Thomasの微積分学

引用

Hass, J. R., Heil, C. E., Bogacki, P., & Weir, M. D. (2022). Thomas' Calculus (15th ed.). Pearson.

章の要約

Pearson の目次は、印刷版の17章、オンライン限定の2章（第18章・第19章）、および付録で構成されています。第1–11章が1変数の微分積分、第12–16章が多変数の微分積分にあたり、Pearson はこの2つの部分を『Single Variable』『Multivariable』という別冊としても販売しています。出版社の説明によると、第15版では演習問題が追加され、多くの応用例が更新され、図と文章が分かりやすく見直されました。2つのオンライン章は新しく加わったものです。

第1–2章：関数／極限と連続性

冒頭は関数の短い章で、グラフ、関数の合成、グラフの平行移動と拡大縮小、三角関数、そしてソフトウェアによるグラフ作成を扱います。第2章は変化率と曲線の接線から始まり、関数の極限と極限の法則、極限の厳密な定義、片側極限、連続性、無限に関わる極限と漸近線へと進みます。

第3–4章：導関数／導関数の応用

第3章は、一点での導関数から関数としての導関数、微分の規則、変化率としての導関数、三角関数の導関数、連鎖律、陰関数の微分、逆関数と対数関数の導関数、関連する変化率、線形近似と微分へと進みます。第4章は、極値、平均値の定理、第1次導関数テスト、凹凸とグラフの概形、応用的な最適化、ニュートン法、不定積分（原始関数）を扱います。

第5–6章：積分／定積分の応用

積分は、面積と有限和による近似、シグマ記号、定積分、微分積分学の基本定理を通して導入され、続いて置換積分と曲線間の面積が扱われます。第6章は定積分を、体積（断面法と円筒殻法）、弧長、回転面の面積、仕事と流体の力、モーメントと重心に応用します。

第7–9章：超越関数／積分の技法／1階微分方程式

第7章は、逆関数、自然対数、指数関数、指数的変化と変数分離形の微分方程式、ロピタルの定理、逆三角関数と双曲線関数、増大度の比較を扱います。第8章は積分の技法（部分積分、三角関数の積分と三角関数による置換、部分分数、積分表とコンピュータ代数システム、数値積分、広義積分）をまとめ、確率の節で終わります。第9章は1階微分方程式を導入し、傾きの場とオイラー法、線形方程式、応用、自励系方程式、連立方程式と位相平面を扱います。

第10–11章：無限数列と無限級数／媒介変数表示と極座標

第10章は、数列と無限級数から出発し、積分判定法、比較判定法、比判定法と根判定法、交代級数と条件収束を経て、べき級数とテイラー級数・マクローリン級数へと進み、その収束と応用も扱います。第11章は、平面曲線の媒介変数表示、媒介変数曲線の微積分、極座標とそのグラフ、極座標での面積と長さ、円錐曲線（極座標による表示を含む）を扱います。

第12–13章：ベクトルと空間の幾何／ベクトル値関数と空間内の運動

多変数の部分は、3次元座標系、ベクトル、内積と外積、空間内の直線と平面、柱面と2次曲面から始まります。第13章はベクトル関数の微分と積分を扱い、空間曲線とその接線、放物運動、弧長、曲率と法線ベクトル、加速度の接線成分と法線成分、極座標での速度と加速度が含まれます。

第14–15章：偏導関数／重積分

第14章は、多変数関数、高次元での極限と連続性、偏導関数、連鎖律、方向微分と勾配ベクトル、接平面と全微分、極値と鞍点、ラグランジュの未定乗数法、2変数のテイラーの公式、変数に制約のある偏導関数を扱います。第15章は、極座標・円柱座標・球座標を含む2重積分と3重積分、応用、重積分における変数変換を扱います。

第16–17章：積分とベクトル場／2階微分方程式

第16章は、スカラー関数の線積分、ベクトル場と線積分（仕事、循環、流束）、経路独立性と保存場、グリーンの定理、曲面と面積、面積分、ストークスの定理、そして統一理論として示される発散定理を展開します。第17章は微分方程式に戻り、2階線形方程式、非斉次方程式、応用、オイラー方程式、べき級数解を扱います。

第18–19章（オンライン）と付録

第18章「Complex Functions」は、複素数、極限と連続性、複素導関数、コーシー・リーマンの方程式、複素級数、等角写像を扱います。第19章「Fourier Series and Wavelets」は、周期関数、正弦と余弦の和、3次元以上でのベクトルと近似、関数の近似、ハール系とウェーブレットを扱います。付録Aは、実数、帰納法、直線・円・放物線、極限定理の証明、実数の理論、および2つの技術的な結果をまとめています。オンライン付録Bは、行列式、3変数以上の関数の極値、勾配降下法を扱います。

