代數導論

引用

Cameron, P. J. (2008). Introduction to Algebra (2nd ed.). Oxford University Press.

章節概要

第1章：導論

開篇一章為一年級學生進入抽象代數之前準備所需的背景：什麼是證明、數的性質、代數運算、集合、映射與關係（尤其是等價關係）、模算術、矩陣和置換，並附有一篇關於邏輯的附錄。為了讓本書也能用於一年級課程，第二版把這一章的篇幅擴充到原來的兩倍以上，節奏也刻意放得很緩。

第2章：環

本書有意先講環後講群：整數人人熟悉，它滿足環的公理，在入門階段是可靠的參照。本章講授環與子環、同態與理想、因式分解（由此證明算術基本定理）以及體，並附有一篇雜錄性質的附錄。

第3章：群

群與子群、陪集與拉格朗日定理、同態與正規子群的展開與環的一章平行，因此讀者第二次遇到同構定理和商結構。關於特殊群的一節介紹循環群、對稱群、交錯群等族，附錄則探討給定階的群究竟有多少個。

第4章：向量空間

這一短章並不打算全面講授線性代數，因為多數讀者此前已經學過向量空間。它以公理化方式重述子空間、基底與維度、線性變換與矩陣，並把內容組織成可以推廣到下一章模論的形式。

第5章：模

模透過讓純量取自環而非體來推廣向量空間。在引言之後，本章研究歐幾里得整環上的模，用列與行的基本運算得到史密斯標準形，再把結果用於兩個問題：有限生成阿貝爾群的結構，以及矩陣的標準形（包括凱萊–漢彌爾頓定理）。

第6章：數系

本章從自然數出發一路構造到複數，為前文「整數構成環」這一假定打下穩固基礎。它區分代數數與超越數，證明某些尺規作圖不可能完成，最後進一步討論集合論：可數性，以及本版新增的選擇公理和佐恩引理。

第7章：進一步的專題

這是全書最長的一章，把第2章和第3章的內容繼續推進。群論部分包括群作用、西洛定理和合成列；環論部分包括唯一分解整環和局部環；體論部分包括有限體。最後一部分介紹幾種因其統一作用而入選的結構：泛代數、格與布林代數，以及範疇。作者自己也說，其中一些內容過於簡略，不適合直接用於教學，用意在引導讀者進一步閱讀。

第8章：應用

兩項應用幾乎用到全書的內容。編碼理論部分涵蓋錯誤更正碼、具有生成矩陣與檢查矩陣的線性碼、校驗子解碼、碼規模的界，以及由有限體構造的循環碼。伽羅瓦理論部分涵蓋分裂體、伽羅瓦對應，以及如何藉助它判斷哪些多項式方程可以用根式求解。

核心概念

第1章：導論

• 等價關係：滿足自反、對稱、遞移的關係，其等價類構成集合的一個分割；作者強調代數學的許多內容都依賴於它。
• 模算術：關於餘數的算術，是讀者遇到的第一個有限代數結構。

第2–3章：環；群

• 理想與商環：理想是環同態的核，對它取商得到一個新的環。
• 環中的因式分解：適當環中的唯一分解，由此得到算術基本定理。
• 正規子群與商群：理想在群中的對應物，即群同態的核。
• 拉格朗日定理：有限群的子群的階整除群的階。

第4–5章：向量空間；模

• 環上的模：純量構成環而非體的「向量空間」。
• 史密斯標準形：歐幾里得整環上的矩陣經列行基本運算得到的對角形式，是第5章的關鍵工具。
• 有限生成阿貝爾群的結構：這樣的群是循環群的直和，作為模論的應用而得到。

第6章：數系

• 數系的構造：在自然數的基礎上依次構造整數、有理數、實數和複數。
• 代數數與超越數：是否為有理係數多項式之根的區分，也是某些作圖不可能性背後的依據。
• 佐恩引理：選擇公理的一種形式，用於證明諸如無限維空間存在基底之類的存在性結果。

第7章：進一步的專題

• 西洛定理：有限群中質數冪階子群的存在性與共軛性。
• 有限體：元素個數為質數冪的體，其乘法群是循環群。
• 泛代數與格：把群、環等結構視為同一觀念之實例的一般框架。

第8章：應用

• 線性碼與最小距離：有限體上字的子空間，其最小距離決定能更正多少個錯誤。
• 伽羅瓦對應：伽羅瓦群的子群與擴張的中間體之間的對應關係。

評析

優點

• 一條說理清楚的通往抽象之路。 卡麥隆解釋了為何先講環後講群：整數使公理顯得親切，因式分解定理能證明關於數的實在結論，通往重要應用的路徑也更短。對起初覺得群公理抽象的學生來說，這種順序可能更容易入手。
• 對一年級學生友善的起點。 擴充後的第1章涵蓋證明、集合、關係、矩陣和置換，只學過高中數學的學生也能從這裡起步。zbMATH 上第二版的評論者把這項改動列為最重要的變化。
• 單冊之中少見的廣度。 除了群、環、體，本書還包括模及其兩項經典應用、數系的構造、佐恩引理等集合論工具、泛代數、格與範疇的入門，以及兩項完整的應用。因此一本書可以支撐多門不同的課程。
• 大量習題與線上支援。 每章都有分量可觀的習題，較難的題目標有星號。作者網站提供奇數編號習題的解答、群和環的補充題，以及勘誤表。

