01 / 導讀
導讀
引用
Munkres, J. R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. Reissued by Pearson.
章節概要
全書分為兩部分共十四章，後接參考文獻和索引，第二版約 540 頁。出版社稱這兩部分各自獨立、互不相同，每一部分都適合一個學期的課程，並且圍繞同一組基本核心主題展開，另有可選的獨立專題和應用，可根據課程需要深入展開。
第一部分 一般拓撲學
第 1 章：集合論與邏輯
全書從集合論與邏輯開始，放在任何拓撲內容之前，作為後續各章的基礎。
第 2 章：拓撲空間與連續函式
本章引入這門學科的核心物件：拓撲空間以及它們之間的連續函式。第一部分的一切都依賴於它。
第 3 章：連通性與緊緻性
連通性和緊緻性是一般拓撲學中反覆用到的兩個性質，本章分別對它們加以論述。
第 4 章：可數性與分離公理
本章把限制空間中開集數量或空間“寬鬆程度”的條件放在一起：可數性公理和分離公理。這些條件為隨後的可度量化各章作了鋪墊。
第 5 章：Tychonoff 定理
一整章專門討論一個結果，即 Tychonoff 定理，它是關於緊緻空間之積的命題。本章位於連通性、緊緻性和分離公理各章之後。
第 6 章：可度量化定理與仿緊性
本章討論拓撲空間何時可以賦予度量，並引入仿緊性。
第 7 章：完備度量空間與函式空間
本章轉向完備度量空間和函式空間，即拓撲學與分析聯絡最直接的場合。
第 8 章：Baire 空間與維數論
第一部分以 Baire 空間和維數論入門作結。
第二部分 代數拓撲學
第 9 章：基本群
代數拓撲從基本群開始，它給每個空間對應一個群。本章是第二部分的入口，也是後面各章的基礎。
第 10 章：平面中的分離定理
本章討論平面中的分離定理，是基本群之後的第一個專題。
第 11 章：Seifert–van Kampen 定理
Seifert–van Kampen 定理是計算由較簡單部分拼成的空間的基本群的工具。
第 12 章：曲面的分類
本章討論曲面的分類，這是安排在 Seifert–van Kampen 定理之後的一個具體的幾何專題。
第 13 章：覆蓋空間的分類
本章討論覆蓋空間的分類。
第 14 章：在群論中的應用
最後一章轉向在群論中的應用。
核心概念
第一部分：一般拓撲學
- 拓撲空間與連續函式：這門學科的基本物件和對映（第 2 章）。
- 連通性與緊緻性：第 3 章所圍繞的兩個性質。
- 可數性與分離公理：第 4 章研究的空間條件。
- Tychonoff 定理：第 5 章的主題。
- 可度量化與仿緊性：第 6 章。
- 完備度量空間、函式空間、Baire 空間與維數論：第 7–8 章。
第二部分：代數拓撲學
- 基本群：第 9 章，第二部分的核心工具。
- Seifert–van Kampen 定理：第 11 章。
- 曲面與覆蓋空間的分類：第 12–13 章。
評析
優點
- 兩部分的設計適合一學年的教學。 出版社把本書定位為銜接一般拓撲與代數拓撲兩門課的單一教材，每一部分的篇幅對應一個學期。這比另選兩本書更為實用。
- 可選內容可以分開處理。 據出版社介紹，可選的獨立專題和應用可以依據課程需要取捨，因此本書能適應不同的教學大綱。
- 脈絡清晰。 章節順序由集合論出發，經過空間、連通性和緊緻性，到達可度量化，然後進入基本群及其應用，目錄本身就像一份課程提綱。
- 第一部分範圍寬。 第 5–8 章越出了最初的主題，涉及 Tychonoff 定理、可度量化、函式空間、Baire 空間和維數論。
侷限
- 篇幅與範圍。 全書約 540 頁，容納兩門課的內容，一個學期只會用到其中一部分。
- 代數拓撲只是入門。 第二部分集中於基本群和覆蓋空間；各章之中沒有同調和上同調，想學這些內容的學生需要另找教材。
- 開篇偏形式。 本書在任何拓撲內容之前先講集合論與邏輯，想先看影像和非正式動機的讀者，可以先讀一本較輕鬆的書。
在課程中的定位
在這一課程中，Munkres 是篇幅完整的標準式教材。書單中有兩本更溫和的書。Topology: A Very Short Introduction 和 The Shape of Space 是非技術性的、重視直觀的讀物，適合在正式課程之前建立對曲面、紐結和流形的直覺，但它們不能代替 Munkres 中的證明。Introduction to Metric and Topological Spaces 是一本本科教材，通過度量空間和實分析來進入一般拓撲，可以作為第 2–3 章的預備，也可以作為覺得抽象起步困難的讀者的替代選擇。
另一方面，Hatcher 的 Algebraic Topology 是研究生教材，展開基本群、同調、上同調和同倫論，自然是 Munkres 第二部分之後的延續；Hatcher 的完整文本可在作者網站免費獲得。一種合理的順序是：先讀 Munkres 第一部分作為拓撲學的第一門課，再在讀 Hatcher 之前或同時讀第二部分。
如何使用本書
本書面向能讀寫證明、並學過基本集合論的學生；學過實分析會有幫助，因為度量空間和實數軸提供了熟悉的例子。它適合高年級本科生和研究生一年級學生。
一個實用的讀法：
- 拓撲學第一門課： 第 1 章按需閱讀，以掌握記號和後面用到的集合論事實，然後認真讀第 2 章和第 3 章，它們包含一般拓撲學的核心。
- 從第一部分其餘各章中選擇： 第 4 章位於可度量化一章之前，第 5–8 章可依興趣挑選。走向分析的讀者可以偏重第 7 章；打算繼續學代數拓撲的讀者，在第 2–3 章紮實之後可以直接轉入第二部分。
- 第二學期或自學： 按順序讀第二部分，從第 9 章的基本群開始，到第 14 章的群論應用結束。
- 練習： 每個主題都要做習題，而不是隻讀正文，因為這門學科是靠證明來學的。