Topology: A Very Short Introduction（トポロジー：超入門）

引用

Earl, R. (2019). Topology: A Very Short Introduction. Oxford University Press. Very Short Introductions.

章の要約

本書はオックスフォード大学出版局のポケットサイズのシリーズ Very Short Introductions の1冊で、7つの章のあとに歴史年表、読書案内、索引が続く。出版社はこの分野を3つの問い――地下鉄の路線図はほかの地図とどう違うのか、何が結び目を結び目にしているのか、何がメビウスの帯を片面にしているのか――によって紹介し、トポロジーを、ものをねじったり引き伸ばしたりしても保たれる性質を研究する分野であり、20世紀に代数や幾何と同じくらい幅広く基本的な分野になったと説明している。著者はオックスフォード大学数学研究所の学部教育ディレクターで、学部・大学院レベルでトポロジーを教えてきたほか、中等学校の生徒にもこの分野を紹介してきた。出版社によれば、本書はトポロジーの視覚的な側面、とくに曲面と、連続性の形式的な定義とを組み合わせ、この分野を必要にした人物、問題、意外な例に目を向けている。

第1章：What is Topology?（トポロジーとは何か）

最初の章は、トポロジーが何を、なぜ研究するのかを示す。引き伸ばしやねじりを経ても残る形の性質であり、出版社が本書を紹介するときに挙げる、地図、結び目、片面の曲面についての問いがその手がかりとなる。

第2章：Making Surfaces（曲面を作る）

曲面を扱う2つの章の最初の章である。曲面は出版社が強調するこの分野の視覚的な中心であり、曲面をどのように作り、見分けるかを扱う。

第3章：Thinking Continuously（連続的に考える）

トポロジーの中心的な考え方である連続性を扱う。出版社は、本書が連続性の形式的な定義、すなわち直観的な変形を数学に変える一歩を扱っていると述べており、この章はその考え方に充てられている。

第4章：The Plane and Other Spaces（平面とほかの空間）

なじみのある平面から、連続性が意味をもつほかの空間へと進み、第3章の舞台を広げる。

第5章：Flavours of Topology（トポロジーのさまざまな味わい）

トポロジーが発展して生まれたさまざまな分野を概観する。トポロジーが代数や幾何と同じくらい幅広い分野になったという出版社の指摘に沿う章である。

第6章：More on Surfaces（曲面ふたたび）

あいだの章で得た道具を使えるようになったうえで、再び曲面に戻る。

第7章：Knot to Be（結び目）

出版社の最初の問いの最後のもの、すなわち何が結び目を結び目にしているのか、という主題である結び目を扱う。

主要概念

第1–2章：トポロジー的な考え方と曲面

• 位相的性質：破らずに引き伸ばしたりねじったりしても変わらない形の特徴。地下鉄の路線図が距離を捨てて残す種類の情報である。
• 曲面：メビウスの帯のような2次元の形。曲面はこの分野の主要な視覚的な例である。
• 片面性：メビウスの帯がもつ、ただ1つの面が全体を一周しているという性質。

第3–4章：連続性と空間

• 連続性：近くの点は近くにとどまるという考えの形式的な表現で、トポロジーが拠って立つ基本概念。
• 平面を越えた空間：平面より一般的で、それでも連続性を定義できる舞台。

第5–7章：分野、曲面、結び目

• トポロジーの諸分野：この分野が発展してきた、視覚的なものから抽象的なものまでのさまざまな方向。
• 結び目：空間内の閉じたひもと、ある結び目を別の結び目に変形できるのはいつかという問い。

批判的分析

長所

• 視覚的な面と形式的な面をあわせもつ。 出版社によれば、本書はトポロジーの視覚的な側面を伝えるとともに連続性の形式的な定義も扱っており、読者は直観と、それを数学者がどう厳密にするかの両方を目にする。目次もこの釣り合いを反映しており、連続性と空間の章の前後に曲面と結び目の章が置かれている。
• 経験豊かな教師による執筆。 著者は大学レベルでも学校の生徒にもトポロジーを教えてきており、Towards Higher Mathematics: A Companion の著者でもある。
• 物語の一部としての歴史。 出版社はこの分野の背後にある歴史上の人物、問題、驚きを強調しており、本書には読書案内に加えて歴史年表も収められている。
• 曲面と結び目の両方を扱う。 曲面（2つの章）と結び目（最終章）が、予備知識のない読者に手がかりとなる具体例を与える。

短所

• 意図的にごく短い。 ポケットサイズの本の7つの章では、各話題を紹介することしかできない。目次に演習はなく、授業用の教科書ではない。
• ある程度の抽象性。 連続性の形式的な定義を含むため、絵だけの説明を期待する読者には、第3章と第4章が曲面や結び目の章より難しく感じられるかもしれない。

コースにおける位置づけ

本書はこのコースでトポロジーに入る最も短い道であり、最初に読む本である。次に読む本として自然なのは Jeffrey Weeks の The Shape of Space である。こちらもくだけた視覚的な本だが、演習と解答を備えた教科書であり、曲面、曲率、3次元空間にずっと深く踏み込み、宇宙の形で締めくくられる。分野全体の手早い地図として Earl を、その幾何的な例をより深く理解するために Weeks を読むとよい。

形式的な本はそのあとに来る。Wilson Sutherland の Introduction to Metric and Topological Spaces は、距離空間を通じて連続性を展開してから位相空間へと一般化しており、Earl の第3章と第4章の考え方の形式的な版にあたる。James Munkres の Topology は位相空間論の本格的な授業に基本群が続く本である。Allen Hatcher の Algebraic Topology は、この分野の主要な一分野である基本群、ホモロジー、コホモロジーを本格的に展開する。Earl の本は、これらのどれかを始める前に読み返す概観としても役立つ。

本書の使い方

本書は一般読者向けに書かれており、数学の学位を考えている高校生、トポロジーという言葉は聞いたことがあっても学んだことのない大学1年生、何についての分野なのか知りたいほかの分野の学生に向いている。中等学校の数学で十分であり、中ほどの章の形式的な内容に必要なのは予備知識よりも根気である。

数回に分けて通読するとよい。第1章と第2章が直観的な見取り図を与える。第3章と第4章は、この分野の残りが拠って立つ連続性の形式的な考え方を含むので、ゆっくり読むこと。第5–7章はそのあと楽しみながら読める。本書に出てくる人物や結果を位置づけるには、歴史年表を使うとよい。

読みながら形を作ってみること。メビウスの帯を切ってテープで貼り、第2章と第6章の曲面を描き、いくつか結び目を結んで見分けようとしてみるとよい。そのあと読書案内を使うか、Weeks の The Shape of Space に進んで、演習を通じて考え方を身につけるとよい。