主要概念

第1–6章：1変数の微分積分

• 極限の厳密な定義：第2章で、極限の法則に続いて独立した節として扱われる極限の形式的な定義。
• 平均値の定理：第4章の結果で、第1次導関数テストや単調性の議論の土台になります。
• 微分積分学の基本定理：第5章で述べられる、定積分と原始関数を結びつける定理。

第7–11章：超越関数、技法、級数、曲線

• 変数分離形微分方程式と傾きの場：第7章で指数的変化とともに導入され、第9章で発展します。
• ロピタルの定理：第7章で扱う、不定形の処理。
• テイラー級数とマクローリン級数：第10章で、収束判定法およびその応用とともに扱われます。
• 極座標と円錐曲線：第11章で、直交座標を超えた曲線の記述に広げます。

第12–17章：多変数微分積分とベクトル解析

• 内積と外積：第12章の代数的な道具。
• 勾配と方向微分：第14章での、多変数関数が与えられた方向にどう変化するかの説明。
• ラグランジュの未定乗数法：第14章の制約付き極値問題。
• グリーンの定理・ストークスの定理・発散定理：第16章は、最後の発散定理を、先の2つとともに統一理論として示します。

批判的分析

長所

• 全課程を1冊で。 目次は関数と極限からベクトル解析までを貫き、1階・2階の微分方程式（第9章と第17章）も含むため、3セメスターまたは3クォーターの課程を1冊でまかなえます。また、印刷版が『Single Variable』と『Multivariable』に分かれているので、より短い課程にも向いています。
• 技術が構成に組み込まれている。 目次には、ソフトウェアによるグラフ作成（1.4）、積分表とコンピュータ代数システム（8.6）、数値積分の節、そして第11–17章の各章末に挙げられた「Technology Application Projects」があります。
• 章末の復習教材。 目次には、第11–17章の各章末に「Questions to Guide Your Review」、練習問題、発展的な演習が並んでおり、試験前に自分の理解を確かめられます。巻末には奇数番号の演習問題の解答と応用の索引もあります。
• 証明が読みやすく保たれている。 極限定理の証明、実数の理論、混合偏導関数の定理は付録Aにあるので、本文の章は概念と技法に集中でき、詳細を知りたい人はそこで確認できます。

短所

• 理論は控えめ。 繊細な証明が付録にあるため、本書は解析学の入門書ではなく微分積分の教科書です。極限と連続性を厳密に展開したい学生は、別に解析学の本が必要です。
• 前提として準備段階の数学が必要。 冒頭の章は4つの節（関数、グラフの合成と移動、三角関数、ソフトウェアによるグラフ作成）で、付録Aは実数、帰納法、直線・円・放物線を扱います。代数が弱い学生は自分で補う必要があります。
• 一部の内容はオンライン限定。 複素関数の章、フーリエ級数とウェーブレットの章、付録Bはオンラインなので、印刷版だけの読者には含まれません。

コースにおける位置づけ

『Thomas' Calculus』は、このコースの一覧の中で、全課程をカバーする主教材にあたります。ギルバート・ストラングとエドウィン・ハーマンの『Calculus Volume 1』は、1変数の微分積分を扱う無料のオープンライセンス教材で、最初の2セメスターの併用または代替として自然ですが、多変数の内容には及びません。『Calculus Made Easy』は微分と積分の中心的な考え方を扱った短くくだけた入門書で、第2–5章の前や並行して読む穏やかな最初の一冊として役立ちますが、Thomas の豊富な演習の代わりにはなりません。『Calculus: Concepts and Methods』と『Advanced Calculus』は、より厳密で広範な扱いの本として挙げられており、Thomas の課程の代わりではなく、その後に読むものです。

本書の使い方

『Thomas' Calculus』は、準備段階の数学（代数、関数、三角法）を終えた、理工系・数学系の学生に向けた本です。2～3セメスターの課程の軸として、手を動かしながら使うのが最適です。学びが生まれるのは、演習問題と章末の復習セクションです。

実際の進め方は次のとおりです。

• 第1セメスター（第1–6章）： 関数、極限、導関数、積分の最初の応用を順に学びます。次へ進む前に身につけたい節は、平均値の定理（4.2）と微分積分学の基本定理（5.4）の2つです。
• 第2セメスター（第7–11章）： 超越関数、積分の技法、微分方程式、級数。第10章は10の節からなり、いくつもの収束判定法を導入します。どれを使うかを迷わず選べるようになるまで練習するとよいでしょう。
• 第3セメスター（第12–17章）： まずベクトルと3次元の幾何を学びます。以降のすべてに必要です。第14–16章は、偏導関数から重積分、線積分・面積分へと順に積み上がります。
• 任意： 8.9節（確率）、第17章（2階方程式）、オンライン第18–19章は、課程の方針によります。Technology Application Projects は、コンピュータ代数システムを使える学生に向いています。

証明が必要なときは付録Aを使い、奇数番号の演習問題の解答で練習を随時確認してください。