The Shape of Space（空间的形状）

引用

Weeks, J. R. (2020). The Shape of Space (3rd ed.). CRC Press (Chapman & Hall).

章节概要

第三版约 350 页，含 194 幅彩色插图，分为四个部分、二十个短章，书末附录收录习题答案、参考书目和康威的 ZIP 证明。出版社把本书描述为一本轻松的教材，讲授二维和三维空间的基础几何与拓扑，帮助读者想象我们宇宙可能具有的形状。据出版社介绍，这一版的新内容包括：全书彩色插图、用“图形证明”代替代数证明、以更简单的“柄与交叉帽”方法处理曲面，以及更新后的宇宙学讨论。作者是一位自由职业的几何学家、麦克阿瑟奖获得者，工作横跨纯数学、宇宙学和面向公众的普及写作。

第一部分：曲面与三维流形

共八章：Flatland（平面国）、Gluing（粘合）、Vocabulary（术语）、Orientability（可定向性）、Classification of Surfaces（曲面分类）、Products（乘积）、Flat Manifolds（平坦流形）、Orientability vs. Two-Sidedness（可定向性与双侧性）。这一部分从二维世界的设想以及通过粘合多边形的边来构造空间讲起，然后建立全书其余部分使用的术语。它讨论可定向性和曲面分类（采用出版社提到的柄与交叉帽方法，康威的 ZIP 证明放在附录中），借助乘积空间和平坦三维流形进入三维，最后把可定向性与双侧性区分开来。

第二部分：曲面上的几何

共四章：The Sphere（球面）、The Hyperbolic Plane（双曲平面）、Geometries on Surfaces（曲面上的几何）、Gauss-Bonnet Formula and Euler Number（高斯–博内公式与欧拉数）。拓扑在这里加入了几何。在讲过球面和双曲平面之后，这一部分探讨每个曲面能具有哪种几何，并以把曲面曲率与欧拉数联系起来的高斯–博内公式结束。

第三部分：三维流形上的几何

共六章：Four-Dimensional Space（四维空间）、The Hypersphere（超球面）、Hyperbolic Space（双曲空间）、Geometries on Three-Manifolds I（三维流形上的几何 I）、Bundles（丛）、Geometries on Three-Manifolds II（三维流形上的几何 II）。同样的问题被提升一个维度来问。这一部分先用四维空间为读者做准备，引入超球面和双曲空间作为弯曲的三维模型，再分两章概览三维流形可能具有的几何，中间插入一章讲丛。

第四部分：宇宙

共两章：The Universe（宇宙）、The History of Space（空间的历史）。全书最后把前面的思想应用于宇宙学，即我们自己的宇宙可能是什么形状的问题；据出版社说，这部分讨论在本版中做了更新。

核心概念

第一部分：曲面与三维流形

• 粘合：通过把多边形的边或立体的面等同起来构造空间，从一侧离开的东西会从另一侧回来。
• 可定向性：空间中是否存在一条使左右颠倒的路径，就像在莫比乌斯带上那样。
• 曲面分类：每个闭曲面都是附加了若干柄或交叉帽的球面这一结果。
• 三维流形：在每一点附近都像普通三维空间的空间，包括乘积空间和平坦流形。

第二部分：曲面上的几何

• 球面几何与双曲几何：常正曲率和常负曲率的几何。
• 欧拉数：由顶点、边和面的数目算出、用来区分曲面的量。
• 高斯–博内公式：曲面的总曲率与其欧拉数之间的联系，它限制了曲面可能具有的几何。

第三–四部分：三维几何与宇宙

• 四维空间与超球面：用来想象弯曲三维空间的高维背景。
• 双曲空间：常负曲率的三维几何。
• 丛：由底空间和纤维组装而成的空间，用于描述三维流形上的几何。
• 宇宙的形状：把这些思想应用于空间本身可能的拓扑和几何。

评析

优点

• 先有直观，后有形式。 出版社强调图形证明、全书彩图和非正式的叙述。本书通过图形建立拓扑（粘合、可定向性、分类）和几何（曲率、高斯–博内）的核心思想，出版社还特别指出书中有许多大学和研究生课程中缺少的直观例子。
• 一直讲到三维流形。 本书没有止步于曲面：四个部分中有两个部分超越曲面，进入超球面、双曲空间和三维流形的几何，最后一部分把它们与宇宙学联系起来。
• 习题附有答案。 出版社强调书中的习题，附录A给出答案，因此本书也适合自学。
• 作者提供的软件。 作者免费发布了可以探索同样思想的程序：面向儿童及其他初次接触多连通空间者的 Torus Games，以及面向学习三维流形的学生、在多连通三维宇宙中飞行的模拟器 Curved Spaces。

局限

• 不是严格的课程。 由于用图形证明代替代数证明，本书提供的是直观，而不是点集拓扑或代数拓扑的定义和证明；出版社也把它定位为数学专业学生正式教材的补充。
• 宇宙学部分需要更新。 出版社提到本版不得不更新宇宙学讨论；这部分依赖最新观测，读者应当查阅近期成果。
• 很少涉及代数方面。 目录中没有关于基本群、同调或其他代数不变量的章节，因此本书为代数拓扑培养直观，但不传授其方法。

在课程中的定位

本书与 Richard Earl 的 Topology: A Very Short Introduction 一起位于拓扑与几何课程的起点。Earl 的书篇幅短得多，概览从图、纽结到曲面的学科思想；Weeks 则更深入地讨论曲面和三维空间，并配有习题和答案，能把学生从好奇带到真正理解这些例子。

正式的教材随后登场。Wilson Sutherland 的 Introduction to Metric and Topological Spaces 从度量空间出发建立拓扑，James Munkres 的 Topology 先讲点集拓扑再讲基本群；可从作者网站免费获取的 Allen Hatcher 的 Algebraic Topology 则展开基本群、同调和上同调。Weeks 提供了这些定义背后的图像：商空间的粘合图、曲面分类，以及许多标准例子。

如何使用本书

出版社列出了广泛的读者群：文理通识专业的学生、希望用直观理解补充正式教材的数学本科生和研究生，以及自学的普通读者。具备中学几何和代数是合适的起点。

第一部分要按顺序慢慢读，手边准备纸和剪刀：亲手画粘合图、检验可定向性，是进入这些思想的最好方式。第二部分顺势而来；高斯–博内一章把拓扑与几何联系起来，要多花时间。第三部分从四维空间一路攀升到三维流形的几何，是最难的部分，值得反复阅读。第四部分可以当作结语来读，但只对宇宙学感兴趣的读者也应先读第一、二部分。

边读边做习题，并对照附录A检查答案。读第一部分时用 Torus Games，读第三、四部分时用 Curved Spaces，从内部去体会生活在书中所描述的空间里是什么感觉。