诀窍
即今天所说的链式法则的代换：用一个字母代替复杂的内层表达式，分两步求导再相乘。
第X章：微分的几何意义
把导数看作曲线的斜率，用许多作图实例说明曲线在哪里上升、下降和转向。
第XI章：极大与极小
令导数为零求最大值和最小值，配有汤普森特有的工程问题（最经济的尺寸、最高效的安排）和一大组习题。
第XII章：曲线的弯曲
把二阶导数看作斜率变化的速率，用来区分极大与极小。
第XIII章：其他有用的诀窍
部分分式（用以简化复杂分式的求导）以及反函数的导数。
第XIV章：论真正的复利与有机增长定律
全书最长的一章。汤普森从单利和复利出发，把越来越频繁地计算复利的极限引向数 ε（e），进而展开指数级数、自然对数和“对数增长率”，然后讨论“衰减”曲线、牛顿冷却定律和时间常数。
第XV章：如何处理正弦和余弦
从角度的微小变化出发，以几何方法推导正弦、余弦及相关函数的导数，并应用于振荡量。
第XVI章：偏微分
两个或更多变量的函数，保持其他变量不变而对其中一个变量求导，以及二元函数的极大与极小。
第XVII章：积分
把积分号解释为无数微小部分的求和，给出简单的几何求和，并简短讨论收敛级数。
第XVIII章：作为微分逆运算的积分
积分是微分的逆运算；积分常数；简单积分表；导出对数的 1/x 这一特殊情形；以及二重和三重积分。
第XIX章：论用积分求面积
把曲线下的面积分成细条相加，求上下限之间的定积分、极坐标下的面积以及球等立体的体积，并应用于压缩气体所做的功等问题。
第XX章：诀窍、陷阱与胜利
分部积分和代换（“诀窍”），关于零、无穷大和不定式的警告（“陷阱”），以及用微分方程解决物理问题（“胜利”）。
第XXI章：求一些解
通过八个例题简要介绍微分方程：从变化率与该量本身成正比的方程，到带有正弦驱动项的方程，再到解为振荡或指数函数的二阶方程，以及一个描述波动的偏微分方程。汤普森强调，积分是一门要靠练习掌握的“技艺”。
尾声与辩白
汤普森预先回应职业数学家的批评：本书把微积分显得太容易，泄露了行业秘诀，没有严格证明其方法，还略去了难点；他欣然承认最后一条属实，因为本书正是为那些被传统教法吓退的初学者而写。
核心概念
第I–III章：语言
- 作为“一小点儿”的 d：把 dx 看作 x 的微小增量。
- 微小的阶：微小量之积与这些量本身相比可以忽略。
- 微分系数：dy/dx，相应微小增长之比。
第IV–XIII章：微分
- 基本原理：让变量增长一小点儿并舍去二阶项，以此推导法则。
- 和、积、商的法则：从最简单的情形逐步建立。
- “有用的诀窍”：对复合表达式求导的代换法，即链式法则。
- 极大与极小：一阶导数为零之处，由二阶导数判断是哪一种。
- 部分分式：把分式拆开以便处理。
第XIV–XVI章：增长、振荡与多变量
- 数 ε：由取极限的复利产生；它的指数函数是自身的导数。
- 有机增长定律：增长率与当前大小成正比的增长，以及与之相反的衰减曲线。
- 正弦与余弦的导数：处理振荡问题的基础。
- 偏微分：一次只针对一个变量的变化率。
第XVII–XXI章：积分与微分方程
- 作为求和的积分：把无数微小的元素加起来。
- 积分常数：逆转微分时出现的待定常数。
- 定积分与面积：上下限之间的积分即曲线下的面积。
- 分部积分：把表达式变成可积形式的“诀窍”之一。
- 微分方程：含有导数的方程，其解描述一个物理过程。
评析
优点
- 先消除恐惧。 序曲和第I章兑现了承诺：在介绍任何法则之前先揭开符号的神秘面纱，而面向“傻瓜同伴”的谈话式文风一直延续到书末。
