01 / 导读
导读
引用
Cameron, P. J. (2008). Introduction to Algebra (2nd ed.). Oxford University Press.
章节概要
第1章：导论
开篇一章为一年级学生进入抽象代数之前准备所需的背景：什么是证明、数的性质、代数运算、集合、映射与关系（尤其是等价关系）、模算术、矩阵和置换，并附有一篇关于逻辑的附录。为了让本书也能用于一年级课程，第二版把这一章的篇幅扩充到原来的两倍以上，节奏也刻意放得很缓。
第2章：环
本书有意先讲环后讲群：整数人人熟悉，它满足环的公理，在入门阶段是可靠的参照。本章讲授环与子环、同态与理想、因式分解（由此证明算术基本定理）以及域，并附有一篇杂录性质的附录。
第3章：群
群与子群、陪集与拉格朗日定理、同态与正规子群的展开与环的一章平行，因此读者第二次遇到同构定理和商结构。关于特殊群的一节介绍循环群、对称群、交错群等族，附录则探讨给定阶的群究竟有多少个。
第4章：向量空间
这一短章并不打算全面讲授线性代数，因为多数读者此前已经学过向量空间。它以公理化方式重述子空间、基与维数、线性变换与矩阵，并把内容组织成可以推广到下一章模论的形式。
第5章：模
模通过让标量取自环而非域来推广向量空间。在引言之后，本章研究欧几里得整环上的模，用行与列的初等变换得到史密斯标准形，再把结果用于两个问题：有限生成阿贝尔群的结构，以及矩阵的标准形（包括凯莱–哈密顿定理）。
第6章：数系
本章从自然数出发一直构造到复数，为前文“整数构成环”这一假定打下坚实基础。它区分代数数与超越数，证明某些尺规作图不可能完成，最后进一步讨论集合论：可数性，以及本版新增的选择公理和佐恩引理。
第7章：进一步的专题
这是全书最长的一章，把第2章和第3章的内容继续推进。群论部分包括群作用、西罗定理和合成列；环论部分包括唯一分解整环和局部环；域论部分包括有限域。最后一部分介绍几种因其统一作用而入选的结构：泛代数、格与布尔代数，以及范畴。作者自己也说，其中一些内容过于简略，不适合直接用于教学，意在引导读者进一步阅读。
第8章：应用
两项应用几乎用到全书的内容。编码理论部分涵盖纠错码、带有生成矩阵和校验矩阵的线性码、伴随式译码、码规模的界，以及由有限域构造的循环码。伽罗瓦理论部分涵盖分裂域、伽罗瓦对应，以及如何借助它判断哪些多项式方程可以用根式求解。
核心概念
第1章：导论
- 等价关系：满足自反、对称、传递的关系，其等价类构成集合的一个划分；作者强调代数学的许多内容都依赖于它。
- 模算术：关于余数的算术，是读者遇到的第一个有限代数结构。
第2–3章：环；群
- 理想与商环：理想是环同态的核，对它取商得到一个新的环。
- 环中的因式分解：适当环中的唯一分解，由此得到算术基本定理。
- 正规子群与商群：理想在群中的对应物，即群同态的核。
- 拉格朗日定理：有限群的子群的阶整除群的阶。
第4–5章：向量空间；模
- 环上的模：标量构成环而非域的“向量空间”。
- 史密斯标准形：欧几里得整环上的矩阵经行列初等变换得到的对角形式，是第5章的关键工具。
- 有限生成阿贝尔群的结构：这样的群是循环群的直和，作为模论的应用得到。
第6章：数系
- 数系的构造：在自然数的基础上依次构造整数、有理数、实数和复数。
- 代数数与超越数：是否为有理系数多项式之根的区分，也是某些作图不可能性背后的依据。
- 佐恩引理：选择公理的一种形式，用于证明诸如无限维空间存在基之类的存在性结果。
第7章：进一步的专题
- 西罗定理：有限群中素数幂阶子群的存在性与共轭性。
- 有限域：元素个数为素数幂的域，其乘法群是循环群。
- 泛代数与格：把群、环等结构视为同一观念之实例的一般框架。
第8章：应用
- 线性码与最小距离：有限域上字的子空间，其最小距离决定能纠正多少个错误。
- 伽罗瓦对应：伽罗瓦群的子群与扩张的中间域之间的对应关系。
评析
优点
- 一条说理清楚的通往抽象之路。 卡梅伦解释了为何先讲环后讲群：整数使公理显得亲切，因式分解定理能证明关于数的实在结论，通向重要应用的路径也更短。对起初觉得群公理抽象的学生来说，这种顺序可能更容易入手。
- 对一年级学生友好的起点。 扩充后的第1章涵盖证明、集合、关系、矩阵和置换，只学过中学数学的学生也能从这里起步。zbMATH 上第二版的评论者把这一改动列为最重要的变化。
