Thomas 微积分

引用

Hass, J. R., Heil, C. E., Bogacki, P., & Weir, M. D. (2022). Thomas' Calculus (15th ed.). Pearson.

章节概要

Pearson 的目录包括十七个印刷章节、另外两个仅在线提供的章节（第18章和第19章）以及附录。第1–11章构成单变量微积分，第12–16章构成多变量微积分；Pearson 还把这两部分作为《Single Variable》和《Multivariable》两个分册单独销售。据出版社介绍，第十五版增加了习题，更新了许多应用，并修订了图表和文字以提高清晰度，两个在线章节为新增内容。

第1–2章：函数；极限与连续

全书以一个简短的函数章节开篇：函数图像、函数的组合、图像的平移与缩放、三角函数，以及用软件作图一节。第2章从变化率和曲线的切线讲起，随后介绍函数的极限与极限法则、极限的精确定义、单侧极限、连续性，以及涉及无穷的极限与渐近线。

第3–4章：导数；导数的应用

第3章由一点处的导数过渡到作为函数的导数、求导法则、作为变化率的导数、三角函数的导数、链式法则、隐函数求导、反函数与对数函数的导数、相关变化率，以及线性化与微分。第4章转向极值、中值定理、一阶导数检验、凹凸性与曲线作图、应用型最优化问题、牛顿法和原函数。

第5–6章：积分；定积分的应用

积分通过面积与有限和的估计、求和符号、定积分和微积分基本定理引入，随后是换元法和曲线间的面积。第6章把定积分应用于体积（截面法与柱壳法）、弧长、旋转曲面面积、功与流体压力，以及矩与质心。

第7–9章：超越函数；积分技巧；一阶微分方程

第7章讨论反函数、自然对数、指数函数、指数变化与可分离变量的微分方程、洛必达法则、反三角函数与双曲函数，以及相对增长率。第8章汇集了积分技巧（分部积分、三角函数积分与三角代换、部分分式、积分表与计算机代数系统、数值积分、反常积分），并以概率一节结尾。第9章引入一阶微分方程：斜率场与欧拉方法、线性方程、应用、自治方程，以及方程组与相平面。

第10–11章：无穷数列与级数；参数方程与极坐标

第10章从数列和无穷级数出发，经过积分判别法、比较判别法、比值与根值判别法、交错级数与条件收敛，进入幂级数以及泰勒级数和麦克劳林级数，包括它们的收敛性和应用。第11章涵盖平面曲线的参数化、参数曲线的微积分、极坐标及其图像、极坐标中的面积与长度，以及圆锥曲线（包括极坐标下的圆锥曲线）。

第12–13章：向量与空间几何；向量值函数与空间运动

多变量部分从三维坐标系、向量、点积与叉积、空间中的直线与平面，以及柱面与二次曲面开始。第13章对向量函数求导与积分：空间曲线及其切线、抛体运动、弧长、曲率与法向量、加速度的切向分量与法向分量，以及极坐标中的速度与加速度。

第14–15章：偏导数；重积分

第14章涵盖多元函数、高维空间中的极限与连续、偏导数、链式法则、方向导数与梯度向量、切平面与微分、极值与鞍点、拉格朗日乘数法、二元泰勒公式，以及带约束变量的偏导数。第15章涵盖二重积分和三重积分，包括极坐标、柱坐标和球坐标下的积分，应用，以及重积分中的变量代换。

第16–17章：积分与向量场；二阶微分方程

第16章依次展开标量函数的线积分、向量场与线积分（功、环流与通量）、路径无关性与保守场、格林定理、曲面与面积、曲面积分、斯托克斯定理，以及作为统一理论呈现的散度定理。第17章回到微分方程，介绍二阶线性方程、非齐次方程、应用、欧拉方程和幂级数解法。

第18–19章（在线）与附录

第18章“Complex Functions”涵盖复数、极限与连续、复导数、柯西–黎曼方程、复级数和共形映射。第19章“Fourier Series and Wavelets”涵盖周期函数、正弦与余弦的求和、三维及更高维中的向量与逼近、函数的逼近，以及哈尔系与小波。附录A汇集实数、归纳法、直线、圆与抛物线、极限定理的证明、实数理论，以及两个技术性结果。在线的附录B涵盖行列式、多于两个变量的函数的极值，以及梯度下降。

