01 / 導讀
導讀
引用
Judson, T. W. (2026). Abstract Algebra: Theory and Applications (2026 annual edition; Sage exercises by R. A. Beezer). Orthogonal Publishing L3C. Free official edition: https://judsonbooks.org/abstract-algebra-theory-and-applications/
章節概要
第1–2章：預備知識；整數
第1章列出讀者需要的背景：先簡要說明什麼是證明以及如何書寫證明，然後討論集合、函數、關係、等價關係與分割。第2章把整數作為第一個代數模型來展開：數學歸納法與良序原理、除法原理、用歐幾里得演算法求最大公因數，以及算術基本定理。
第3章：群
本章透過整數的等價類（ℤₙ）和三角形的對稱來引出群，然後用公理定義群，並給出包括矩陣群在內的大量例子，接著討論基本性質與子群。附加習題一節說明 UPC 和 ISBN 等識別碼中的檢查碼如何偵測錯誤。
第4章：循環群
本章研究由單一元素生成的群，證明循環群的子群仍是循環群。它討論複數乘法群、圓群與單位根，以及用於計算模 n 大次方的反覆平方法，為密碼學做準備。
第5章：置換群
置換用循環記號和換位之積來表示；偶置換與奇置換引出交錯群。本章把二面體群作為正多邊形的對稱群引入，並討論立方體的運動群，提供大量非交換群的例子。
第6章：陪集與拉格朗日定理
陪集分割群，由此得到拉格朗日定理：子群的階整除群的階。本章指出其逆敘述不成立，並推出費馬定理和歐拉定理作為推論。
第7章：密碼學導論
這是一個應用章節，涵蓋私鑰系統（移位密碼、仿射密碼和矩陣密碼）以及基於歐拉定理的公鑰密碼，具體是 RSA，包括如何用 RSA 驗證訊息的真實性。附加習題探討質數判定和因數分解。
第8章：代數編碼理論
本章藉助漢明距離引入偵錯碼和更正碼；線性碼被看作 ℤ₂ⁿ 的子群，用同位檢查矩陣和生成矩陣描述，並透過徵狀和陪集解碼有效率地解碼。
第9章：同構
本章定義並研究同構的群；凱萊定理表明每個群都同構於一個置換群。隨後引入外直積和內直積，並給出 ℤₘ × ℤₙ 為循環群的條件。
第10章：正規子群與商群
正規子群恰好是左陪集與右陪集相同的子群，它們使商群的建構成為可能。本章證明當 n ≥ 5 時交錯群 Aₙ 是單群。
第11章：同態
群同態與核是同構的推廣。本章證明第一、第二、第三同構定理和對應定理，並有關於自同構的附加習題。
第12章：矩陣群與對稱
本章沿著克萊因把幾何視為研究不變量之學的觀點，討論一般線性群、特殊線性群、正交群和歐幾里得群，然後對平面上的有限對稱群進行分類，並介紹壁紙群和晶體群。
第13章：群的結構
有限阿貝爾群基本定理把有限阿貝爾群分類為質數冪階循環群的直積。後半部分引入次正規列與合成列、若爾當–赫爾德定理以及可解群，這些是伽羅瓦理論所需要的。
第14章：群作用
群在集合上的作用給出軌道和穩定子群；群透過共軛作用於自身，由此得到類方程。伯恩賽德計數定理被用於計算著色數和對開關函數分類。
第15章：西洛定理
本章利用群作用證明三條西洛定理，作為拉格朗日定理的部分逆敘述，並用它們證明某些群不是單群、對小階群進行分類。章末有一個尋找小階群的專題。
第16章：環
本章定義環、整環和體，例子包括矩陣、四元數和多項式。隨後討論環同態、理想、商環以及極大理想與質理想；最後一節把中國剩餘定理應用於設計大整數平行計算的軟體。
第17章：多項式
本章透過除法原理和多項式的根來研究多項式環，然後討論不可約多項式，包括高斯引理和艾森斯坦判別法，證明當 F 是體時 F[x] 的每個理想都是主理想，並提供關於求解三次和四次方程式的附加習題。
第18章：整環
本章建構整環的分式體，比較唯一分解整環、主理想整環和歐幾里得整環，以高斯整數作為核心例子，並證明唯一分解整環上的多項式環仍是唯一分解整環。
第19章：格與布林代數
本章把偏序集、格和布林代數作為推廣集合包含、聯集和交集的結構加以介紹，對有限布林代數進行分類，並把理論應用於開關電路。
