01 / 導讀
導讀
引用
Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups: An Introduction to Abstract Algebra (2nd ed.). Edward Arnold.
章節概要
第二版是一部約 380 頁的精煉本科教材，屬於 Edward Arnold 的 Modular Mathematics 叢書。環與域排在群之前，因此全書從整數和多項式的熟悉運算出發，經過環論到達群論，最後以一章伽羅瓦理論收尾。出版社稱作者把非正式與正式的材料結合起來，既激發學生的熱情，又提供認真學習所需的理論概念。書末還有部分習題解答、參考文獻、記號表和索引。
初等集合論與證明方法
在編號章節之前，有一章集中介紹全書所用的集合論和證明技巧，使初次接觸證明的讀者在書中就能獲得基礎。
第 1 章：數與多項式
本章把整數和多項式並列研究：整除、素數與算術基本定理，然後是多項式環、其中的整除以及代數性質。整數與多項式的 Euclid 演算法為後面各章確立了模式。
第 2 章：二元關係與二元運算
引入二元關係和運算，以及模 n 同餘、等價關係和劃分。這些工具是書中後面商結構構造的基礎。
第 3 章：環導論
環的抽象定義、由公理推出的性質、子環、子域和理想。其中包含環論在數論中的應用。
第 4 章：商環與域
發展商環、環同態和同構定理，並通過取商由環構造域，以及聯絡不同域的構造。
第 5 章：群論基礎
通過公理和例子引入群，然後是子群、同態、正規子群和商群，以及對稱群與交錯群。關於子群階數的 Lagrange 定理屬於這部分內容。
第 6 章：群論的結構定理
進一步的群論：Sylow 定理、直積、有限交換群、可解群和合成列。
第 7 章：伽羅瓦理論漫遊
第二版新增了這一章。它引入根式塔、分裂域以及子域與子群之間的對應，主要應用是一般五次方程不能用根式求解。
核心概念
第 0–2 章：基礎
- 整除、素數與多項式環：整數與多項式的算術。
- 等價關係與同餘：關係如何劃分集合並給出模運算。
第 3–4 章：環與域
- 環、子環與理想：環論的基本物件。
- 商環、同態與同構定理：由舊環構造新環並加以比較。
- 域的構造：通過取商由環得到域。
第 5–7 章：群與伽羅瓦理論
- 群、子群、正規子群與商群。
- Sylow 定理與有限交換群的結構。
- 分裂域與伽羅瓦對應。
評析
優點
- 有意安排的順序。 環與域先於群，學生可以建立在已熟悉的算術之上，商的構造先在熟悉的場合遇到，然後再出現在群中。
- 帶解答的習題。 出版社提到約 800 道習題，其中許多配有提示和解答，書末還有部分解答，有助於自學。
- 文筆易讀。 出版社引用 Mathematical Spectrum 的話，稱它絕非枯燥的教科書，會回報願意花時間和精力鑽研的讀者。出版社把其風格描述為極易閱讀。
- 脈絡完整。 一卷之內，把讀者從初等算術帶到伽羅瓦理論的初步介紹。
侷限
- 伽羅瓦理論只是一次簡短的漫遊。 最後一章題為“簡短的漫遊”，想要完整展開這一主題的讀者需要另找教材。
- 範圍。 編號章節共七章，沒有單獨討論模或環上線性代數等主題，全書限於環、域、群以及伽羅瓦理論入門。
在課程中的定位
這是一本先講環、後講群的本科抽象代數入門教材。A Book of Abstract Algebra 是對話式的入門教材，同樣以伽羅瓦理論結尾，並大量依靠習題組；Contemporary Abstract Algebra 和 Abstract Algebra: Theory and Applications 是篇幅更大的本科教材，有大量例子和應用；Introduction to Algebra 是涵蓋面較廣的導論，還包括向量空間和模。Visual Group Theory 是藉助影像進入群論的途徑，可以與第 5 章配合使用。
Allenby 適合想要一本簡明教材、書末附有部分解答、並想較快到達伽羅瓦理論的讀者。喜歡對話式導論的讀者可以先讀 A Book of Abstract Algebra,想要更充分的群論論述的讀者，可以把第 5–6 章與 Contemporary Abstract Algebra 配合使用。
如何使用本書
出版社給出的讀者群是純數學專業的本科生，並把本書描述為對本科抽象代數課程所學內容的導論。讀者需要一定的數學成熟度並習慣證明，但開篇關於集合論與證明方法的一章意味著，證明入門課並不是嚴格的先修要求。
一個實用的讀法：
- 核心： 按需讀開篇一章，然後按順序讀第 1–5 章。關於環與商的第 3、4 章是前半部分的核心；第 5 章開始群論。
- 接著： 讀第 6 章，學習 Sylow 定理和有限交換群的結構。
- 可選的壓軸： 第 7 章伽羅瓦理論，最好在第 4 章和第 6 章之後讀。
- 習題： 先自己嘗試每道習題，再檢視提示或書末的部分解答，把解答用來核對方法，而不是走捷徑。