Visual Group Theory（可视化群论）

引用

Carter, N. (2009). Visual Group Theory. Mathematical Association of America (Classroom Resource Materials, vol. 32). Reissued by the American Mathematical Society, 2021.

章节概要

全书约300页，共10章，前有简短的概览，后附部分习题答案。作者统计书中有300多幅图，平均每页一幅以上。凯莱图是主要工具，辅以乘法表、具有对称性的物体、循环图、哈斯图、作用图和同态图。每章都以习题结尾；概览指出，每章的习题中都包含一些关于无限群的题目。

第1章：什么是群？

从一个著名的玩具出发，本章考察一个立方体谜题，介绍对称性的研究，并给出群的规则。在这里，群被定义为作用的集合，而还不是带有运算的集合。

第2章：群长什么样？

通过绘制地图、第二个不那么出名的玩具以及为群绘制地图，本章引出凯莱图，即本书核心的可视化手段。最后一节把这一想法变得"更抽象一点"。

第3章：为什么要研究群？

通过对称群、作用群以及在许多场合出现的群的例子（"群无处不在"）来提供学习动机。

第4章：终于来到代数

代数直到这里才出现。在追问"作用都到哪里去了"之后，本章讨论元素的组合和乘法表，并得出群作为带有二元运算的集合的经典定义。

第5章：五个家族

概述循环群、阿贝尔群、二面体群、对称群和交错群。作者说明，本章让读者广泛接触有限群，很有帮助，但除了5.2节中阿贝尔群的定义之外，后面的内容并不严格依赖它。

第6章：子群

本章把乘法表与凯莱图联系起来，然后展示如何在图中看出和揭示子群，进而讨论陪集和拉格朗日定理。

第7章：积与商

直积与半直积、正规子群与商群、正规化子和共轭。

第8章：同态的力量

从嵌入和商映射引出同态基本定理。本章把它应用于模运算、直积与互素的数以及阿贝尔群基本定理，然后再次讨论半直积。

第9章：西罗理论

群作用、作为通向西罗定理之路的柯西定理、p群以及西罗定理。

第10章：伽罗瓦理论

本章从求解多项式方程这个"大问题"出发，将域扩张可视化，讨论不可约多项式和伽罗瓦群，进而到达"伽罗瓦理论的核心"，最后讨论不可解性；概览指出，五次方程的不可解性是这一章的焦点和终点。本章包含对域的介绍，但有几条定理只陈述而不证明。

核心概念

第1–4章：从作用到代数

• 作为作用集合的群：本书的起始定义，由谜题和对称性构建而来。
• 凯莱图：群的一种图示，结点表示元素，箭头表示生成元的作用效果。
• 乘法表：有限群的运算表，与凯莱图相互对应。
• 经典定义：群是带有满足群公理的二元运算的集合，在第4章得出。

第5–6章：家族与子群

• 五个家族：循环群、阿贝尔群、二面体群、对称群和交错群。
• 陪集与拉格朗日定理：子群如何划分一个群，以及子群的阶为何整除群的阶。

第7–8章：积、商与同态

• 直积与半直积：由较小的群构造较大群的方法。
• 正规子群与商：在什么情况下把陪集"压缩"后得到一个群。
• 同态基本定理：同态、其核与其像之间的关系。
• 阿贝尔群基本定理：（有限）阿贝尔群的结构定理。

第9–10章：西罗理论与伽罗瓦理论

• 群作用与柯西定理：用来逼近西罗定理的工具。
• 西罗定理：关于素数幂阶子群的结果。
• 伽罗瓦群：域扩张的对称群，把多项式方程与群结构联系起来。
• 五次方程的不可解性：本书收尾的结果。

评析

优点

• 从第一页起就是可视化的。 书中有300多幅图，对图像的依赖程度在代数教材中少见。作者解释了以凯莱图为主的原因：它们清晰而忠实地呈现群的结构。
• 有意颠倒通常的顺序。 多数教材先把群定义为带运算的集合，之后再证明凯莱定理。Carter 在第1章把群定义为作用的集合，到第4章才得出经典定义。觉得公理缺乏动机的学生可以先接触例子。
• 覆盖一门典型课程。 出版方称本书覆盖一门典型的本科群论课程。目录也印证了这一点：从子群和拉格朗日定理，经过商、同态和阿贝尔群基本定理，一直到西罗理论，另加一章伽罗瓦理论。美国数学协会（MAA）于2012年授予本书贝肯巴赫图书奖。
• 配套软件。 许多插图是用作者开发的免费软件 Group Explorer 制作的，用它进行探索有助于完成部分习题；只有很少的习题必须用到它。

局限

• 不求全面，证明训练较少。 序言说，本书的目标不是全面覆盖群论，而是教读者"认识"群。传统教材训练学生提出猜想并加以证明。修读以证明为主的课程的学生需要同时使用一本常规教材。
• 只讲群。 除第10章对域的介绍（其中几条定理未加证明）外，环、域等结构不在讨论范围之内。
• 以有限群为主。 作者侧重有限群，因为它们更易于作图，也更有助于建立直觉。书中涉及最常见的无限群，但主要关心无限群的读者会觉得内容偏少。
• 软件地址已变。 序言给出的是 Group Explorer 在 SourceForge 上的地址；当前版本（3.0）是一个网页应用，发布在作者的 GitHub 页面上。

在课程中的定位

Carter 的书是本课程群论部分的可视化入门。它适合尚未学过抽象代数的学生，或正在上第一门课程却难以想象各种定义的学生。Charles Pinter 的 A Book of Abstract Algebra 和 Thomas Judson 的 Abstract Algebra: Theory and Applications 是完整的入门教材，除群之外还讲环和域，采用传统的定义—定理—证明风格。Carter 可以在其中任何一本之前阅读，也可以与它们的群论章节逐章对照阅读。

Joseph Gallian 的 Contemporary Abstract Algebra 和 Peter Cameron 的 Introduction to Algebra 是内容更充实的课程教材，Carter 的图示有助于理解其中的陪集、商和同态。R. B. J. T. Allenby 的 Rings, Fields and Groups 是要求更高的论述，宜留待以后阅读。这些书都不能取代 Carter 的图示，Carter 也不能取代它们的证明和习题。最有效的用法是两者搭配。

如何使用本书

序言面向开始修读第一门群论课程的学生（既可代替教材，也可作为补充），以及想了解概貌的休闲读者。只要求高中数学基础，再加上分析思考的意愿。

• 按顺序阅读。 概览说明本书结构是线性的，后面的小节通常依赖前面的内容。有两个例外。第5章的大部分可以跳过、以后再回头看，只有5.2节阿贝尔群的定义除外。第10章对第9章的依赖仅限于柯西定理（9.2节），它在10.7节中用到。
• 群论课程的核心路线： 第1–4章，然后是讲子群与陪集、积与商、同态的第6–8章。西罗理论以第9章为核心。第10章是展示群论威力的延伸内容。
• 亲手画图。 自己重画凯莱图，并用免费的网页应用 Group Explorer 对各章中的群进行实验。
• 先做习题，再核对附录中的部分答案。 然后在常规教材中就同样的主题练习写证明。