Algebraic Topology（代數拓樸）

引用

Hatcher, A. (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. Free official edition: https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html

章節概要

第0章：基礎幾何概念

這一簡短的預備章以非正式的方式、幾乎不加證明地介紹全書使用的幾何思想：同倫、形變收縮、映射柱與同倫等價；透過黏貼胞腔建構的 CW 複形（胞腔複形）；積、商、懸垂、聯和楔和等空間運算；同倫等價的兩個判別準則；以及同倫延拓性質。作者說明本章可以先讀，也可以略過、在需要時再回頭查閱。

第1章：基本群

本章以相互鏈結與不鏈結的圓為動機，定義路徑、同倫和基本群，計算 π₁(S¹) ≅ ℤ，並得出若干早期推論：代數基本定理、二維布勞威爾不動點定理以及 S² 上的博蘇克–烏拉姆定理。1.2 節引入自由積和范坎彭定理，並用它們由 2 維骨架計算胞腔複形的基本群。1.3 節展開覆蓋空間理論——提升性質、用 π₁ 的子群對覆蓋空間分類、覆蓋變換與群作用。附加專題討論圖與自由群（包括自由群的子群），以及 K(G,1) 空間與群的圖。

第2章：同調

在解釋為何高階同倫群難以計算而同調較易處理之後，本章分階段建構同調：Δ 複形與單純同調，然後是奇異同調，並證明同倫不變性、長正合序列、切除以及單純同調與奇異同調的等價。早期應用包括布勞威爾不動點定理和維度不變性。2.2 節發展計算工具——球面映射的度、胞腔同調、歐拉示性數、邁爾–菲托里斯序列和帶係數的同調——並證明 Sⁿ 上存在處處非零的切向量場若且唯若 n 為奇數。2.3 節給出同調公理以及範疇與函子的語言。附加專題涵蓋 H₁ 與 π₁ 的關係、經典應用（喬丹曲線定理、區域不變性、可除代數、博蘇克–烏拉姆定理）以及單純逼近與萊夫謝茨不動點定理。

第3章：上同調

上同調被引入為同調的對偶，泛係數定理說明一者如何決定另一者。本章的重點是反變性帶來的額外結構：使上同調成為環的杯積、屈內特公式、射影空間上同調環的計算，以及在 ℝⁿ 上可除代數結構問題中的應用。3.3 節討論流形的定向與龐加萊對偶、它與杯積的關聯，以及亞歷山大對偶等其他形式的對偶。內容豐富的附加專題包括同調的泛係數、一般屈內特公式、H 空間與霍普夫代數、SO(n) 的上同調、博克施泰因同態、極限與 Ext、轉移同態以及局部係數。

第4章：同倫論

本章定義高階同倫群及其長正合序列，隨後給出懷特海德定理、胞腔逼近和 CW 逼近。4.2 節討論同倫群的切除（包括弗洛伊登塔爾懸垂定理）、胡瑞維茲定理、纖維叢及其長正合序列，以及穩定同倫群，並列出球面已知穩定同倫群的表格。4.3 節透過艾倫伯格–麥克萊恩空間把同倫與上同調連結起來，用到 K(G, n) 的映射來表示上同調類，並引入纖維化、波斯特尼科夫塔和障礙理論。十二個附加專題從基點問題和霍普夫不變量，一直到纖維叢的上同調（勒雷–赫希、吉辛和托姆同構）、布朗可表示性定理、譜與同調理論、多爾德–托姆定理以及斯廷羅德平方與冪運算。

附錄

附錄彙集了正文中處理得較簡略的點集拓樸內容：胞腔複形的拓樸、緊開拓樸、同倫延拓性質和單純 CW 結構。

核心概念

第0章：基礎幾何概念

• 同倫等價：映射 f: X → Y 與 g: Y → X，其合成與恆等映射同倫，此時 X 與 Y 具有「相同的形狀」。
• CW 複形：按維度由低到高逐步黏貼胞腔而建構的空間，是本書主要研究的空間類。
• 同倫延拓性質：能把定義在子空間上的同倫延拓到整個空間的性質，對 CW 對成立。

第1章：基本群

• 基本群 π₁(X, x₀)：基點處迴圈的同倫類在迴圈合成下構成的群。
• 范坎彭定理：由各部分及其交集的基本群計算開集之聯集的基本群。
• 覆蓋空間：局部上是與離散纖維之積的映射；良好空間的連通覆蓋與 π₁ 子群的共軛類相對應。

第2章：同調

• 奇異同調：由單形到空間的全部連續映射建構的同調，具有同倫不變性並滿足切除。
• 長正合序列與切除：連結空間對、子空間與商空間同調的工具，是大多數計算的基礎。
• 胞腔同調：利用每個胞腔對應一個生成元的鏈複形來計算 CW 複形同調的高效方法。
• 邁爾–菲托里斯序列：對分成兩部分的空間而言，范坎彭定理在同調中的類比。

