01 / 導讀
導讀
引用
Gallian, J. A. (2025). Contemporary Abstract Algebra (11th ed.). Chapman & Hall/CRC.
章節概要
第十一版由預備性的第0章與31個編號章節組成：群（第1–11章）、環與多項式（第12–18章）、體（第19–22章），以及一系列延伸主題（第23–31章）。幾乎每章都以習題作結，隨後是一篇或數篇簡短的人物傳記；書末約有40頁的部分解答。
第0章：預備知識
複習課程所需的背景：整數的性質、模算術、複數、數學歸納法、等價關係與映射。
第1–4章：群論導論；群；有限群與子群；循環群
在給出正式定義之前，先透過正方形的對稱與二面體群引入群的概念，接著給出定義、基本性質與一段歷史註記。後續幾章討論術語、子群判別法與子群的例子，再討論循環群的性質及其子群的分類。
第5–8章：置換群；同構；陪集與拉格朗日定理；外直積
置換群之後是同構、自同構與凱萊定理。陪集一章證明拉格朗日定理，並將陪集應用於置換群、立方體與足球的旋轉群以及魔術方塊；外直積一章附有應用小節。
第9–11章：正規子群與商群；群同態；有限阿貝爾群基本定理
這是群論的結構核心：正規子群、商群及其應用、內直積、同態與第一同構定理，以及有限阿貝爾群的分類與基本定理的證明。
第12–15章：環論導論；整環；理想與商環；環同態
先說明環的動機與定義，並介紹例子、性質與子環。接著討論整環、體與環的特徵，再討論商環、質理想與極大理想、環同態與分式體。
第16–18章：多項式環；多項式的因式分解；整環中的整除性
從多項式環與除法演算法出發，進入多項式的因式分解，再到不可約元與質元、唯一分解整環與歐幾里得整環，並附有關於費馬最後定理的歷史討論。
第19–22章：擴體；代數擴張；有限體；幾何作圖
體論從體論基本定理、分裂體與不可約多項式的零點講起，接著討論有限擴張與代數擴張、有限體的分類與結構，並透過可作圖數將理論應用於古典的幾何作圖問題。
第23–25章：西羅定理；有限單群；生成元與關係
回到群論：共軛類、類方程、西羅定理及其應用；有限單群；以及以生成元與關係給出的表現，包括15階以內群的分類與二面體群的刻畫。
第26–28章：對稱群；對稱與計數；群的凱萊有向圖
等距變換、有限平面對稱群的分類與三維有限旋轉群的分類；伯恩賽德定理與群作用在計數問題上的應用；以及以凱萊有向圖描繪群。
第29章：代數編碼理論導論
線性碼、檢查矩陣解碼與陪集解碼，並附有歷史註記。
第30–31章：伽羅瓦理論導論；分圓擴張
最後兩章篇幅較短（約14頁與10頁），藉助第19–21章的體論，介紹伽羅瓦理論與分圓擴張。
核心概念
第0–11章：群
- 二面體群：正多邊形的對稱所構成的群，是本書的第一個群的例子。
- 拉格朗日定理：有限群的子群的階整除群的階。
- 商群：由正規子群的陪集構成的群。
- 第一同構定理：群同態的像同構於以其核作商所得的商群。
- 有限阿貝爾群基本定理：每個有限阿貝爾群都是質數冪階循環群的直積。
第12–18章：環與多項式
- 整環：有單位元且無零因子的交換環。
- 質理想與極大理想：以之作商分別得到整環與體的理想。
- 唯一分解整環：其中每個非零非單位元都能分解為不可約元之積，且在相差次序與單位的意義下唯一的整環。
第19–22章：體
- 分裂體：使給定多項式完全分解為一次因式的最小擴體。
- 有限體：只含有限個元素的體；這類體由其階（某個質數的冪）完全分類。
- 可作圖數：能以直尺與圓規作出的長度，是證明某些古典作圖不可能的工具。
第23–31章：專題
- 西羅定理：保證質數冪階子群存在並描述其個數的一組定理。
- 伯恩賽德定理：計算群作用軌道個數的公式，用於在對稱意義下計數。
- 線性碼：構成子空間的錯誤更正碼，可用檢查矩陣或陪集解碼。
評析
優點
