01 / 導讀
導讀
引用
Sutherland, W. A. (2009). Introduction to Metric and Topological Spaces (2nd ed.). Oxford University Press.
章節概要
全書共17個短章，約200頁（不同目錄給出206頁或224頁）。出版社的介紹說明了整體構想：從熟悉的實分析逐步走向抽象的拓撲空間，以度量空間為橋梁，以連續性為引導概念。若干概念先在度量空間中引入，然後在拓撲空間中重複一遍，因此在進入後者時，熟悉的例子已經在手。第2版取代了1975年Clarendon出版的第1版，並增加了配套網站。
第1–4章：引言；記號與術語；關於集合與函數的補充；若干實分析的回顧
預備性的幾章。它們確定後文使用的記號以及集合與函數的語言，並回顧後面各章所依賴的實分析。
第5–6章：度量空間；度量空間中的更多概念
引入度量空間以及在這一背景下最初的拓撲觀念，把上一部分回顧的分析概念推廣到一般的距離函數。
第7–9章：拓撲空間；拓撲空間中的連續性；拓撲空間中的一些概念
向拓撲空間的過渡。連續性不再借助距離來重述，度量空間中已經見過的概念在更一般的背景中重複出現。
第10–11章：子空間與乘積空間；豪斯多夫條件
由舊空間構造新空間的方法，以及拓撲空間上的一種分離條件。
第12–14章：連通空間；緊緻空間；序列緊緻性
出版社說討論要展開到"連通性、緊緻性與完備性"這一組三件套，這裡是其中前兩項。緊緻性出現在兩章中，一章講緊緻空間，一章講序列緊緻性。
第15章：商空間與曲面
這門學科的幾何一面。出版社說，書中描述了一些標準曲面，即通俗介紹中常見的莫比烏斯帶、甜甜圈和克萊因瓶，並說明它們如何融入同一個故事。章名把商空間與曲面放在一起。
第16–17章：一致收斂；完備度量空間
回到分析性的話題：函數的一致收斂，以及度量空間的完備性，也就是三件套中的第三項。
核心概念
第1–6章：從實分析到度量空間
- 度量空間：帶有距離函數的集合，是極限和連續性最先被推廣的場所。
- 連續性：引導性的概念，起初作為關於距離的陳述，後來用開集的語言來表述。
第7–11章：拓撲空間
- 拓撲空間：帶有開集族的集合，不借助距離而保留連續性與收斂。
- 子空間與乘積空間：在子集和乘積上誘匯出的新拓撲。
- 豪斯多夫條件：排除無法被開集區分的點的分離性質。
第12–17章：連通性、緊緻性、完備性
- 連通空間：不能分成兩個不相交開集的空間。
- 緊緻空間與序列緊緻空間：支撐極值存在等結果的有限性條件。
- 商空間：把點粘合在一起得到的空間，用來構造麴面。
- 一致收斂與完備度量空間：以一致速度收斂的函數，以及每個柯西序列都收斂的空間。
評析
優點
- 清晰的教學路線。 出版社介紹了從實分析出發、以度量空間為橋梁逐步走向拓撲的路徑，每個概念先在度量空間中引入，再在拓撲空間中重複。目錄遵循了這一計畫：兩章度量空間之後是三章拓撲空間。
- 簡明而集中。 全書由17個短章組成。艾倫·斯坦傑（Allen Stenger）在美國數學協會（MAA）的書評（2010年）中稱其為點集拓撲的簡短而清晰的入門書。
- 練習與輔助材料。 出版社說明書中有大量練習，較難的若干題帶有提示，還有一個提供進一步解釋、例子和補充材料的配套網站。羅布·阿什莫爾（Rob Ashmore）在 Mathematics Today（2011年12月）上的書評稱讚了練習和作者的教學風格。
- 連線分析與幾何。 關於商空間與曲面的一章和關於一致收斂的一章，把抽象理論同激發它的幾何圖景和分析結果放在一起。
局限
- 入門的深度。 Stenger的書評說，本書介紹了拓撲學最重要的概念，但沒有把其中任何一個講得很深。目錄中有豪斯多夫條件，但沒有對分離公理或可數性公理更廣泛的處理，也沒有代數拓撲。
- 答案不在書裡。 據Ashmore所說，這一版刪去了練習的答案，移到了一個限制訪問的網站，這對講師比對自學的學生更合適。
- 以實分析為前提。 本書面向數學專業二、三年級學生，直接建立在第一門分析課之上；沒有學過的讀者需要先學那門課或那本書，因為第4章只是一個回顧。
- 不同目錄的頁數不同。 以美國國會圖書館為基礎的記錄給出206頁，Google圖書和IMA的條目給出224頁。按照教學大綱指定頁碼閱讀時，請核對手頭的版本。
在課程中的定位
在本站的拓撲與幾何書籍中，Sutherland是從實分析通向點集拓撲的橋梁。Richard Earl的 Topology: A Very Short Introduction 和Jeffrey Weeks的 The Shape of Space 非形式化而且直觀，不要求形式分析的基礎，是培養曲面直覺的合適伴讀。Munkres的 Topology 是更寬廣的經典，先展開點集拓撲，再引入代數拓撲，因此自然是留作參考或第二門課使用的書。Hatcher的 Algebraic Topology 在作者網站上免費提供，是以點集拓撲和抽象代數為前提的研究生教材。
Sutherland介於它們之間：比入門書更形式化，比Munkres更短、更偏分析，也是通向Hatcher所假定的點集拓撲背景的一條路。
如何使用本書
出版社把本書面向數學專業的二、三年級學生，本站列出的先修條件是第一門實分析課（數列、連續性、實數的完備性）。
一個實用的計畫如下：
- 把第2–4章當作參考，先行閱讀。 只讀到足以確定記號、複習實分析為止，然後繼續。
- 核心： 第5–14章，從度量空間，經拓撲空間、子空間與乘積、豪斯多夫條件，到連通性與緊緻性。把每一個度量空間的章節與其拓撲對應章節看作一對，注意哪些東西發生了變化。
- 按興趣選讀： 第15章講曲面與粘合，第16章講一致收斂，第17章講完備性。
- 練習： 利用較難問題的提示，併到配套網站檢視進一步的解釋；答案在限制訪問的網站上，需要核對證明時，請與學習夥伴或老師一起做。