第3章：上同調

• 泛係數定理：透過 Hom 與 Ext 用同調表示上同調。
• 杯積：使 H*(X; R) 成為分次環的乘積，比加法結構更精細。
• 龐加萊對偶：對閉的可定向 n 維流形，H^k 與 H_{n−k} 同構，杯積給出非退化配對。

第4章：同倫論

• 懷特海德定理：在所有同倫群上誘導同構的 CW 複形之間的映射是同倫等價。
• 胡瑞維茲定理：對 (n−1) 連通空間，第一個非零同倫群與第一個非零同調群同構。
• 纖維叢與纖維化：具有同倫提升性質、給出同倫群長正合序列的映射。
• 艾倫伯格–麥克萊恩空間 K(G, n)：只有一個非零同倫群的空間，表示上同調 Hⁿ(–; G)。

評析

優點

• 幾何化、易讀的敘述。 序言把可讀性列為首要目標之一，並說明本書偏重幾何而非代數方面。從第1章相互鏈結的圓，到射影空間和透鏡空間的胞腔結構，論證都附有大量圖示和例子。
• CW 複形與 Δ 複形使計算有效率。 書中把 CW 複形強調為最自然的空間類，而 Δ 複形結構（例如環面只需 2 個三角形，而單純複形需要 14 個）簡化了早期的同調計算。
• 核心內容加大量選讀材料。 每章先是核心部分，然後是合起來約佔全書一半的附加專題，因此本書既可用於第一門課程，也可作日後參考，讀者還可以自行選擇同調、上同調和同倫的學習順序。
• 習題豐富。 每節和每個附加專題末尾都有習題，從例行驗證到較難的問題都有，少數附有提示或文獻出處。

局限

• 研究所程度的先修要求。 序言假定讀者具備大學部代數和點集拓樸知識，尤其是商空間；點集拓樸的細節在正文中常被簡略處理並移至附錄，缺乏這方面背景的讀者可能會遇到困難。
• 沒有譜序列和 K 理論。 譜序列被有意留到另一冊，向量叢、示性類和 K 理論則留到再一冊，因此一些標準計算不在本書範圍內。
• 沒有解答，難度不均。 書中不提供習題解答，附加專題的難度差別也很大，這使自學頗具挑戰。
• 內容偏經典。 作者稱書中材料本質上是經典的；模型範疇或高階範疇論等現代發展沒有討論。

書中的應用

應用集中在前面的小節和附加專題中：代數基本定理、布勞威爾不動點定理和博蘇克–烏拉姆定理（1.1 節）；維度不變性、關於球面切向量場的「毛球定理」以及歐拉示性數（第2章）；喬丹曲線定理、區域不變性、可除代數和萊夫謝茨不動點定理（2.B–2.C 節）；用杯積限制 ℝⁿ 上的可除代數結構（3.2 節）；以及流形和子空間補集上的龐加萊對偶與亞歷山大對偶（3.3 節）。

在課程中的定位

在這份「拓樸與幾何」書單中，Hatcher 是研究所層次的代數拓樸教科書。Richard Earl 的 Topology: A Very Short Introduction 和 Jeffrey Weeks 的 The Shape of Space 一般被視為對拓樸思想以及曲面和三維流形幾何的非正式、直觀介紹；它們是有益的背景讀物，但不能為本書的證明做準備。Sutherland 的 Introduction to Metric and Topological Spaces 一般被視為點集拓樸的第一門課程教科書，提供 Hatcher 所假定的商空間、緊緻性和連通性知識。

Munkres 的 Topology 講授點集拓樸，並在第二部分介紹基本群和覆蓋空間；在讀 Hatcher 之前學習該書或 Sutherland，可以打下所需基礎，而 Munkres 的代數拓樸章節與 Hatcher 第1章有所重疊。要學習同調、上同調和高階同倫論，應在這些書之後閱讀 Hatcher。

如何使用本書

本書針對研究生和高年級大學生。讀者應掌握群論以及環與模的基礎（用於係數和杯積），並熟悉包括商空間在內的點集拓樸；第0章和附錄提供幾何與點集方面的背景。

典型的第一門課程按需講授第0章，再講第1章（1.1–1.3 節）和第2章（2.1–2.2 節），也可加入 2.B 節和第3章的部分內容（上同調、杯積和龐加萊對偶）。第二門課程繼續講第3章和第4章的核心部分（4.1–4.3 節）。附加專題可按興趣選讀——例如自由群看 1.A，經典應用看 2.B，纖維叢看 4.D，斯廷羅德平方看 4.L。仔細推敲例子並動手畫圖，嘗試每節末的習題，並在作者網站上查看勘誤表和補充材料。

版本與來源

本導讀依據作者康乃爾大學網站上的 Algebraic Topology 免費電子版（2022 年 10 月的 PDF，包含劍橋大學出版社 2002 年初版在 2015 年再刷時的更正），https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html。導讀參考了序言（目標、結構、先修要求、Δ 複形、後續各冊和 2015 年再刷說明）、標準記號、包括全部附加專題和附錄的完整目錄、全部五章的引言、所有節與小節標題、第1–4章主要編號定理的敘述，以及部分習題。