抽象代數教程

引用

Pinter, C. C. (2010). A Book of Abstract Algebra (2nd ed.). Dover Publications. Unabridged republication of the second edition (McGraw-Hill, 1990); first edition 1982.

章節概要

全書 33 章篇幅都不長，每章先以與學生對話的方式討論一個中心概念，再接上長長的習題組；目錄中以斜體標出的主題只在習題中展開。

第1章：為什麼要學抽象代數？

這是一章歷史性的引言，討論代數的歷史、新的代數、代數結構、公理與公理化代數，以及抽象化。前言說，本書一開始就承諾要證明五次方程式無法用根式求解，並在第 33 章兌現這個承諾。

第2–5章：運算／群的定義／群的基本性質／子群

從運算及其性質出發引入群（有限群與無限群、阿貝爾群與非阿貝爾群，以及群表），再討論群的基本性質、子群、生成元與定義關係。習題組補充了最大概似解碼、直積、凱萊圖、群的中心以及群碼。

第6–8章：函數／置換群／有限集合上的置換

在置換群之前先複習一對一、映成與一對一且映成的函數（習題涉及有限狀態機與自動機）。接著介紹對稱群和二面體群，習題中有一個在人類學上的應用；然後是循環置換、對換、奇置換與偶置換，以及交錯群。

第9–11章：同構／群元素的階／循環群

討論同構與不同構的群、凱萊定理，以及（在習題中）自同構；接著是元素的冪、指數律、元素的階，以及循環群及其子群。

第12–13章：分割與等價關係／陪集計數

等價關係為拉格朗日定理及其推論做好準備；習題概覽了階數不超過 10 的群，並涉及共軛元素與群作用。

第14–16章：同態／商群／同態基本定理

由同態、正規子群與核引出商群與同態基本定理。習題組走得更遠：類方程式、同構定理與對應定理、柯西定理與西洛定理，以及有限阿貝爾群的分解。

第17–23章：環：定義與基本性質／理想與同態／商環／整環／整數／質因數分解／數論初步（選讀）

從環、整環與體開始，討論理想、商環、質理想與極大理想，以及特徵、有限體與分式體。整數被刻畫為有序整環，並由此得到唯一分解。選讀的第 23 章討論同餘、費馬定理與歐拉定理，以及中國剩餘定理。

第24–26章：多項式環／多項式的因式分解／多項式中的代入

討論多項式環、體上的除法演算法、不可約多項式與 F[x] 中的唯一分解，接著是根與因式、ℚ 上與實數上的多項式、艾森斯坦判別法以及內插。

第27–30章：體的擴張／向量空間／體擴張的次數／尺規作圖

引入代數元與超越元以及極小多項式；以簡短的一章線性代數（線性獨立、基底、維度、線性變換）來定義擴張次數；進而討論單擴張與逐次擴張、可作圖數與不可能的作圖。

第31–33章：伽羅瓦理論：序曲／伽羅瓦理論：核心／以根式解方程式

先準備重根、根體與擴體的同構，再討論體的自同構、伽羅瓦群、伽羅瓦對應與基本定理；最後藉助根式擴張與可解群，以五次方程式無法以根式求解作結。

附錄A–C：集合論複習／整數複習／數學歸納法複習

第二版新增的簡短複習，各附有習題，適合想先從預備知識講起的課程；書末另有部分習題的解答。

核心概念

第1–13章：群

• 群：具有滿足結合律的運算、單位元與反元素的集合；運算可交換時稱為阿貝爾群。
• 循環分解：有限集合上的任一置換都可寫成互斥循環的乘積，而且不是偶置換就是奇置換。
• 同構：保持運算的一對一映成函數；凱萊定理說明任何群都同構於某個置換群。
• 拉格朗日定理：有限群之子群的階數整除該群的階數。

第14–16章：同態與商群

• 正規子群與核：同態的核必定是正規子群。
• 同態基本定理：同態的像同構於定義域對核的商群。

第17–26章：環、整數與多項式

• 整環與體：沒有零因子的含么交換環，以及每個非零元素都可逆的交換環。
• 質理想與極大理想：商環分別為整環與體的理想。
• 不可約多項式：在給定的體上無法分解為較低次多項式乘積的多項式。

第27–33章：體與伽羅瓦理論

• 擴張次數：把大體視為小體上的向量空間時的維度；它說明了為什麼某些尺規作圖無法完成。
• 伽羅瓦群：固定基體的擴體自同構所構成的群，基本定理把它的子群與中間體對應起來。
• 可解群：與根式可解性相對應的群論條件。