第20章：向量空間
簡短的一章討論任意體上的向量空間——子空間、線性獨立、基底與維度——為處理體擴張準備工具。
第21章：體
本章展開代數擴張與超越擴張、擴張次數及其乘法性、代數閉包和分裂體，並把理論應用於經典尺規作圖問題，證明不可能用直尺和圓規倍立方、三等分任意角或化圓為方。
第22章：有限體
本章證明對每個質數冪都存在唯一一個該階的有限體，且其乘法群是循環群。有限體被應用於多項式（循環）碼，並附有關於 BCH 碼的附加習題。
第23章：伽羅瓦理論
體自同構和多項式的伽羅瓦群引出伽羅瓦理論基本定理，它把中間體與子群一一對應。應用包括根式可解性、一般五次方程式不可根式求解，以及代數基本定理的一個證明。
核心概念
第1–2章：預備知識；整數
- 等價關係與分割：自反、對稱、遞移的關係，其等價類把集合分成互不相交的部分。
- 除法原理與歐幾里得演算法：帶餘數的除法，以及反覆做除法以求最大公因數的方法。
第3–4章：群；循環群
- 群：帶有結合運算、單位元素和反元素的集合。
- 子群：在同一運算下自身也構成群的子集合。
- 循環群：由一個元素生成的群；這樣的群都同構於 ℤ 或某個 ℤₙ。
第5–6章：置換群；陪集與拉格朗日定理
- 循環記號與奇偶性：把置換寫成循環，並按換位個數分為偶置換或奇置換。
- 二面體群：正 n 邊形的對稱群，有 2n 個元素。
- 拉格朗日定理：有限群的子群的階整除群的階。
第7–8章：密碼學導論；代數編碼理論
- RSA：一種公鑰系統，其安全性基於分解兩個大質數之積的困難性。
- 線性碼：作為 ℤ₂ⁿ 子群的碼，用生成矩陣和同位檢查矩陣描述。
- 最小距離：碼字之間漢明距離的最小值，決定能偵測或更正多少個錯誤。
第9–11章：同構；正規子群與商群；同態
- 凱萊定理：每個群都同構於一個置換群。
- 商群：正規子群的陪集所構成的群。
- 第一同構定理：同態的像同構於定義域模去核所得的商群。
第12–13章：矩陣群與對稱；群的結構
- 正交群：保持長度和角度的矩陣全體，用於描述對稱。
- 有限阿貝爾群基本定理：每個有限阿貝爾群都是質數冪階循環群的直積。
- 可解群：具有各因子都為阿貝爾群的次正規列的群。
第14–15章：群作用；西洛定理
- 軌道與穩定子群：一個點在群作用下的全部像，以及固定該點的子群。
- 伯恩賽德計數定理：軌道個數等於不動點個數的平均值。
- 西洛子群：具有最大質數冪階的子群，其存在性與個數由西洛定理控制。
第16–18章：環；多項式；整環
- 理想與商環：對乘以環中元素封閉的子環，用於建構商環。
- 極大理想：商環為體的理想。
- 不可約多項式：在給定體上不能分解為更低次多項式之積的多項式。
- 唯一分解整環：分解為不可約元的方式在相差單位和順序的意義下唯一的整環。
第19章：格與布林代數
- 格：任意兩個元素都有最小上界和最大下界的偏序集。
- 布林代數：有補分配格，可作為集合運算和開關電路的模型。
第20–21章：向量空間；體
- 擴張次數：把較大的體看作較小體上的向量空間時的維度。
- 分裂體：使多項式分解為一次因式之積的最小擴張體。
- 可作圖數：能用尺規作出的長度，它必須位於次數為 2 的冪的擴張中。
第22–23章：有限體；伽羅瓦理論
- 伽羅瓦體：唯一的 pⁿ 階有限體，其非零元構成循環群。
- 伽羅瓦群：保持基體不動的體擴張自同構所構成的群。
- 伽羅瓦理論基本定理：中間體與伽羅瓦群子群之間的對應。
評析
優點
- 應用與理論融為一體。 序言解釋說，應用實例有助於激勵初次接觸嚴格證明的學生。密碼學、編碼理論、對稱、計數、軟體設計、開關電路、尺規作圖和多項式碼都以完整的章或節出現，學生因而能看到群、環、體為何重要。
- 結構靈活、指引清楚。 序言給出章節依賴圖，以及一學期課程、偏理論的兩學期課程和偏應用課程的建議大綱；應用章節可以刪去而不破壞理論主線。
- 支持主動閱讀。 每章都有課前回答的閱讀問題，習題從計算型到理論型都有，許多章還有程式設計練習、專題和參考文獻。部分習題的提示與解答收在附錄中。
