The Shape of Space（空間的形狀）

引用

Weeks, J. R. (2020). The Shape of Space (3rd ed.). CRC Press (Chapman & Hall).

章節概要

第三版約 350 頁，含 194 幅彩色插圖，分為四個部分、二十個短章，書末附錄收錄習題答案、參考書目與康威的 ZIP 證明。出版社把本書描述為一本輕鬆的教科書，講授二維與三維空間的基礎幾何與拓樸，幫助讀者想像我們宇宙可能的形狀。根據出版社的介紹，這一版的新內容包括：全書彩色插圖、以「圖像證明」取代代數證明、以更簡單的「把手與交叉帽」方法處理曲面，以及更新後的宇宙學討論。作者是一位自由接案的幾何學家、麥克阿瑟獎得主，工作橫跨純數學、宇宙學與面向大眾的科普寫作。

第一部分：曲面與三維流形

共八章：Flatland（平面國）、Gluing（黏合）、Vocabulary（術語）、Orientability（可定向性）、Classification of Surfaces（曲面分類）、Products（乘積）、Flat Manifolds（平坦流形）、Orientability vs. Two-Sidedness（可定向性與雙側性）。這一部分從二維世界的設想，以及藉由黏合多邊形的邊來建構空間談起，接著建立全書其餘部分使用的術語。它討論可定向性與曲面分類（採用出版社提到的把手與交叉帽方法，康威的 ZIP 證明收在附錄），藉由乘積空間與平坦三維流形進入三維，最後把可定向性與雙側性區分開來。

第二部分：曲面上的幾何

共四章：The Sphere（球面）、The Hyperbolic Plane（雙曲平面）、Geometries on Surfaces（曲面上的幾何）、Gauss-Bonnet Formula and Euler Number（高斯–博內公式與歐拉數）。拓樸在這裡加入了幾何。談過球面與雙曲平面之後，這一部分探討每個曲面能具有哪種幾何，並以連結曲面曲率與歐拉數的高斯–博內公式作結。

第三部分：三維流形上的幾何

共六章：Four-Dimensional Space（四維空間）、The Hypersphere（超球面）、Hyperbolic Space（雙曲空間）、Geometries on Three-Manifolds I（三維流形上的幾何 I）、Bundles（叢）、Geometries on Three-Manifolds II（三維流形上的幾何 II）。同樣的問題被提高一個維度來問。這一部分先以四維空間為讀者做準備，引入超球面與雙曲空間作為彎曲的三維模型，再分兩章概覽三維流形可能具有的幾何，中間插入一章談叢。

第四部分：宇宙

共兩章：The Universe（宇宙）、The History of Space（空間的歷史）。全書最後把前面的概念應用於宇宙學，也就是我們自己的宇宙可能是什麼形狀的問題；根據出版社，這部分討論在本版中已經更新。

核心概念

第一部分：曲面與三維流形

• 黏合：把多邊形的邊或立體的面視為同一，藉以建構空間；從一側離開的東西會從另一側回來。
• 可定向性：空間中是否存在一條使左右顛倒的路徑，就像在莫比烏斯帶上那樣。
• 曲面分類：每個閉曲面都是加上若干把手或交叉帽的球面這一結果。
• 三維流形：在每一點附近都像一般三維空間的空間，包括乘積空間與平坦流形。

第二部分：曲面上的幾何

• 球面幾何與雙曲幾何：常正曲率與常負曲率的幾何。
• 歐拉數：由頂點、邊與面的數目算出、用來區分曲面的量。
• 高斯–博內公式：曲面的總曲率與其歐拉數之間的關聯，它限制曲面可能具有的幾何。

第三–四部分：三維幾何與宇宙

• 四維空間與超球面：用來想像彎曲三維空間的高維背景。
• 雙曲空間：常負曲率的三維幾何。
• 叢：由底空間與纖維組裝而成的空間，用於描述三維流形上的幾何。
• 宇宙的形狀：把這些概念應用於空間本身可能的拓樸與幾何。

評析

優點

• 先直觀，後形式。 出版社強調圖像證明、全書彩圖與非正式的敘述。本書以圖像建立拓樸（黏合、可定向性、分類）與幾何（曲率、高斯–博內）的核心概念，出版社也特別指出書中有許多大學與研究所課程所缺少的直觀例子。
• 一路談到三維流形。 本書沒有停在曲面：四個部分中有兩個超越曲面，進入超球面、雙曲空間與三維流形的幾何，最後一部分把它們與宇宙學連結起來。
• 習題附有答案。 出版社強調書中的習題，附錄A提供答案，因此本書也適合自修。
• 作者提供的軟體。 作者免費發布可以探索同樣概念的程式：面向兒童及其他初次接觸多連通空間者的 Torus Games，以及面向學習三維流形的學生、在多連通三維宇宙中飛行的模擬器 Curved Spaces。

局限

• 不是嚴謹的課程。 由於以圖像證明取代代數證明，本書提供的是直觀，而不是點集拓樸或代數拓樸的定義與證明；出版社也把它定位為數學系學生正式教材的補充。
• 宇宙學部分需要更新。 出版社提到本版必須更新宇宙學的討論；這部分仰賴最新觀測，讀者應查閱近期成果。
• 很少觸及代數面向。 目錄中沒有關於基本群、同調或其他代數不變量的章節，因此本書為代數拓樸培養直觀，但不教授其方法。

在課程中的定位

本書與 Richard Earl 的 Topology: A Very Short Introduction 一起位於拓樸與幾何課程的起點。Earl 的書篇幅短得多，概覽從圖、紐結到曲面的學科概念；Weeks 則更深入討論曲面與三維空間，並附有習題與答案，能把學生從好奇帶到真正理解這些例子。

正式的教科書隨後登場。Wilson Sutherland 的 Introduction to Metric and Topological Spaces 從度量空間出發建立拓樸，James Munkres 的 Topology 先談點集拓樸再談基本群；可從作者網站免費取得的 Allen Hatcher 的 Algebraic Topology 則展開基本群、同調與上同調。Weeks 提供這些定義背後的圖像：商空間的黏合圖、曲面分類，以及許多標準例子。

如何使用本書

出版社列出廣泛的讀者群：通識教育的學生、希望以直觀理解補充正式教材的數學系大學生與研究生，以及自修的一般讀者。具備中學幾何與代數是合適的起點。

第一部分要依序慢慢讀，手邊準備紙和剪刀：親手畫黏合圖、檢驗可定向性，是進入這些概念的最佳方式。第二部分順勢而來；高斯–博內一章把拓樸與幾何連結起來，要多花時間。第三部分從四維空間一路攀升到三維流形的幾何，是最難的部分，值得反覆閱讀。第四部分可以當作結語來讀，但只對宇宙學有興趣的讀者也應先讀第一、二部分。

邊讀邊做習題，並對照附錄A檢查答案。讀第一部分時使用 Torus Games，讀第三、四部分時使用 Curved Spaces，從內部體會生活在書中所描述的空間裡是什麼感覺。