代数学入門

引用

Cameron, P. J. (2008). Introduction to Algebra (2nd ed.). Oxford University Press.

章の要約

第1章：序論

最初の章は、抽象代数に入る前に1年生が必要とする背景を用意する。証明とは何か、数の性質、代数的な式変形、集合、写像と関係（とりわけ同値関係）、合同算術、行列、置換を扱い、論理についての付録が付く。第2版では本書を1年次の授業でも使えるようにするためにこの章の分量が2倍以上に増やされており、意図的にゆっくりとしたペースで進む。

第2章：環

本書は意図して群より先に環を扱う。整数は誰もが知っており、環の公理を満たし、学び始めの段階で頼りになる手本となるからである。この章では環と部分環、準同型とイデアル、因数分解（算術の基本定理の証明につながる）、体を扱い、雑多な話題をまとめた付録が付く。

第3章：群

群と部分群、剰余類とラグランジュの定理、準同型と正規部分群が環の章と並行する形で展開されるので、同型定理や商の構成に出会うのは二度目になる。特別な群についての節では巡回群、対称群、交代群などの族を扱い、付録では与えられた位数の群がいくつあるかを問う。

第4章：ベクトル空間

この短い章は、多くの読者がすでにベクトル空間を学んでいることを前提に、線形代数を網羅しようとはしない。部分空間、基底と次元、線形変換と行列を公理的な形で述べ直し、次章の加群へと一般化できる形に整える。

第5章：加群

加群は、スカラーを体ではなく環からとることでベクトル空間を一般化したものである。導入のあと、この章はユークリッド整域上の加群を調べ、行と列の基本変形によってスミス標準形に至る。そしてその結果を二つの問題に応用する。有限生成アーベル群の構造と、行列の標準形（ケイリー・ハミルトンの定理を含む）である。

第6章：数の体系

数の体系を自然数から複素数まで土台から構成し、整数が環をなすというそれまでの前提に確かな基礎を与える。この章は代数的数と超越数を区別し、定規とコンパスによるある種の作図が不可能であることを証明し、最後に集合論をさらに扱う。可算性、そしてこの版で新たに加わった選択公理とツォルンの補題である。

第7章：発展的話題

最も長い章で、第2章と第3章の内容をさらに進める。群論の続きとして群作用、シローの定理、組成列を、環論の続きとして一意分解整域や局所環を、体論の続きとして有限体を扱う。最後の部分では、統一的な役割をもつことから選ばれた構造、すなわち普遍代数、束とブール代数、圏を紹介する。著者自身、この内容の一部は授業に使うには概略的すぎると述べており、さらに学ぶきっかけとして置かれている。

第8章：応用

本書のほぼ全体を使う二つの応用を扱う。符号理論では、誤り訂正符号、生成行列と検査行列をもつ線形符号、シンドローム復号、符号の大きさに関する限界、有限体から作られる巡回符号を扱う。ガロア理論では、分解体、ガロア対応、そしてそれを用いてどの多項式方程式が冪根で解けるかを判定することを扱う。

主要概念

第1章：序論

• 同値関係：反射的・対称的・推移的な関係で、その同値類は集合を分割する。著者は代数学の多くがこの概念に依存していることを強調している。
• 合同算術：剰余についての算術で、最初に出会う有限の代数的構造である。

第2–3章：環、群

• イデアルと剰余環：イデアルは環準同型の核であり、それによる商は新しい環になる。
• 環における因数分解：適切な環における一意分解で、算術の基本定理を導く。
• 正規部分群と商群：イデアルの群における類似物で、群準同型の核である。
• ラグランジュの定理：有限群の部分群の位数は群の位数を割り切る。

第4–5章：ベクトル空間、加群

• 環上の加群：スカラーが体ではなく環をなすベクトル空間。
• スミス標準形：ユークリッド整域上の行列を行と列の基本変形で対角化した形で、第5章の鍵となる道具。
• 有限生成アーベル群の構造：そのような群は巡回群の直和であり、加群の理論の応用として得られる。

第6章：数の体系

• 数の体系の構成：整数、有理数、実数、複素数を自然数の上に順に構成すること。
• 代数的数と超越数：有理数係数の多項式の根である数とそうでない数。ある種の作図が不可能であることの背景にある区別。
• ツォルンの補題：選択公理の一形態で、無限次元空間の基底の存在のような存在定理の証明に使われる。

第7章：発展的話題

• シローの定理：有限群における素数冪位数の部分群の存在と共役性。
• 有限体：元の個数が素数冪である体で、その乗法群は巡回群である。
• 普遍代数と束：群や環などの構造を一つの考え方の具体例として扱う一般的な枠組み。

第8章：応用

• 線形符号と最小距離：有限体上の語からなる部分空間で、その最小距離が訂正できる誤りの数を決める。
• ガロア対応：ガロア群の部分群と拡大の中間体との対応。

批判的分析

長所

• 抽象への明確で筋道立った道筋。 キャメロンは群より先に環を扱う理由を説明している。整数のおかげで公理が身近に感じられること、因数分解の定理が数についての実際の事実を証明すること、そして本格的な応用への道が短いことである。群の公理を最初は抽象的に感じる学生には、この順序のほうが取り組みやすいかもしれない。
• 1年生向けのゆるやかな出発。 拡充された第1章は証明、集合、関係、行列、置換を扱うので、高校数学しか学んでいない学生でもここから始められる。zbMATH の第2版の書評者は、この変更を最も重要なものとして挙げている。
• 一冊としては珍しい幅広さ。 群・環・体に加えて、加群とその二つの古典的応用、数の体系の構成、ツォルンの補題のような集合論的道具、普遍代数・束・圏への入門、そして二つのまとまった応用を収める。そのため一冊でいくつもの異なる科目を支えられる。
• 豊富な演習とオンラインの補助。 各章にはまとまった量の演習があり、難しい問題にはアステリスクが付いている。著者のウェブサイトでは、奇数番号の演習の解答、群と環についての追加問題、誤植表が公開されている。