- 大量的例題與習題。 據出版社介紹，書中約有1,900道計算題與理論題、300多個例題，奇數號習題在書末附有解答要點與提示（部分解答約占40頁）。出版社也特別提到一類培養「推廣」習慣的習題。T. S. Blyth 在 zbMATH 上評論第二版時，就已稱讚其敘述清晰、習題豐富。
- 融入理論之中的具體應用。 從小節標題可以看出，應用就安排在相應理論出現之處：陪集用於立方體與足球的旋轉以及魔術方塊，伯恩賽德定理用於計數，代數編碼理論獨立成章，另有凱萊有向圖。出版社稱這些應用取自科學、計算機領域以及日常生活。
- 歷史與人物。 幾乎每章末尾都有人物傳記，從阿貝爾、柯西、伽羅瓦到艾倫·圖靈、潔西·麥克威廉斯、薇拉·普雷斯與曼朱爾·巴爾加瓦；書中也有關於費馬最後定理、幾何作圖等主題的歷史註記。Blyth 稱這些傳記令人愉快。
- 印刷文本之外的支援。 本書連結到作者網站上的互動式是非題與電腦習題，該網站也為學習證明與抽象代數的學生提供建議。學生習題解答手冊收錄了全部奇數號習題與許多偶數號習題的解答。
局限
- 內容超出一門課的容量。 預備章之後還有31章，超過典型的一學期課程；教師與自學者都必須取捨，第23–31章的專題會爭奪有限的時間。
- 伽羅瓦理論僅止於入門。 關於伽羅瓦理論與分圓擴張的最後兩章篇幅較短，需要完整學習伽羅瓦理論的學生之後還需要更進階的教科書。
- 部分主題移至網路。 印刷版已不再包含向量空間一章，也不再包含飾帶群與晶體群一章；作者網站提供第九版中的這些章節。
- 只有奇數號解答，語氣較輕鬆。 Blyth 對第二版提出的兩點保留——只提供奇數號習題的解答，以及詼諧引語過多——同樣適用於現行版本：出版社仍在宣傳奇數號習題的解答要點與「激勵性與幽默的引語」。
在課程中的定位
Gallian 是這門學科完整的標準教科書，自然適合作為本課程的主教材。在書單中較平易的書裡，Thomas Judson 的 Abstract Algebra: Theory and Applications 被描述為一本免費、開放授權的教科書，講授群、環、體及其應用，並附有可選的 Sage 練習；它是第一門課中可替代 Gallian 的有力選擇，同時閱讀也能提供另一種講解。Nathan Carter 的 Visual Group Theory 在進入形式代數之前，藉由凱萊圖與免費軟體培養對群的直觀，是第1–11章的良好輔助讀物；Gallian 的網站連結了 Carter 一書所用的軟體 Group Explorer。
Peter Cameron 的 Introduction to Algebra 被描述為從證明、集合與關係談起，涵蓋環、群、向量空間與模，因此可補上 Gallian 印刷版所略去的線性代數。Charles Pinter 的 A Book of Abstract Algebra 是一本平易的抽象代數入門書，在第一門課中可作為 Gallian 的易讀替代或輔助讀物。R. B. J. T. Allenby 的 Rings, Fields and Groups 是一本先講環與體、後講群的抽象代數導論，順序與 Gallian 相反，能讓學生從另一角度認識相同的結構。
如何使用本書
出版社說明，本書適用於以讓學生學會計算與撰寫證明為主要目標的課程，因此適合修過第一門證明類課程的數學系學生與未來教師，也適合需要群論與環論的資訊科學與物理系學生。
實用的學習安排如下：
- 第0章依需要閱讀。 模算術、等價關係與歸納法是前面幾章群論所依賴的工具。
- 第一學期（群）： 第1–11章，從正方形的對稱一路講到有限阿貝爾群的分類。若課程只講群論，可在最後加上第23章（西羅定理）。
- 第二學期（環與體）： 第12–22章，再從專題中選讀。第30–31章的伽羅瓦理論以第19–21章的體論為前提。
- 適合做專題的主題： 第26–29章（對稱、計數、凱萊有向圖、編碼理論）很適合作為學生專題或課堂報告。
做習題之前先把例題看過一遍，每章都兼做計算題與證明題。每讀完一章，用作者網站上的是非題檢驗理解，藉助電腦習題提出並檢驗猜想，並以書末的部分解答或學生習題解答手冊核對奇數號習題。