Introduction to Metric and Topological Spaces（距離空間と位相空間入門）

引用

Sutherland, W. A. (2009). Introduction to Metric and Topological Spaces (2nd ed.). Oxford University Press.

章の要約

本書は17の短い章からなり、約200ページである（目録によって206ページまたは224ページとされる）。出版社の説明が構想を述べている。なじみのある実解析から抽象的な位相空間へ徐々に進み、距離空間を橋渡しとし、連続性を動機となる概念とする。いくつかの概念はまず距離空間で導入され、そのあと位相空間で繰り返されるので、後者に入る頃には、なじみのある例がすでに手元にある。第2版は1975年のClarendon版（第1版）にかわるもので、補助のウェブサイトが加わった。

第1–4章：序論、記法と用語、集合と関数についての補足、実解析の復習

準備の章である。のちに使う記法と、集合と関数の言葉を定め、後の章が土台とする実解析を復習する。

第5–6章：距離空間、距離空間のさらなる概念

距離空間と、その設定での最初の位相的な考え方を導入し、前の復習で扱った解析的な概念を一般の距離関数へと広げる。

第7–9章：位相空間、位相空間における連続性、位相空間のいくつかの概念

位相空間への移行である。連続性は距離を使わずに言い直され、距離空間ですでに見た概念が、より一般的な設定で繰り返される。

第10–11章：部分空間と直積空間、ハウスドルフ条件

古い空間から新しい空間を作る方法と、位相空間についての分離条件。

第12–14章：連結空間、コンパクト空間、点列コンパクト性

出版社が議論の展開先とする「連結性、コンパクト性、完備性」の3つ組のうちの前の2つである。コンパクト性は、コンパクト空間と点列コンパクト性という2つの章に現れる。

第15章：商空間と曲面

この主題の幾何学的な側面である。出版社によれば、本書は一般向けの解説に出てくるメビウスの帯、ドーナツ、クラインの壺といった標準的な曲面をいくつか記述し、それらが同じ物語の中にどう収まるかを示す。章の題名は商空間と曲面を組み合わせている。

第16–17章：一様収束、完備距離空間

解析的な話題に戻る。関数の一様収束と、3つ組の3番目である距離空間の完備性を扱う。

主要概念

第1–6章：実解析から距離空間へ

• 距離空間：距離関数を備えた集合で、極限と連続性が最初に一般化される舞台。
• 連続性：導きの糸となる概念で、はじめは距離についての主張として、のちに開集合の言葉で述べられる。

第7–11章：位相空間

• 位相空間：開集合の族を備えた集合で、距離なしに連続性と収束を保つ。
• 部分空間と直積空間：部分集合や直積に誘導される新しい位相。
• ハウスドルフ条件：開集合によって区別できない点を排除する分離性。

第12–17章：連結性、コンパクト性、完備性

• 連結空間：互いに素な2つの開集合に分けられない空間。
• コンパクト空間と点列コンパクト空間：最大値・最小値の存在のような結果の背後にある有限性の条件。
• 商空間：点を貼り合わせて得られる空間で、曲面の構成に使われる。
• 一様収束と完備距離空間：一様な速さでの関数の収束と、すべてのコーシー列が収束する空間。

批判的分析

長所

• 明快な教育的道筋。 出版社は、実解析から距離空間を橋渡しとして位相へ徐々に進む道筋と、各概念をまず距離空間で、続いて位相空間で導入する構成を説明している。目次はこの計画に沿っており、距離空間の2つの章のあとに位相空間の3つの章が続く。
• 簡潔で焦点が絞られている。 本書は17の短い章からなる。Allen Stenger は米国数学協会（MAA）の書評（2010年）で、本書を点集合位相の簡潔で明快な入門書と呼んだ。
• 演習と補助資料。 出版社は、多数の演習があり、難しいもののいくつかにはヒントが付くこと、さらに補足的な説明、例、追加の資料を載せた補助ウェブサイトがあることを記している。Rob Ashmore は Mathematics Today（2011年12月）の書評で、演習と著者の教え方を称賛した。
• 解析と幾何をつなぐ。 商空間と曲面の章と一様収束の章が、抽象理論を、それを動機づける幾何学的な像と解析的な結果の両方と並べて置く。

短所

• 入門的な深さ。 Stenger の書評は、本書は位相の最も重要な概念を紹介するが、そのどれも深くは掘り下げないと述べている。目次にはハウスドルフ条件はあるが、分離公理や可算公理のより広い扱いはなく、代数的位相もない。
• 解答は本に載っていない。 Ashmore によれば、この版では演習の解答が削られ、アクセスの制限されたウェブサイトに移された。これは、独りで学ぶ学生よりも講師に向いた措置である。
• 実解析が前提。 本書は数学の2・3年生を対象とし、解析の最初の課程の上に直接築かれている。それを学んでいない読者は、第4章が復習にすぎないので、先にその課程か本を学ぶ必要がある。
• 目録によってページ数が異なる。 米国議会図書館系の記録は206ページ、Google Books と IMA の掲載は224ページとしている。シラバスのページ指定に従うときは、手元の版を確認すること。

コースにおける位置づけ

このサイトの位相と幾何の本のなかで、Sutherland は実解析から点集合位相への橋渡しである。Richard Earl の Topology: A Very Short Introduction と Jeffrey Weeks の The Shape of Space は非形式的で視覚的であり、形式的な解析の前提を必要とせず、曲面についての直観を養う副読本として適している。Munkres の Topology は、点集合位相を展開してから代数的位相を紹介する、より広い古典であり、参照用や2つ目の課程のために手元に置くのに自然な本である。Hatcher の Algebraic Topology は著者のウェブサイトで無料公開されており、点集合位相と抽象代数を前提とする大学院向けの教科書である。

Sutherland はこれらの中間に位置する。入門書より形式的で、Munkres より短く解析寄りであり、Hatcher が前提とする点集合位相の背景への道筋になる。

本書の使い方

出版社は本書を数学の2・3年生向けとしており、当サイトは前提条件として、実解析の最初の課程（数列、連続性、実数の完備性）を挙げている。

実用的な計画は次のとおりである。

• 第2–4章は参照用として始める。 記法を確認し、実解析を思い出すのに必要な範囲だけ読み、先へ進む。
• 中核： 第5–14章。距離空間から、位相空間、部分空間と直積、ハウスドルフ条件、連結性、コンパクト性まで。距離空間の各章と、それに対応する位相空間の章を対として扱い、何が変わるかに注意する。
• 関心に応じて任意： 曲面と貼り合わせは第15章、一様収束は第16章、完備性は第17章。
• 演習： 難しい問題のヒントを使い、補助ウェブサイトでさらなる説明を確認する。解答は制限のあるサイトにあるので、証明を確かめる必要があるときは、学習仲間や教員と取り組むとよい。