位相幾何学

引用

Munkres, J. R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. Reissued by Pearson.

章の要約

本書は2部14章から成り、参考文献と索引が続く。第2版は約540ページである。出版社は、2つの部をそれぞれ独立した別個のものと説明しており、各部は1学期の授業に適し、同じ基本的な中核主題を軸にしている。さらに、授業の必要に応じて深められる任意の独立した話題と応用が用意されている。

第I部 一般位相

第1章：集合論と論理

本書は集合論と論理から始まる。位相の内容に先立って置かれ、以降の章の土台となる。

第2章：位相空間と連続関数

この分野の中心的な対象、すなわち位相空間とその間の連続関数を導入する。第I部のすべてがこの章に依拠する。

第3章：連結性とコンパクト性

連結性とコンパクト性は、一般位相でくり返し用いられる2つの性質であり、この章でそれぞれが論じられる。

第4章：可算性と分離公理

空間の開集合の数や空間の「ゆとり」を制限する条件、つまり可算公理と分離公理をまとめて扱う。これらの条件は、続く距離化の章への準備となる。

第5章：チコノフの定理

1つの章がまるごと1つの結果、チコノフの定理に充てられている。これはコンパクト空間の積に関する主張である。この章は連結性、コンパクト性、分離公理の各章のあとに置かれている。

第6章：距離化定理とパラコンパクト性

位相空間にいつ距離を与えられるかを論じ、パラコンパクト性を導入する。

第7章：完備距離空間と関数空間

完備距離空間と関数空間に向かう。位相と解析が最も直接に接する場面である。

第8章：ベール空間と次元論

第I部は、ベール空間と次元論の入門で終わる。

第II部 代数的位相

第9章：基本群

代数的位相は基本群から始まる。基本群は空間に群を対応させる。この章は第II部への入り口であり、続く各章の基礎である。

第10章：平面における分離定理

平面における分離定理を扱う。基本群の次の話題である。

第11章：ザイフェルト・ファン・カンペンの定理

ザイフェルト・ファン・カンペンの定理は、より単純な部分から組み立てられた空間の基本群を計算するための道具である。

第12章：曲面の分類

曲面の分類を扱う。ザイフェルト・ファン・カンペンの定理のあとに置かれた、具体的な幾何学的話題である。

第13章：被覆空間の分類

被覆空間の分類を扱う。

第14章：群論への応用

最終章は群論への応用に向かう。

主要概念

第I部：一般位相

• 位相空間と連続関数：この分野の基本的な対象と写像（第2章）。
• 連結性とコンパクト性：第3章が軸とする2つの性質。
• 可算性と分離公理：第4章で調べられる空間の条件。
• チコノフの定理：第5章の主題。
• 距離化とパラコンパクト性：第6章。
• 完備距離空間、関数空間、ベール空間、次元論：第7–8章。

第II部：代数的位相

• 基本群：第9章、第II部の中心的な道具。
• ザイフェルト・ファン・カンペンの定理：第11章。
• 曲面と被覆空間の分類：第12–13章。

批判的分析

長所

• 1年間の授業に合う2部構成。 出版社は、本書を一般位相と代数的位相の2つの授業をつなぐ単一の教科書として位置づけており、各部の分量は1学期に見合っている。2冊を選ぶよりも実用的である。
• 任意の内容を切り離せる。 出版社によれば、任意で独立した話題や応用は授業に応じて取り上げることも省くこともできるため、さまざまなシラバスに合わせやすい。
• 明快な流れ。 章の順序は集合論から始まり、空間、連結性、コンパクト性を経て距離化に至り、そのあと基本群とその応用へ進む。目次そのものが授業の概要のように読める。
• 第I部の幅広さ。 第5–8章は最初の話題を超えて、チコノフの定理、距離化、関数空間、ベール空間、次元論にまで及ぶ。

短所

• 分量と範囲。 約540ページに2つの授業分が収められており、1学期で使えるのはその一部である。
• 代数的位相は入門的。 第II部は基本群と被覆空間に集中している。章題にホモロジーやコホモロジーはなく、それらを学びたい学生は別の教科書が必要になる。
• 形式的な出だし。 本書は位相の内容に先立って集合論と論理の章から始まる。図や非形式的な動機づけから入りたい読者は、先に軽めの本を読むほうがよいかもしれない。

コースにおける位置づけ

このコースの中で、Munkresは標準的な形の本格的な教科書である。リストには、より穏やかな本が2冊ある。Topology: A Very Short Introduction と The Shape of Space は技術的でない視覚的な読み物で、正式な授業の前に曲面、結び目、多様体についての直観を養うのに向いているが、Munkresの証明の代わりにはならない。Introduction to Metric and Topological Spaces は学部向けで、距離空間と実解析を通じて一般位相に近づく本であり、第2–3章の準備として、あるいは抽象的な出だしがつらい読者の代替として適している。

反対側では、Hatcherの Algebraic Topology が基本群、ホモロジー、コホモロジー、ホモトピー論を展開する大学院向けの教科書であり、Munkresの第II部のあとの自然な続きである。Hatcherの全文は著者のサイトで無料で公開されている。1つの妥当な順序は、位相の最初の授業としてMunkresの第I部を読み、そのあとHatcherの前か並行して第II部を読むことである。

本書の使い方

本書は、証明を読み書きすることに慣れ、基本的な集合論を学んだことのある学生を対象としている。距離空間と実数直線がなじみ深い例を与えるので、実解析の授業を受けていると役に立つ。上級の学部生や大学院1年生に向いている。

実践的な進め方：

• 位相の最初の授業： 第1章は記号と後で使う集合論の事実のために必要に応じて読み、そのあと第2章と第3章を丁寧に読む。ここに一般位相の中核がある。
• 第I部の残りから選ぶ： 第4章は距離化の章の前にあり、第5–8章は関心に応じて選べる。解析に進む読者は第7章を重視するとよく、代数的位相に進む読者は第2–3章が固まれば第II部に進んでもよい。
• 2学期目または独習： 第II部を順に読む。第9章の基本群から始め、第14章の群論への応用で終える。
• 演習： 各主題の演習問題は、読むだけでなく自分で解く。この分野は証明することで身につくからである。