- 一切都推导，什么都不必死记。 每条法则都在读者眼前由“一小点儿”的论证搭建起来，学生因此可以重建法则而不是背诵法则。第IV章对 x² 的推导及其推广就是这种方法的范例。
- 实用的、带工程色彩的例子。 极值问题、利息与冷却、电灯和气体压缩，把微积分与测量和设计联系起来，体现了汤普森的背景。
- 习题附答案。 十九组习题在书末都有答案，加上许多完整解出的例题，使本书无需教师也能使用。
- 篇幅不大，覆盖面却异常宽。 约250页就讲到指数函数、偏导数、极坐标面积、体积和二阶微分方程。
局限
- 刻意不讲极限和严格性。 “微小的阶”的论证在全书中代替了极限概念，尾声也公开拒绝证明这些方法。继续学习分析学的学生将不得不重新学习基础；据出版社介绍，1998年版中加德纳增加的章节在一定程度上弥补了这一点。
- 原书的记号和语言已过时。 汤普森把 e 写作 ε，把导数称为“微分系数”，使用英镑和先令，还对“五年级男生”说话；1998年版对语言和方法做了现代化处理。
- 内容覆盖不均。 积分技巧被压缩成几个“诀窍”，积分的形式定义、数列、泰勒级数和向量微积分等内容或付阙如，或只是一笔带过。
- 不是课程教材。 书中没有一学期课程所期望的系统章节、学习目标或分级习题，它是入门读物或辅助读物。
在课程中的定位
在本课程中，它是最平易的入门：一本简短而自成一体的入门书，适合对微积分感到焦虑、或想在正式课程之前获得直观预习的学生。《Calculus Volume 1》（OpenStax）是一本免费的完整一学期教材，以大量例题和习题展开函数、极限、导数和积分；《Thomas' Calculus》则是延伸到多元微积分的综合性系列教材。可以以其中之一为主教材，同时逐章对照阅读汤普森以获得直观理解：学习求导法则前读第II–VI章，学链式法则前读第IX章，学指数和对数前读第XIV章，学积分前读第XVII–XIX章。
宾莫尔和戴维斯的《Calculus: Concepts and Methods》以及雷德的《Advanced Calculus》属于晚得多的阶段，那时学生需要汤普森刻意略去的严格性以及多元与向量理论。
如何使用本书
唯一的先决条件是熟练掌握中学代数：展开括号、处理乘方和分数，后面几章还需要基本的几何和三角知识。
- 核心顺序： 序曲和第I–XI章涵盖第一门微分课程的思想；按顺序阅读，每组习题做完再往下读。
- 第二阶段： 第XIV章（指数增长与衰减）和第XV章（正弦与余弦）补全标准函数；第XVII–XIX章涵盖积分的要点。
- 初读时可以跳过： 第XII–XIII章、第XVI章和第XX–XXI章是拓展内容（曲率、部分分式、偏导数、积分诀窍、微分方程），最好在正式课程讲到这些主题时再读。
- 对照书末答案核对每道题，并在不看书的情况下重做基本原理推导。
- 配合一本现代教材使用，以补充极限的定义和考试所用记号的练习。
1998年版的读者应注意，由于加德纳的新章节放在前面，章号与汤普森原书不同；上面列出的章名仍是可靠的指引。
版本与来源
本导读基于对汤普森第二版（Macmillan，1914年）公有领域文本的阅读，所用为古登堡计划的转录本（电子书 #33283，PDF 版）：阅读了第二版序言、目录、序曲、每章的开头和主要例题、各组习题及答案、标准形式表以及“尾声与辩白”。本站所列的马丁·加德纳修订、St. Martin's 出版社1998年版未能取得；其增补内容（新导言、三个新章节、语言和方法的现代化、练习题附录）依据 Google Books 上出版社的介绍加以描述。