- 单册之中少见的广度。 除了群、环、域，本书还包括模及其两项经典应用、数系的构造、佐恩引理等集合论工具、泛代数、格与范畴的入门，以及两项完整的应用。因此一本书可以支撑多门不同的课程。
- 大量习题与在线支持。 每章都有分量可观的习题，较难的题目标有星号。作者网站提供奇数编号习题的解答、群和环的补充题，以及勘误表。
局限
- 节奏逐渐加快。 序言提醒读者：第1章节奏平缓，第2、3章稍快，之后各章更快。因为导论部分而选择本书的读者应当预料到，从第4章起讲解会少得多。
- 部分专题只是概述。 作者本人说，第7章的部分内容，特别是最后对其他结构的概览，过于简略，不适合直接用于教学。伽罗瓦理论和编码理论各自只占一节、不到二十页，足以讲清主要定理，但若没有补充读物，不足以支撑一整门课。
- 默认已学线性代数。 第4章有意略去线性代数的大部分内容，没有修过矩阵与向量空间课程的读者会觉得第4、5章相当吃力。
- 有意的重复与前向引用。 由于本书要服务于多门课程，有些概念先在习题中出现，之后才在正文中再次处理。这对跳读的读者有帮助，但从头读到尾的人可能会觉得不够连贯。
书中的应用
书中的应用是数学上的，而非工业上的。第5章用欧几里得整环上的模对有限生成阿贝尔群进行分类，并得到矩阵的标准形。第6章用代数数理论证明某些尺规作图不可能完成。第8章把有限域上的线性代数用于纠错码（生成矩阵与校验矩阵、伴随式译码、汉明界和辛格尔顿界等界、循环码），并发展伽罗瓦理论，说明为什么不存在用根式求解五次多项式方程的一般公式。
在课程中的定位
在本课程书单中，最适合与本书比较的是加利安的 Contemporary Abstract Algebra：这是一本供第一门课使用的本科教材，证明细致，例题和习题丰富，并穿插历史注记。托马斯·贾德森的免费教材 Abstract Algebra: Theory and Applications 也是讲授群、环、域的同类第一门课教材，附有应用和可选的 Sage 练习。内森·卡特的 Visual Group Theory 先借助图形建立对群的直觉，再给出形式定义，适合作为第3章的预备读物或配套读物。卡梅伦覆盖同样的核心内容，但把环放在群之前，并进一步延伸到模、数系的构造以及泛代数与格。修读标准第一门课、又希望看到更多例题的学生，可以把卡梅伦与加利安或贾德森搭配使用；想用一本书同时应付第一门和第二门代数课的学生，从卡梅伦这里收获会更多。
平特的 A Book of Abstract Algebra 是一本平易的第一门课教材，先用一系列短章展开群论，再转向环和域。它可以在卡梅伦之前阅读，也可以与第2、3章同时阅读；它先讲群的顺序与卡梅伦形成有益的对照。艾伦比的 Rings, Fields and Groups 是另一本抽象代数入门书：在开头几章讨论数、多项式和关系之后，它也像卡梅伦一样先讲环后讲群，最后以对伽罗瓦理论的简短探讨收尾。喜欢卡梅伦先讲环这一路线的学生，可以用它来获得对同样概念的另一种讲解。
如何使用本书
本书面向一年级及以上的数学专业本科生。第1–3章只需要中学数学，加上愿意阅读和书写证明。从第4章起，默认读者已修过线性代数的第一门课。
不要从头读到尾，而应选择一条路线。两篇序言给出了几种：
- 第一门代数课： 视需要读第1章，然后读第2章和第3章。
- 第二门课： 第5章和第7章。
- 群论课： 第3章加上第7章中群论的各节。
- 环论课： 第2章和第5章，加上第7章中环论的各节。
- 伽罗瓦理论： 第2、6、7章中关于域的各节，然后读第8章的伽罗瓦理论部分。
- 编码理论： 第2章和第7章中关于有限域的内容，然后读第8章的编码理论部分。
已经熟悉证明和集合的学生可以略读第1章，但关系和模算术两部分全书都会用到。第7章的最后一部分可以当作选读的延伸材料。
边读边做习题：有些习题引入了正文后面要用到的概念。带星号的题目较难。用作者在线公布的奇数题解答核对自己的答案，并查看勘误表。第7章的解答并不完整，因此学习进一步专题时，另备一本教材或请教教师会有帮助。作者的解答也能让读者熟悉他的记号：映射写在自变量的右边，矩阵作用于行向量，需要一段时间才能习惯。如果觉得伽罗瓦理论或编码理论的处理过于简略，可以按书末的“Further reading”书目继续阅读。