局限

• 節奏逐漸加快。 序言提醒讀者：第1章節奏平緩，第2、3章稍快，之後各章更快。因為導論部分而選擇本書的讀者應當預料到，從第4章起講解會少得多。
• 部分專題只是概述。 作者本人說，第7章的部分內容，特別是最後對其他結構的概覽，過於簡略，不適合直接用於教學。伽羅瓦理論和編碼理論各自只佔一節、不到二十頁，足以講清主要定理，但若沒有補充讀物，不足以支撐一整門課。
• 預設已學線性代數。 第4章有意略去線性代數的大部分內容，沒有修過矩陣與向量空間課程的讀者會覺得第4、5章相當吃力。
• 有意的重複與前向引用。 由於本書要服務於多門課程，有些概念先在習題中出現，之後才在正文中再次處理。這對跳讀的讀者有幫助，但從頭讀到尾的人可能會覺得不夠連貫。

書中的應用

書中的應用是數學上的，而非工業上的。第5章用歐幾里得整環上的模對有限生成阿貝爾群進行分類，並得到矩陣的標準形。第6章用代數數理論證明某些尺規作圖不可能完成。第8章把有限體上的線性代數用於錯誤更正碼（生成矩陣與檢查矩陣、校驗子解碼、漢明界和辛格頓界等界、循環碼），並發展伽羅瓦理論，說明為什麼不存在用根式求解五次多項式方程的一般公式。

在課程中的定位

在本課程書單中，最適合與本書比較的是加利安的 Contemporary Abstract Algebra：這是一本供第一門課使用的大學部教材，證明細緻，例題和習題豐富，並穿插歷史註記。湯瑪斯·賈德森的免費教材 Abstract Algebra: Theory and Applications 也是講授群、環、體的同類第一門課教材，附有應用和可選的 Sage 練習。內森·卡特的 Visual Group Theory 先藉助圖形建立對群的直覺，再給出形式定義，適合作為第3章的預備讀物或配套讀物。卡麥隆涵蓋同樣的核心內容，但把環放在群之前，並進一步延伸到模、數系的構造以及泛代數與格。修讀標準第一門課、又希望看到更多例題的學生，可以把卡麥隆與加利安或賈德森搭配使用；想用一本書同時應付第一門和第二門代數課的學生，從卡麥隆這裡收穫會更多。

平特的 A Book of Abstract Algebra 是一本平易近人的第一門課教材，先用一系列短章展開群論，再轉向環和體。它可以在卡麥隆之前閱讀，也可以與第2、3章同時閱讀；它先講群的順序與卡麥隆形成有益的對照。艾倫比的 Rings, Fields and Groups 是另一本抽象代數入門書：在開頭幾章討論數、多項式和關係之後，它也像卡麥隆一樣先講環後講群，最後以對伽羅瓦理論的簡短探討收尾。喜歡卡麥隆先講環這條路線的學生，可以用它來獲得對同樣概念的另一種講解。

如何使用本書

本書以一年級及以上的數學系大學部學生為對象。第1–3章只需要高中數學，加上願意閱讀和書寫證明。從第4章起，預設讀者已修過線性代數的第一門課。

不要從頭讀到尾，而應選擇一條路線。兩篇序言提供了幾種：

• 第一門代數課： 視需要讀第1章，然後讀第2章和第3章。
• 第二門課： 第5章和第7章。
• 群論課： 第3章加上第7章中群論的各節。
• 環論課： 第2章和第5章，加上第7章中環論的各節。
• 伽羅瓦理論： 第2、6、7章中關於體的各節，然後讀第8章的伽羅瓦理論部分。
• 編碼理論： 第2章和第7章中關於有限體的內容，然後讀第8章的編碼理論部分。

已經熟悉證明和集合的學生可以略讀第1章，但關係和模算術兩部分全書都會用到。第7章的最後一部分可以當作選讀的延伸材料。

邊讀邊做習題：有些習題引入了正文後面要用到的概念。帶星號的題目較難。用作者線上公布的奇數題解答核對自己的答案，並查看勘誤表。第7章的解答並不完整，因此學習進一步專題時，另備一本教材或請教老師會有幫助。作者的解答也能讓讀者熟悉他的記號：映射寫在自變數的右邊，矩陣作用於列向量（橫向的向量），需要一段時間才能習慣。如果覺得伽羅瓦理論或編碼理論的處理過於簡略，可以依書末的「Further reading」書目繼續閱讀。