01 / 导读
导读
引用
Sutherland, W. A. (2009). Introduction to Metric and Topological Spaces (2nd ed.). Oxford University Press.
章节概要
全书共17个短章，约200页（不同目录给出206页或224页）。出版社的介绍说明了整体构想：从熟悉的实分析逐步走向抽象的拓扑空间，以度量空间为桥梁，以连续性为引导概念。若干概念先在度量空间中引入，然后在拓扑空间中重复一遍，因此在进入后者时，熟悉的例子已经在手。第2版取代了1975年Clarendon出版的第1版，并增加了配套网站。
第1–4章：引言；记号与术语；关于集合与函数的补充；若干实分析的回顾
预备性的几章。它们确定后文使用的记号以及集合与函数的语言，并回顾后面各章所依赖的实分析。
第5–6章：度量空间；度量空间中的更多概念
引入度量空间以及在这一背景下最初的拓扑观念，把上一部分回顾的分析概念推广到一般的距离函数。
第7–9章：拓扑空间；拓扑空间中的连续性；拓扑空间中的一些概念
向拓扑空间的过渡。连续性不再借助距离来重述，度量空间中已经见过的概念在更一般的背景中重复出现。
第10–11章：子空间与乘积空间；豪斯多夫条件
由旧空间构造新空间的方法，以及拓扑空间上的一种分离条件。
第12–14章：连通空间；紧致空间；序列紧致性
出版社说讨论要展开到"连通性、紧致性与完备性"这一组三件套，这里是其中前两项。紧致性出现在两章中，一章讲紧致空间，一章讲序列紧致性。
第15章：商空间与曲面
这门学科的几何一面。出版社说，书中描述了一些标准曲面，即通俗介绍中常见的莫比乌斯带、甜甜圈和克莱因瓶，并说明它们如何融入同一个故事。章名把商空间与曲面放在一起。
第16–17章：一致收敛；完备度量空间
回到分析性的话题：函数的一致收敛，以及度量空间的完备性，也就是三件套中的第三项。
核心概念
第1–6章：从实分析到度量空间
- 度量空间：带有距离函数的集合，是极限和连续性最先被推广的场所。
- 连续性：引导性的概念，起初作为关于距离的陈述，后来用开集的语言来表述。
第7–11章：拓扑空间
- 拓扑空间：带有开集族的集合，不借助距离而保留连续性与收敛。
- 子空间与乘积空间：在子集和乘积上诱导出的新拓扑。
- 豪斯多夫条件：排除无法被开集区分的点的分离性质。
第12–17章：连通性、紧致性、完备性
- 连通空间：不能分成两个不相交开集的空间。
- 紧致空间与序列紧致空间：支撑极值存在等结果的有限性条件。
- 商空间：把点粘合在一起得到的空间，用来构造曲面。
- 一致收敛与完备度量空间：以一致速度收敛的函数，以及每个柯西序列都收敛的空间。
评析
优点
- 清晰的教学路线。 出版社介绍了从实分析出发、以度量空间为桥梁逐步走向拓扑的路径，每个概念先在度量空间中引入，再在拓扑空间中重复。目录遵循了这一计划：两章度量空间之后是三章拓扑空间。
- 简明而集中。 全书由17个短章组成。艾伦·斯坦杰（Allen Stenger）在美国数学协会（MAA）的书评（2010年）中称其为点集拓扑的简短而清晰的入门书。
- 练习与辅助材料。 出版社说明书中有大量练习，较难的若干题带有提示，还有一个提供进一步解释、例子和补充材料的配套网站。罗布·阿什莫尔（Rob Ashmore）在 Mathematics Today（2011年12月）上的书评称赞了练习和作者的教学风格。
- 连接分析与几何。 关于商空间与曲面的一章和关于一致收敛的一章，把抽象理论同激发它的几何图景和分析结果放在一起。
局限
- 入门的深度。 Stenger的书评说，本书介绍了拓扑学最重要的概念，但没有把其中任何一个讲得很深。目录中有豪斯多夫条件，但没有对分离公理或可数性公理更广泛的处理，也没有代数拓扑。
- 答案不在书里。 据Ashmore所说，这一版删去了练习的答案，移到了一个限制访问的网站，这对讲师比对自学的学生更合适。
- 以实分析为前提。 本书面向数学专业二、三年级学生，直接建立在第一门分析课之上；没有学过的读者需要先学那门课或那本书，因为第4章只是一个回顾。
- 不同目录的页数不同。 以美国国会图书馆为基础的记录给出206页，Google图书和IMA的条目给出224页。按照教学大纲指定页码阅读时，请核对手头的版本。
在课程中的定位
在本站的拓扑与几何书籍中，Sutherland是从实分析通向点集拓扑的桥梁。Richard Earl的 Topology: A Very Short Introduction 和Jeffrey Weeks的 The Shape of Space 非形式化而且直观，不要求形式分析的基础，是培养曲面直觉的合适伴读。Munkres的 Topology 是更宽广的经典，先展开点集拓扑，再引入代数拓扑，因此自然是留作参考或第二门课使用的书。Hatcher的 Algebraic Topology 在作者网站上免费提供，是以点集拓扑和抽象代数为前提的研究生教材。
Sutherland介于它们之间：比入门书更形式化，比Munkres更短、更偏分析，也是通向Hatcher所假定的点集拓扑背景的一条路。
如何使用本书
出版社把本书面向数学专业的二、三年级学生，本站列出的先修条件是第一门实分析课（数列、连续性、实数的完备性）。
一个实用的计划如下：
- 把第2–4章当作参考，先行阅读。 只读到足以确定记号、复习实分析为止，然后继续。
- 核心： 第5–14章，从度量空间，经拓扑空间、子空间与乘积、豪斯多夫条件，到连通性与紧致性。把每一个度量空间的章节与其拓扑对应章节看作一对，注意哪些东西发生了变化。
- 按兴趣选读： 第15章讲曲面与粘合，第16章讲一致收敛，第17章讲完备性。
- 练习： 利用较难问题的提示，并到配套网站查看进一步的解释；答案在限制访问的网站上，需要核对证明时，请与学习伙伴或老师一起做。