- 開放且支援計算。 本書以 GNU 自由文件授權條款發布，用 PreTeXt 編寫，有網頁版、PDF 版和印刷版；配套的 Sage 習題（已用較新的 SageMath 版本測試）可在網頁版和 Sage 版中使用。
局限
- 有些地方重廣度輕深度。 部分章節很短——第20章向量空間只有幾頁，第19章與主線略有距離——模論、表示論以及超出基礎的交換代數都沒有涉及。
- 解答不完整。 附錄只給出部分習題的提示與解答，證明往往只是概要，自學者需要其他方式來檢驗自己的論證。
- PDF 中沒有 Sage 內容。 標準 PDF 省略了 Sage 小節，這些內容在網頁版和單獨的 Sage 版 PDF 中；需要計算部分的讀者應使用那些版本。
- 需要一定的數學成熟度。 雖然沒有列出正式的先修要求，序言假定讀者熟悉矩陣和行列式，而第1章對證明的討論較簡短；沒有修過證明課程的學生可能需要額外協助。
書中的應用
應用佔據了整章或整節：UPC 和 ISBN 檢查碼的偵錯（3.6 節）、快速模冪運算（4.3 節）、包括 RSA 在內的私鑰與公鑰密碼（第7章）、線性碼與徵狀解碼的代數編碼理論（第8章）、對稱、壁紙群與晶體群（第12章）、用伯恩賽德定理計數著色與開關函數（第14章）、中國剩餘定理在平行處理軟體設計中的應用（16.5 節）、布林代數與電路（第19章）、尺規作圖（21.3 節）、多項式碼與 BCH 碼（第22章），以及多項式方程式的根式可解性（23.3 節）。
在課程中的定位
在這份抽象代數書單中，Judson 的書和 Nathan Carter 的 Visual Group Theory 是最容易上手的兩本。後者一般被視為對群論的直觀、視覺化入門，適合希望在學習 Judson 第3–15章之前或同時藉助圖形理解群結構的讀者。Gallian 的 Contemporary Abstract Algebra 一般被描述為應用和習題豐富、使用廣泛的大學部教科書，涵蓋範圍與 Judson 相近；可以以其中一本為主教科書，另一本作為補充例題的來源。
Pinter 的 A Book of Abstract Algebra 也是第一門課的教科書，以對話式的文字分成33個短章，從群講到環、體擴張與伽羅瓦理論，並把大量理論放在習題中；適合與 Judson 並讀，作為另一種講法。Cameron 的 Introduction to Algebra 和 Allenby 的 Rings, Fields and Groups 都先講環再講群。Cameron 還進一步講到向量空間、模、數系的建構、編碼理論與伽羅瓦理論，適合讀完 Judson 第16–23章後想在環、體與伽羅瓦理論上繼續深入的學生。
如何使用本書
本書適用於一學期或兩學期的大學部課程，典型讀者是數學系學生，以及輔修數學的理科、工科和資訊科學學生。讀者應能閱讀證明，並了解基本的矩陣與行列式；第1–2章複習集合、等價關係、歸納法和整除性。
對於一學期課程，序言建議講授第1–6章、第9、10、11章、第13章（前半）、第16、17章、第18章（前半）以及第20、21章，並按興趣加入應用章節。若側重應用，可納入第7、8、12、14、19、22章；若是偏理論的兩學期課程，則繼續講到西洛定理、有限體和伽羅瓦理論。先回答每章的閱讀問題再做習題，用附錄B核對部分解答，並利用網頁版中的 Sage 習題對群、環、體進行實驗。
版本與來源
本導讀依據 Abstract Algebra: Theory and Applications 2026 年版（書名頁日期為 2026 年 8 月 4 日，© 1997–2026 Thomas W. Judson 與 Robert A. Beezer，GNU 自由文件授權條款），閱讀的是官方書籍頁面 https://judsonbooks.org/abstract-algebra-theory-and-applications/ 連結的免費 PDF。導讀參考了序言（課程安排、依賴圖、習題、閱讀問題和 Sage）、致謝、包括全部 23 章和附錄的完整目錄、每章引言和所有小節標題，以及主要定理的敘述和應用小節（包括 3.6、4.3、16.5、21.3 和 23.3 節）。