01 / 导读
导读
引用
Munkres, J. R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. Reissued by Pearson.
章节概要
全书分为两部分共十四章，后接参考文献和索引，第二版约 540 页。出版社称这两部分各自独立、互不相同，每一部分都适合一个学期的课程，并且围绕同一组基本核心主题展开，另有可选的独立专题和应用，可根据课程需要深入展开。
第一部分 一般拓扑学
第 1 章：集合论与逻辑
全书从集合论与逻辑开始，放在任何拓扑内容之前，作为后续各章的基础。
第 2 章：拓扑空间与连续函数
本章引入这门学科的核心对象：拓扑空间以及它们之间的连续函数。第一部分的一切都依赖于它。
第 3 章：连通性与紧致性
连通性和紧致性是一般拓扑学中反复用到的两个性质，本章分别对它们加以论述。
第 4 章：可数性与分离公理
本章把限制空间中开集数量或空间“宽松程度”的条件放在一起：可数性公理和分离公理。这些条件为随后的可度量化各章作了铺垫。
第 5 章：Tychonoff 定理
一整章专门讨论一个结果，即 Tychonoff 定理，它是关于紧致空间之积的命题。本章位于连通性、紧致性和分离公理各章之后。
第 6 章：可度量化定理与仿紧性
本章讨论拓扑空间何时可以赋予度量，并引入仿紧性。
第 7 章：完备度量空间与函数空间
本章转向完备度量空间和函数空间，即拓扑学与分析联系最直接的场合。
第 8 章：Baire 空间与维数论
第一部分以 Baire 空间和维数论入门作结。
第二部分 代数拓扑学
第 9 章：基本群
代数拓扑从基本群开始，它给每个空间对应一个群。本章是第二部分的入口，也是后面各章的基础。
第 10 章：平面中的分离定理
本章讨论平面中的分离定理，是基本群之后的第一个专题。
第 11 章：Seifert–van Kampen 定理
Seifert–van Kampen 定理是计算由较简单部分拼成的空间的基本群的工具。
第 12 章：曲面的分类
本章讨论曲面的分类，这是安排在 Seifert–van Kampen 定理之后的一个具体的几何专题。
第 13 章：覆盖空间的分类
本章讨论覆盖空间的分类。
第 14 章：在群论中的应用
最后一章转向在群论中的应用。
核心概念
第一部分：一般拓扑学
- 拓扑空间与连续函数：这门学科的基本对象和映射（第 2 章）。
- 连通性与紧致性：第 3 章所围绕的两个性质。
- 可数性与分离公理：第 4 章研究的空间条件。
- Tychonoff 定理：第 5 章的主题。
- 可度量化与仿紧性：第 6 章。
- 完备度量空间、函数空间、Baire 空间与维数论：第 7–8 章。
第二部分：代数拓扑学
- 基本群：第 9 章，第二部分的核心工具。
- Seifert–van Kampen 定理：第 11 章。
- 曲面与覆盖空间的分类：第 12–13 章。
评析
优点
- 两部分的设计适合一学年的教学。 出版社把本书定位为衔接一般拓扑与代数拓扑两门课的单一教材，每一部分的篇幅对应一个学期。这比另选两本书更为实用。
- 可选内容可以分开处理。 据出版社介绍，可选的独立专题和应用可以依据课程需要取舍，因此本书能适应不同的教学大纲。
- 脉络清晰。 章节顺序由集合论出发，经过空间、连通性和紧致性，到达可度量化，然后进入基本群及其应用，目录本身就像一份课程提纲。
- 第一部分范围宽。 第 5–8 章越出了最初的主题，涉及 Tychonoff 定理、可度量化、函数空间、Baire 空间和维数论。
局限
- 篇幅与范围。 全书约 540 页，容纳两门课的内容，一个学期只会用到其中一部分。
- 代数拓扑只是入门。 第二部分集中于基本群和覆盖空间；各章之中没有同调和上同调，想学这些内容的学生需要另找教材。
- 开篇偏形式。 本书在任何拓扑内容之前先讲集合论与逻辑，想先看图像和非正式动机的读者，可以先读一本较轻松的书。
在课程中的定位
在这一课程中，Munkres 是篇幅完整的标准式教材。书单中有两本更温和的书。Topology: A Very Short Introduction 和 The Shape of Space 是非技术性的、重视直观的读物，适合在正式课程之前建立对曲面、纽结和流形的直觉，但它们不能代替 Munkres 中的证明。Introduction to Metric and Topological Spaces 是一本本科教材，通过度量空间和实分析来进入一般拓扑，可以作为第 2–3 章的预备，也可以作为觉得抽象起步困难的读者的替代选择。
另一方面，Hatcher 的 Algebraic Topology 是研究生教材，展开基本群、同调、上同调和同伦论，自然是 Munkres 第二部分之后的延续；Hatcher 的完整文本可在作者网站免费获得。一种合理的顺序是：先读 Munkres 第一部分作为拓扑学的第一门课，再在读 Hatcher 之前或同时读第二部分。
如何使用本书
本书面向能读写证明、并学过基本集合论的学生；学过实分析会有帮助，因为度量空间和实数轴提供了熟悉的例子。它适合高年级本科生和研究生一年级学生。
一个实用的读法：
- 拓扑学第一门课： 第 1 章按需阅读，以掌握记号和后面用到的集合论事实，然后认真读第 2 章和第 3 章，它们包含一般拓扑学的核心。
- 从第一部分其余各章中选择： 第 4 章位于可度量化一章之前，第 5–8 章可依兴趣挑选。走向分析的读者可以偏重第 7 章；打算继续学代数拓扑的读者，在第 2–3 章扎实之后可以直接转入第二部分。
- 第二学期或自学： 按顺序读第二部分，从第 9 章的基本群开始，到第 14 章的群论应用结束。
- 练习： 每个主题都要做习题，而不是只读正文，因为这门学科是靠证明来学的。