Topology: A Very Short Introduction（拓扑学简介）

引用

Earl, R. (2019). Topology: A Very Short Introduction. Oxford University Press. Very Short Introductions.

章节概要

本书属于牛津大学出版社的袖珍丛书“牛津通识读本”（Very Short Introductions），共七章，其后是历史年表、延伸阅读和索引。出版社用三个问题来介绍这一学科——地铁线路图与其他地图有何不同？是什么让一个结成为结？是什么让莫比乌斯带只有一个面？——并把拓扑学描述为研究物体在扭曲或拉伸时保持不变的性质的学科，它在二十世纪变得与代数和几何一样广泛而基础。作者是牛津大学数学研究所的本科教学主任，曾在本科和研究生层次讲授拓扑学，也向中学生介绍过这一学科。据出版社介绍，本书把拓扑学的直观一面（尤其是曲面）与连续性的形式定义结合起来，并关注推动这一学科发展的人物、问题和出人意料的例子。

第1章：What is Topology?（什么是拓扑学？）

开篇一章说明拓扑学研究什么、为什么研究：经过拉伸和扭曲仍然保留的形状性质，出版社介绍本书时提出的关于地图、纽结和单侧曲面的问题正是线索。

第2章：Making Surfaces（构造曲面）

两章曲面内容中的第一章。曲面是出版社所强调的这一学科的直观核心，本章讨论如何构造和辨认曲面。

第3章：Thinking Continuously（连续地思考）

讨论拓扑学的核心概念——连续性。出版社指出，本书涵盖了连续性的形式定义，即把直观的变形变成数学的那一步，而这一章正是专门讨论这一概念的。

第4章：The Plane and Other Spaces（平面与其他空间）

本章从熟悉的平面走向连续性同样有意义的其他空间，拓宽了第3章的舞台。

第5章：Flavours of Topology（拓扑学的不同风味）

概览拓扑学发展出的不同分支，呼应出版社关于拓扑学已变得与代数和几何一样广泛的说法。

第6章：More on Surfaces（再谈曲面）

在掌握了中间几章的工具之后，重新回到曲面。

第7章：Knot to Be（纽结）

讨论纽结，也就是出版社开篇最后一个问题的主题：是什么让一个结成为结。

核心概念

第1–2章：拓扑思维与曲面

• 拓扑性质：在不撕裂的前提下拉伸或扭曲后保持不变的形状特征，正是地铁线路图舍弃距离后所保留的那类信息。
• 曲面：像莫比乌斯带这样的二维形状；曲面是这一学科主要的直观例子。
• 单侧性：莫比乌斯带只有一个面、绕一圈贯通全带的性质。

第3–4章：连续性与空间

• 连续性：“邻近的点保持邻近”这一想法的形式表达，是拓扑学赖以建立的基本概念。
• 平面以外的空间：比平面更一般、但仍能定义连续性的场景。

第5–7章：分支、曲面与纽结

• 拓扑学的分支：这一学科从直观到抽象发展出的不同方向。
• 纽结：空间中的闭合曲线，以及一个纽结何时能变形为另一个纽结的问题。

评析

优点

• 兼顾直观与形式。 据出版社介绍，本书既让读者感受拓扑学的直观一面，也涵盖连续性的形式定义，因此读者既能看到直观，也能看到数学家如何使之精确。目录也体现了这种平衡：关于连续性与空间的章节前后，分别是关于曲面和纽结的章节。
• 出自经验丰富的教师之手。 作者在大学层次和中学都讲授过拓扑学，还著有 Towards Higher Mathematics: A Companion。
• 历史是叙述的一部分。 出版社强调这一学科背后的历史人物、问题和惊奇之处，书中除延伸阅读外还收有历史年表。
• 兼顾曲面与纽结。 曲面（两章）和纽结（最后一章）为没有背景知识的读者提供了可以把握的具体例子。

局限

• 有意写得很短。 一本袖珍书的七章只能对每个话题做初步介绍；目录中没有习题，它也不是课程教材。
• 有一定抽象性。 由于书中包含连续性的形式定义，期待纯图像化讲述的读者可能会觉得第3、4章比讲曲面和纽结的章节更难。

在课程中的定位

本书是本课程进入拓扑学最短的途径，应当首先阅读。自然的下一本书是 Jeffrey Weeks 的 The Shape of Space：它同样非正式、重视直观，但它是一本附有习题和答案的教材，在曲面、曲率和三维空间方面走得远得多，最后以宇宙的形状收尾。读 Earl 可以快速获得整个学科的地图，读 Weeks 则能更深入地理解其中的几何例子。

正式的教材随后登场。Wilson Sutherland 的 Introduction to Metric and Topological Spaces 先通过度量空间展开连续性，再推广到拓扑空间，相当于 Earl 第3、4章思想的形式化版本；James Munkres 的 Topology 是一门完整的点集拓扑课程，之后讲基本群；Allen Hatcher 的 Algebraic Topology 则完整展开这一学科的一个主要分支——基本群、同调与上同调。在开始学习其中任何一本之前，Earl 的书都是值得重读的概览。

如何使用本书

本书为普通读者而写，很适合考虑攻读数学学位的中学生、听说过拓扑学但未曾学过的大一学生，以及想了解这一学科是做什么的其他专业学生。具备中学数学即可；中间几章的形式内容需要的与其说是背景知识，不如说是耐心。

可以分几次一口气读完。第1、2章给出直观图景；第3、4章包含整个学科赖以建立的连续性的形式概念，要慢慢读；之后的第5–7章可以轻松享受。借助历史年表，可以给书中提到的人物和结果定位。

阅读时动手做一做：剪一条纸带、粘成莫比乌斯带，画出第2章和第6章的曲面，再打几个结，试着把它们区分开。然后利用延伸阅读书目，或转向 Weeks 的 The Shape of Space，通过习题来掌握这些思想。