Visual Group Theory（視覺化群論）

引用

Carter, N. (2009). Visual Group Theory. Mathematical Association of America (Classroom Resource Materials, vol. 32). Reissued by the American Mathematical Society, 2021.

章節概要

全書約300頁，共10章，前有簡短的概覽，後附部分習題答案。作者統計書中有300多幅圖，平均每頁一幅以上。凱萊圖是主要工具，輔以乘法表、具有對稱性的物體、迴圈圖、哈斯圖、作用圖和同態圖。每章都以習題結尾；概覽指出，每章的習題中都包含一些關於無限群的題目。

第1章：什麼是群？

從一個著名的玩具出發，本章考察一個立方體謎題，介紹對稱性的研究，並給出群的規則。在這裡，群被定義為作用的集合，而還不是帶有運算的集合。

第2章：群長什麼樣？

透過繪製地圖、第二個不那麼出名的玩具以及為群繪製地圖，本章引出凱萊圖，即本書核心的視覺化手段。最後一節把這一想法變得「更抽象一點」。

第3章：為什麼要研究群？

透過對稱群、作用群以及在許多場合出現的群的例子（「群無處不在」）來提供學習動機。

第4章：終於來到代數

代數直到這裡才出現。在追問「作用都到哪裡去了」之後，本章討論元素的組合和乘法表，並得出群作為帶有二元運算的集合的經典定義。

第5章：五個家族

概述迴圈群、阿貝爾群、二面體群、對稱群和交錯群。作者說明，本章讓讀者廣泛接觸有限群，很有幫助，但除了5.2節中阿貝爾群的定義之外，後面的內容並不嚴格依賴它。

第6章：子群

本章把乘法表與凱萊圖聯繫起來，然後展示如何在圖中看出和揭示子群，進而討論陪集和拉格朗日定理。

第7章：積與商

直積與半直積、正規子群與商群、正規化子和共軛。

第8章：同態的力量

從嵌入和商映射引出同態基本定理。本章把它應用於模運算、直積與互質的數以及阿貝爾群基本定理，然後再次討論半直積。

第9章：西羅理論

群作用、作為通向西羅定理之路的柯西定理、p群以及西羅定理。

第10章：伽羅瓦理論

本章從求解多項式方程這個「大問題」出發，將域擴張視覺化，討論不可約多項式和伽羅瓦群，進而到達「伽羅瓦理論的核心」，最後討論不可解性；概覽指出，五次方程的不可解性是這一章的焦點和終點。本章包含對域的介紹，但有幾條定理只陳述而不證明。

核心概念

第1–4章：從作用到代數

• 作為作用集合的群：本書的起始定義，由謎題和對稱性構建而來。
• 凱萊圖：群的一種圖示，節點表示元素，箭頭表示生成元的作用效果。
• 乘法表：有限群的運算表，與凱萊圖相互對應。
• 經典定義：群是帶有滿足群公理的二元運算的集合，在第4章得出。

第5–6章：家族與子群

• 五個家族：迴圈群、阿貝爾群、二面體群、對稱群和交錯群。
• 陪集與拉格朗日定理：子群如何劃分一個群，以及子群的階為何整除群的階。

第7–8章：積、商與同態

• 直積與半直積：由較小的群構造較大群的方法。
• 正規子群與商：在什麼情況下把陪集「壓縮」後得到一個群。
• 同態基本定理：同態、其核與其像之間的關係。
• 阿貝爾群基本定理：（有限）阿貝爾群的結構定理。

第9–10章：西羅理論與伽羅瓦理論

• 群作用與柯西定理：用來逼近西羅定理的工具。
• 西羅定理：關於質數冪階子群的結果。
• 伽羅瓦群：域擴張的對稱群，把多項式方程與群結構聯繫起來。
• 五次方程的不可解性：本書收尾的結果。

評析

優點

• 從第一頁起就是視覺化的。 書中有300多幅圖，對影像的依賴程度在代數教材中少見。作者解釋了以凱萊圖為主的原因：它們清晰而忠實地呈現群的結構。
• 有意顛倒通常的順序。 多數教材先把群定義為帶運算的集合，之後再證明凱萊定理。Carter 在第1章把群定義為作用的集合，到第4章才得出經典定義。覺得公理缺乏動機的學生可以先接觸例子。
• 覆蓋一門典型課程。 出版方稱本書覆蓋一門典型的大學部群論課程。目錄也印證了這一點：從子群和拉格朗日定理，經過商、同態和阿貝爾群基本定理，一直到西羅理論，另加一章伽羅瓦理論。美國數學協會（MAA）於2012年授予本書貝肯巴赫圖書獎。
• 配套軟體。 許多插圖是用作者開發的免費軟體 Group Explorer 製作的，用它進行探索有助於完成部分習題；只有很少的習題必須用到它。

局限

• 不求全面，證明訓練較少。 序言說，本書的目標不是全面覆蓋群論，而是教讀者「認識」群。傳統教材訓練學生提出猜想並加以證明。修讀以證明為主的課程的學生需要同時使用一本常規教材。
• 只講群。 除第10章對域的介紹（其中幾條定理未加證明）外，環、域等結構不在討論範圍之內。
• 以有限群為主。 作者側重有限群，因為它們更易於作圖，也更有助於建立直覺。書中涉及最常見的無限群，但主要關心無限群的讀者會覺得內容偏少。
• 軟體地址已變。 序言給出的是 Group Explorer 在 SourceForge 上的地址；當前版本（3.0）是一個網頁應用，釋出在作者的 GitHub 頁面上。

在課程中的定位

Carter 的書是本課程群論部分的視覺化入門。它適合尚未學過抽象代數的學生，或正在上第一門課程卻難以想像各種定義的學生。Charles Pinter 的 A Book of Abstract Algebra 和 Thomas Judson 的 Abstract Algebra: Theory and Applications 是完整的入門教材，除群之外還講環和域，採用傳統的定義—定理—證明風格。Carter 可以在其中任何一本之前閱讀，也可以與它們的群論章節逐章對照閱讀。

Joseph Gallian 的 Contemporary Abstract Algebra 和 Peter Cameron 的 Introduction to Algebra 是內容更充實的課程教材，Carter 的圖示有助於理解其中的陪集、商和同態。R. B. J. T. Allenby 的 Rings, Fields and Groups 是要求更高的論述，宜留待以後閱讀。這些書都不能取代 Carter 的圖示，Carter 也不能取代它們的證明和習題。最有效的用法是兩者搭配。

如何使用本書

序言面向開始修讀第一門群論課程的學生（既可代替教材，也可作為補充），以及想了解概貌的休閒讀者。只要求高中數學基礎，再加上分析思考的意願。

• 按順序閱讀。 概覽說明本書結構是線性的，後面的小節通常依賴前面的內容。有兩個例外。第5章的大部分可以跳過、以後再回頭看，只有5.2節阿貝爾群的定義除外。第10章對第9章的依賴僅限於柯西定理（9.2節），它在10.7節中用到。
• 群論課程的核心路線： 第1–4章，然後是講子群與陪集、積與商、同態的第6–8章。西羅理論以第9章為核心。第10章是展示群論威力的延伸內容。
• 親手畫圖。 自己重畫凱萊圖，並用免費的網頁應用 Group Explorer 對各章中的群進行實驗。
• 先做習題，再核對附錄中的部分答案。 然後在常規教材中就同樣的主題練習寫證明。