短所

• ペースが上がっていく。 序文は、第1章はゆるやかで、第2章と第3章はやや速く、それ以降の章はさらに速いと断っている。導入部分を理由に本書を選んだ読者は、第4章以降は手取り足取りの説明がずっと少なくなると考えておくべきである。
• 概略にとどまる話題がある。 著者自身、第7章の一部、とくに最後の「その他の構造」の概観は授業に使うには概略的すぎると述べている。ガロア理論と符号理論はそれぞれ20ページに満たない一つの節で扱われ、主要定理には十分だが、補助的な文献なしに一科目をまかなうには足りない。
• 線形代数が前提とされる。 第4章は意図的に線形代数の多くを省いているので、行列とベクトル空間の科目を学んでいない読者には第4章と第5章は骨が折れる。
• 計画的な重複と先送りの参照。 本書は複数の科目に使えるように作られているため、いくつかの概念はまず演習で登場し、後で改めて扱われる。拾い読みする読者には助けになるが、最初から順に読む人には不揃いに感じられることがある。

本書で扱う応用

応用は産業的なものではなく数学的なものである。第5章はユークリッド整域上の加群を使って有限生成アーベル群を分類し、行列の標準形を得る。第6章は代数的数の理論を使って、定規とコンパスによるある種の作図が不可能であることを示す。第8章は有限体上の線形代数を誤り訂正符号に応用し（生成行列と検査行列、シンドローム復号、ハミング限界やシングルトン限界のような限界、巡回符号）、さらにガロア理論を展開して、5次の多項式方程式を冪根で解く一般的な公式が存在しない理由を説明する。

コースにおける位置づけ

このコースの書籍リストの中で最も比較しやすいのは、ガリアンの Contemporary Abstract Algebra である。最初の科目向けの学部教科書で、丁寧な証明、豊富な例と演習、歴史的な解説を備えている。トマス・ジャドソンの無料の Abstract Algebra: Theory and Applications も、群・環・体を扱う同様の最初の科目向けテキストで、応用と任意の Sage 演習が付いている。ネイサン・カーターの Visual Group Theory は形式的な定義の前に図を通じて群の直観を育てるので、第3章の予習や副読本に適している。キャメロンは同じ中核を扱うが、環を群より先に置き、さらに加群、数の体系の構成、普遍代数と束にまで進む。標準的な最初の科目を履修していて例をもっと求める学生は、キャメロンをガリアンかジャドソンと組み合わせるとよい。最初と二つ目の代数の科目を一冊でまかないたい学生には、キャメロンのほうが得るものが多い。

ピンターの A Book of Abstract Algebra は、短い章を積み重ねて群論を展開してから環と体に進む、取り組みやすい最初の科目向けの本である。キャメロンの前に読んでも、第2章と第3章と並行して読んでもよく、群を先にするその順序はキャメロンの順序との有益な対照になる。アレンビーの Rings, Fields and Groups も抽象代数の入門書である。数、多項式、関係を扱う最初の数章のあと、キャメロンと同じく群より先に環を扱い、最後にガロア理論への短い寄り道で終わる。キャメロンの環を先にする道筋が気に入った学生は、同じ考え方の別の説明としてこの本を使える。

本書の使い方

本書は1年次以降の数学専攻の学部生に向けて書かれている。第1–3章に必要なのは高校数学と、証明を読み書きする意欲だけである。第4章以降は線形代数の最初の科目を前提とする。

最初から順に読むのではなく、道筋を選ぶこと。序文はいくつかの道筋を示している。

• 最初の代数の科目： 必要に応じて第1章、そのあと第2章と第3章。
• 二つ目の科目： 第5章と第7章。
• 群論の科目： 第3章と第7章の群論の節。
• 環論の科目： 第2章と第5章、それに第7章の環論の節。
• ガロア理論： 第2章、第6章、第7章の体に関する節、そのあと第8章のガロア理論の部分。
• 符号理論： 第2章と第7章の有限体に関する内容、そのあと第8章の符号理論の部分。

証明と集合をすでに知っている学生は第1章を流し読みしてよいが、関係と合同算術の節は全体を通して使われる。第7章の最後の部分は任意の発展的読み物として扱えばよい。

演習は読み進めながら解くこと。演習のいくつかは、本文が後で使う考え方を導入している。アステリスク付きの問題は難しい。奇数番号の演習については著者のオンライン解答で答えを確かめ、誤植表にも目を通しておくこと。第7章の解答は一部しかないので、発展的話題については別の教科書か教員の助けがあると役立つ。著者の解答からは記法もわかる。写像は引数の右側に書かれ、行列は行ベクトルに作用するので、慣れるまで少し時間がかかる。ガロア理論や符号理論の扱いが簡潔すぎると感じたら、本書の「Further reading」のリストで補うとよい。