Topology: A Very Short Introduction（拓樸學簡介）

引用

Earl, R. (2019). Topology: A Very Short Introduction. Oxford University Press. Very Short Introductions.

章節概要

本書屬於牛津大學出版社的袖珍叢書 Very Short Introductions，共七章，之後是歷史年表、延伸閱讀與索引。出版社以三個問題介紹這個學門——捷運路線圖和其他地圖有何不同？是什麼讓一個結成為結？是什麼讓莫比烏斯帶只有一個面？——並把拓樸學描述為研究物體在扭轉或拉伸時保持不變之性質的學門，它在二十世紀變得和代數、幾何一樣廣泛而基礎。作者是牛津大學數學研究所的大學部教學主任，曾在大學部與研究所層級教授拓樸學，也向中學生介紹過這個學門。根據出版社的介紹，本書把拓樸學的視覺面向（尤其是曲面）與連續性的形式定義結合起來，並關注推動這個學門發展的人物、問題與出人意料的例子。

第1章：What is Topology?（什麼是拓樸學？）

開篇一章說明拓樸學研究什麼、為何研究：經過拉伸與扭轉後仍然保留的形狀性質，而出版社介紹本書時提出的關於地圖、紐結與單面曲面的問題，正是其中的線索。

第2章：Making Surfaces（建構曲面）

兩章曲面內容中的第一章。曲面是出版社所強調之這個學門的視覺核心，本章討論如何建構與辨認曲面。

第3章：Thinking Continuously（連續地思考）

討論拓樸學的核心概念——連續性。出版社指出，本書涵蓋連續性的形式定義，也就是把直觀的變形化為數學的那一步，而這一章正是專門討論這個概念。

第4章：The Plane and Other Spaces（平面與其他空間）

本章從熟悉的平面走向連續性同樣有意義的其他空間，拓寬第3章的舞台。

第5章：Flavours of Topology（拓樸學的不同風味）

概覽拓樸學發展出的不同分支，呼應出版社所說拓樸學已變得和代數、幾何一樣廣泛。

第6章：More on Surfaces（再談曲面）

在掌握中間幾章的工具之後，重新回到曲面。

第7章：Knot to Be（紐結）

討論紐結，也就是出版社開篇最後一個問題的主題：是什麼讓一個結成為結。

核心概念

第1–2章：拓樸思維與曲面

• 拓樸性質：在不撕裂的前提下拉伸或扭轉後保持不變的形狀特徵，正是捷運路線圖捨棄距離後所保留的那類資訊。
• 曲面：像莫比烏斯帶這樣的二維形狀；曲面是這個學門主要的視覺例子。
• 單面性：莫比烏斯帶只有一個面、繞一圈貫穿全帶的性質。

第3–4章：連續性與空間

• 連續性：「鄰近的點保持鄰近」這一想法的形式表達，是拓樸學賴以建立的基本概念。
• 平面以外的空間：比平面更一般、但仍能定義連續性的場景。

第5–7章：分支、曲面與紐結

• 拓樸學的分支：這個學門從視覺到抽象所發展出的不同方向。
• 紐結：空間中的封閉曲線，以及一個紐結何時能變形為另一個紐結的問題。

評析

優點

• 兼顧視覺與形式。 根據出版社，本書既讓讀者感受拓樸學的視覺面向，也涵蓋連續性的形式定義，因此讀者既看得到直觀，也看得到數學家如何使之精確。目錄也反映了這種平衡：談連續性與空間的章節前後，分別是談曲面與紐結的章節。
• 出自經驗豐富的教師。 作者在大學與中學都教過拓樸學，另著有 Towards Higher Mathematics: A Companion。
• 歷史是敘事的一部分。 出版社強調這個學門背後的歷史人物、問題與驚奇之處，書中除了延伸閱讀之外也收錄歷史年表。
• 兼顧曲面與紐結。 曲面（兩章）與紐結（最後一章）為沒有背景知識的讀者提供可以掌握的具體例子。

局限

• 刻意寫得很短。 一本袖珍書的七章只能為每個主題做初步介紹；目錄中沒有習題，它也不是課程教科書。
• 有一定的抽象性。 由於書中包含連續性的形式定義，期待純圖像式講述的讀者可能會覺得第3、4章比談曲面與紐結的章節更難。

在課程中的定位

本書是本課程進入拓樸學最短的途徑，應該最先閱讀。自然的下一本是 Jeffrey Weeks 的 The Shape of Space：它同樣非正式、重視視覺，但它是一本附有習題與答案的教科書，在曲面、曲率與三維空間方面走得遠得多，最後以宇宙的形狀作結。讀 Earl 可以快速取得整個學門的地圖，讀 Weeks 則能更深入理解其中的幾何例子。

正式的教科書隨後登場。Wilson Sutherland 的 Introduction to Metric and Topological Spaces 先透過度量空間展開連續性，再推廣到拓樸空間，相當於 Earl 第3、4章概念的形式化版本；James Munkres 的 Topology 是一門完整的點集拓樸課程，之後談基本群；Allen Hatcher 的 Algebraic Topology 則完整展開這個學門的一個主要分支——基本群、同調與上同調。在開始讀其中任何一本之前，Earl 的書都是值得重讀的概覽。

如何使用本書

本書為一般讀者而寫，很適合考慮就讀數學系的高中生、聽過拓樸學但沒學過的大一學生，以及想知道這個學門在做什麼的其他科系學生。具備中學數學即可；中間幾章的形式內容需要的與其說是背景知識，不如說是耐心。

可以分幾次從頭讀完。第1、2章提供直觀的圖像；第3、4章包含整個學門賴以建立的連續性形式概念，要慢慢讀；之後的第5–7章可以輕鬆享受。藉助歷史年表，可以替書中提到的人物與結果定位。

閱讀時動手做做看：剪一條紙帶、黏成莫比烏斯帶，畫出第2章與第6章的曲面，再打幾個結，試著把它們區分開來。接著利用延伸閱讀書目，或轉向 Weeks 的 The Shape of Space，透過習題掌握這些概念。