評析

優點

• 先講動機，再談形式。 前言說明，本書避開「定義—定理—證明—推論」的固定套路，以與學生對話的方式寫成，將概念追溯到其來源與熟悉的直觀。證明很少超過幾行。
• 背景知識隨用隨補。 置換群之前複習函數，拉格朗日定理之前講等價關係，附錄 A–C 複習集合、整數與歸納法，因此不必另修一門預備課程。
• 習題是全書的核心。 Allen Stenger 在 MAA Reviews 的書評中指出，全書一半以上的篇幅用於成系列的問題。附有標題的習題組從計算到簡短證明，再到證明新結果的題組，一路延伸到西洛定理、二次剩餘與代數閉包等進階內容，讓程度較好的學生有繼續深入的空間。
• 目標明確。 多項式、體擴張與作圖各章都通往五次方程式的不可解性，因此後半部各章的目的一目了然。

局限

• 許多理論只出現在習題中。 同構定理、對應定理、柯西定理與西洛定理，以及有限阿貝爾群的結構，都只在習題組中出現。習題指派得少的課程會錯過這些內容。
• 解答協助有限。 只有標 # 的習題附有解答，前言說這些只是部分解答或關鍵提示。
• 範圍傳統而固定。 Stenger 認為本書的選題與處理方式都非常傳統，而 Dover 版是 1990 年版的原樣重印。唯一分解只針對 ℤ 與 F[x] 討論，沒有一般整環的理論，也沒有模等更進一步的主題。
• 應用居於邊緣。 第二版前言說明，應用（主要是編碼理論與自動機理論）只加在習題部分，可以省略。

書中的應用

應用只出現在習題組中：最大概似解碼（第 3 章）、群碼與漢明碼（第 5 章）、有限狀態機與自動機（第 6 章），以及置換群在人類學上的應用（第 7 章）。書中沒有涉及密碼學。

在課程中的定位

Pinter 是一本對話式的入門教科書，涵蓋群、環、體，並以伽羅瓦理論收尾。Nathan Carter 的 Visual Group Theory 藉由圖形與配套軟體只講群論，適合在 Pinter 第 1–16 章之前或同時閱讀；Carter 沒有涉及的環、體與伽羅瓦理論則由 Pinter 補上。Thomas Judson 的免費教科書 Abstract Algebra: Theory and Applications 涵蓋相近的範圍，把密碼學與編碼理論列為獨立章節，並提供可選的 Sage 練習；想了解應用或做電腦實驗時，可與 Pinter 搭配使用。Joseph Gallian 的 Contemporary Abstract Algebra 是篇幅更大的教科書，例題與歷史註記豐富，適合希望涵蓋面更廣、或已在離散數學課上接觸過證明的學生。

讀完 Pinter 之後，Peter Cameron 的 Introduction to Algebra 是自然的下一步：它先講環再講群，並加入模、數系的建構及更多專題，可以補足 Pinter 放在習題裡或未涉及的內容。R. B. J. T. Allenby 的 Rings, Fields and Groups 對同樣三種結構的處理更嚴謹、更全面，宜在修完入門課程後閱讀，而不是用來取代入門課程。

如何使用本書

本書適合作為抽象代數的第一門課程。Dover 稱它適合數學系三、四年級學生與未來的數學教師，前言也說本書主要面向「一般程度的學生」。不要求先修代數課程：基礎知識隨需要補充，需要的是高中代數以及閱讀與撰寫簡短證明的意願。若對集合、整數或歸納法不熟悉，請先複習附錄。

實用的學習計畫：

• 第一學期（群）： 第 1–16 章。第 1 章快速瀏覽以掌握全貌；第 12–16 章是群論的核心，需要投入最多時間。
• 第二學期或後半學期（環與體）： 第 17–22 章與第 24–27 章，接著是第 29–30 章。第 23 章標明為選讀。修過線性代數的學生可以略讀第 28 章。
• 伽羅瓦理論： 第 31–33 章，需要以第 24–29 章以及第 14–16 章的商群內容為基礎。
• 一學期概覽課程： 第 1–19 章；若已熟悉運算、函數與等價關係，可略讀第 2、6、12 章；時間允許再讀第 24、25、27 章。

把習題組當作正文來學。每章先做開頭的計算題組，至少做一組簡短證明題，再做一組證明新結果的後續題組；標 † 的題組要依序完成。標 # 的習題在書末附有部分解答；其餘習題最好請同學或老師協助檢查證明。打算繼續深入學習代數的學生，應完成第 16 章關於同構定理與西洛定理的習題組，因為正文並未證明它們。第 3 章與第 5–7 章的應用題組屬於選做內容，可依興趣加入。