核心概念

第1–6章：单变量微积分

• 极限的精确定义：在第2章中，紧接极限法则之后单独成节的极限形式化定义。
• 中值定理：第4章的结果，一阶导数检验和单调性论证都以它为基础。
• 微积分基本定理：第5章陈述的、连接定积分与原函数的定理。

第7–11章：超越函数、技巧、级数与曲线

• 可分离变量的微分方程与斜率场：在第7章与指数变化一起引入，在第9章中得到扩展。
• 洛必达法则：第7章中处理不定式的方法。
• 泰勒级数与麦克劳林级数：第10章把它们与收敛判别法及其应用放在一起讲解。
• 极坐标与圆锥曲线：第11章把曲线的描述扩展到直角坐标之外。

第12–17章：多变量与向量微积分

• 点积与叉积：第12章的代数工具。
• 梯度与方向导数：第14章对多元函数沿给定方向如何变化的说明。
• 拉格朗日乘数法：第14章中的条件极值问题。
• 格林定理、斯托克斯定理与散度定理：第16章把最后的散度定理与前两个定理作为统一理论呈现。

评析

优点

• 一本书涵盖整个课程序列。 目录从函数与极限一直到向量微积分，并包含一阶和二阶微分方程（第9章和第17章），因此一本教材就能支撑三个学期或三个学季的课程序列；印刷版分为《Single Variable》和《Multivariable》两个分册，也适合较短的课程。
• 技术融入了结构。 目录中有用软件作图一节（1.4）、积分表与计算机代数系统一节（8.6）、数值积分一节，以及目录中列在第11–17章各章末尾的“Technology Application Projects”。
• 章末的复习材料。 目录在第11–17章每章末尾列出“Questions to Guide Your Review”、练习题以及补充与提高习题，学生可以借此在考试前检验自己。书末还有奇数编号习题的答案和应用索引。
• 证明保持易读。 极限定理的证明、实数理论和混合偏导数定理放在附录A中，因此正文章节可以专注于概念和技巧，而想了解细节的读者仍可查阅。

局限

• 理论偏少。 由于较精细的证明都在附录里，本书是一本微积分教材，而不是分析学入门；想要严格发展极限与连续的学生需要另找一本分析学教材。
• 假定具备预备知识。 开篇一章只有四节（函数、图像的组合与平移、三角函数、用软件作图），附录A复习实数、归纳法以及直线、圆与抛物线；代数基础薄弱的学生需要自行补强。
• 部分内容仅在线提供。 复函数章、傅里叶级数与小波章以及附录B都在线上，只有印刷版的读者无法获得。

在课程中的定位

《Thomas' Calculus》是本课程书单中涵盖整个序列的主教材。吉尔伯特·斯特朗和埃德温·赫尔曼的《Calculus Volume 1》是一本免费、开放授权的单变量微积分教材，适合作为前两个学期的伴读或替代，但没有涉及多变量内容。《Calculus Made Easy》是一本简短、轻松的入门读物，讲解微分与积分的核心思想，可作为第2–5章之前或同时阅读的温和的第一本书，但不能代替 Thomas 提供的习题训练。《Calculus: Concepts and Methods》和《Advanced Calculus》被列为更严格、更广泛的论述，应在 Thomas 的课程序列之后阅读，而不是用来替代它。

如何使用本书

《Thomas' Calculus》面向已学完预备课程（代数、函数与三角）的理工科和数学专业学生。最适合把它作为两到三个学期课程的主线，边读边动笔：学习主要发生在习题和章末的复习部分。

实用的学习安排如下：

• 第一学期（第1–6章）： 依次学习函数、极限、导数以及积分的最初应用；中值定理（4.2）和微积分基本定理（5.4）是继续之前需要掌握的两节。
• 第二学期（第7–11章）： 超越函数、积分技巧、微分方程与级数。第10章有十节，介绍了一系列收敛判别法；值得反复练习，直到选用哪种判别法成为熟练的操作。
• 第三学期（第12–17章）： 先学向量与三维几何，后面的所有内容都需要它；第14–16章依次从偏导数建立到重积分，再到线积分和曲面积分。
• 选学： 8.9节（概率）、第17章（二阶方程）以及在线的第18–19章，视课程而定；Technology Application Projects 适合能使用计算机代数系统的学生。

需要证明时请查阅附录A，并用奇数编号习题的答案随时检查练习成果。