01 / 导读
导读
引用
Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups: An Introduction to Abstract Algebra (2nd ed.). Edward Arnold.
章节概要
第二版是一部约 380 页的精炼本科教材，属于 Edward Arnold 的 Modular Mathematics 丛书。环与域排在群之前，因此全书从整数和多项式的熟悉运算出发，经过环论到达群论，最后以一章伽罗瓦理论收尾。出版社称作者把非正式与正式的材料结合起来，既激发学生的热情，又提供认真学习所需的理论概念。书末还有部分习题解答、参考文献、记号表和索引。
初等集合论与证明方法
在编号章节之前，有一章集中介绍全书所用的集合论和证明技巧，使初次接触证明的读者在书中就能获得基础。
第 1 章：数与多项式
本章把整数和多项式并列研究：整除、素数与算术基本定理，然后是多项式环、其中的整除以及代数性质。整数与多项式的 Euclid 算法为后面各章确立了模式。
第 2 章：二元关系与二元运算
引入二元关系和运算，以及模 n 同余、等价关系和划分。这些工具是书中后面商结构构造的基础。
第 3 章：环导论
环的抽象定义、由公理推出的性质、子环、子域和理想。其中包含环论在数论中的应用。
第 4 章：商环与域
发展商环、环同态和同构定理，并通过取商由环构造域，以及联系不同域的构造。
第 5 章：群论基础
通过公理和例子引入群，然后是子群、同态、正规子群和商群，以及对称群与交错群。关于子群阶数的 Lagrange 定理属于这部分内容。
第 6 章：群论的结构定理
进一步的群论：Sylow 定理、直积、有限交换群、可解群和合成列。
第 7 章：伽罗瓦理论漫游
第二版新增了这一章。它引入根式塔、分裂域以及子域与子群之间的对应，主要应用是一般五次方程不能用根式求解。
核心概念
第 0–2 章：基础
- 整除、素数与多项式环：整数与多项式的算术。
- 等价关系与同余：关系如何划分集合并给出模运算。
第 3–4 章：环与域
- 环、子环与理想：环论的基本对象。
- 商环、同态与同构定理：由旧环构造新环并加以比较。
- 域的构造：通过取商由环得到域。
第 5–7 章：群与伽罗瓦理论
- 群、子群、正规子群与商群。
- Sylow 定理与有限交换群的结构。
- 分裂域与伽罗瓦对应。
评析
优点
- 有意安排的顺序。 环与域先于群，学生可以建立在已熟悉的算术之上，商的构造先在熟悉的场合遇到，然后再出现在群中。
- 带解答的习题。 出版社提到约 800 道习题，其中许多配有提示和解答，书末还有部分解答，有助于自学。
- 文笔易读。 出版社引用 Mathematical Spectrum 的话，称它绝非枯燥的教科书，会回报愿意花时间和精力钻研的读者。出版社把其风格描述为极易阅读。
- 脉络完整。 一卷之内，把读者从初等算术带到伽罗瓦理论的初步介绍。
局限
- 伽罗瓦理论只是一次简短的漫游。 最后一章题为“简短的漫游”，想要完整展开这一主题的读者需要另找教材。
- 范围。 编号章节共七章，没有单独讨论模或环上线性代数等主题，全书限于环、域、群以及伽罗瓦理论入门。
在课程中的定位
这是一本先讲环、后讲群的本科抽象代数入门教材。A Book of Abstract Algebra 是对话式的入门教材，同样以伽罗瓦理论结尾，并大量依靠习题组；Contemporary Abstract Algebra 和 Abstract Algebra: Theory and Applications 是篇幅更大的本科教材，有大量例子和应用；Introduction to Algebra 是涵盖面较广的导论，还包括向量空间和模。Visual Group Theory 是借助图像进入群论的途径，可以与第 5 章配合使用。
Allenby 适合想要一本简明教材、书末附有部分解答、并想较快到达伽罗瓦理论的读者。喜欢对话式导论的读者可以先读 A Book of Abstract Algebra,想要更充分的群论论述的读者，可以把第 5–6 章与 Contemporary Abstract Algebra 配合使用。
如何使用本书
出版社给出的读者群是纯数学专业的本科生，并把本书描述为对本科抽象代数课程所学内容的导论。读者需要一定的数学成熟度并习惯证明，但开篇关于集合论与证明方法的一章意味着，证明入门课并不是严格的先修要求。
一个实用的读法：
- 核心： 按需读开篇一章，然后按顺序读第 1–5 章。关于环与商的第 3、4 章是前半部分的核心；第 5 章开始群论。
- 接着： 读第 6 章，学习 Sylow 定理和有限交换群的结构。
- 可选的压轴： 第 7 章伽罗瓦理论，最好在第 4 章和第 6 章之后读。
- 习题： 先自己尝试每道习题，再查看提示或书末的部分解答，把解答用来核对方法，而不是走捷径。