Contemporary Abstract Algebra（現代抽象代数学）

引用

Gallian, J. A. (2025). Contemporary Abstract Algebra (11th ed.). Chapman & Hall/CRC.

章の要約

第11版は、予備的な第0章と31の番号付きの章からなる。群（第1–11章）、環と多項式（第12–18章）、体（第19–22章）、そして一連の発展的な話題（第23–31章）である。ほぼすべての章が演習で終わり、そのあとに1つ以上の短い伝記が続く。巻末には約40ページの略解がある。

第0章：予備知識

授業に必要な背景の復習である。整数の性質、合同算術、複素数、数学的帰納法、同値関係、写像を扱う。

第1–4章：群への導入／群／有限群・部分群／巡回群

群は、正式な定義の前に、正方形の対称性と二面体群を通して導入される。そのあと定義、基本的な性質、歴史的な注記が続く。続く章では用語、部分群の判定法、部分群の例を扱い、次いで巡回群の性質とその部分群の分類を扱う。

第5–8章：置換群／同型写像／剰余類とラグランジュの定理／外部直積

置換群のあとに、同型写像、自己同型、ケイリーの定理が続く。剰余類の章ではラグランジュの定理を証明し、剰余類を置換群、立方体とサッカーボールの回転群、ルービックキューブに応用する。外部直積には応用の節が付いている。

第9–11章：正規部分群と剰余群／群準同型写像／有限アーベル群の基本定理

群論の構造的な中核である。正規部分群、剰余群とその応用、内部直積、準同型写像と第一同型定理、そして基本定理の証明を含む有限アーベル群の分類を扱う。

第12–15章：環への導入／整域／イデアルと剰余環／環準同型写像

環の動機づけと定義、例、性質、部分環を扱う。続いて整域、体、環の標数、さらに剰余環、素イデアルと極大イデアル、環準同型写像、商体を扱う。

第16–18章：多項式環／多項式の因数分解／整域における整除性

多項式環と除法の原理から多項式の因数分解へ進み、さらに既約元と素元、一意分解整域、ユークリッド整域へと進む。フェルマーの最終定理の歴史的な議論も含まれる。

第19–22章：拡大体／代数拡大／有限体／作図問題

体論は、体論の基本定理、分解体、既約多項式の零点から始まり、有限拡大と代数拡大、有限体の分類と構造へと続き、作図可能な数を通して古典的な作図問題に理論を応用する。

第23–25章：シローの定理／有限単純群／生成元と関係

群論に戻り、共役類、類等式、シローの定理とその応用、有限単純群、そして生成元と関係による表示を扱う。位数15までの群の分類と二面体群の特徴づけも含まれる。

第26–28章：対称性の群／対称性と数え上げ／群のケイリー有向グラフ

等長変換、有限平面対称群の分類と3次元の有限回転群の分類、バーンサイドの定理と群作用の数え上げ問題への応用、そして群を図として表すケイリー有向グラフを扱う。

第29章：代数的符号理論入門

線形符号、パリティ検査行列による復号、剰余類による復号を、歴史的な注記とともに扱う。

第30–31章：ガロア理論入門／円分拡大

約14ページと約10ページの短い最後の2章で、第19–21章の体論を踏まえてガロア理論と円分拡大を導入する。

主要概念

第0–11章：群

• 二面体群：正多角形の対称性のなす群で、本書で最初に登場する群の例。
• ラグランジュの定理：有限群の部分群の位数は、群の位数を割り切る。
• 剰余群：正規部分群による剰余類全体がなす群。
• 第一同型定理：群準同型写像の像は、その核による剰余群と同型である。
• 有限アーベル群の基本定理：すべての有限アーベル群は、素数べき位数の巡回群の直積である。

第12–18章：環と多項式

• 整域：単位元をもち零因子をもたない可換環。
• 素イデアルと極大イデアル：それによる剰余環がそれぞれ整域、体となるイデアル。
• 一意分解整域：0でも単元でもないすべての元が、順序と単元の違いを除いて一意的に既約元の積に分解される整域。

第19–22章：体

• 分解体：与えられた多項式が1次式の積に完全に分解する最小の拡大体。
• 有限体：元の個数が有限の体。そうした体は、素数のべきであるその位数によって分類される。
• 作図可能な数：定規とコンパスで得られる長さで、古典的な作図が不可能であることを証明する道具。

第23–31章：特別な話題

• シローの定理：素数べき位数の部分群の存在を保証し、その個数について述べる定理群。
• バーンサイドの定理：群作用の軌道の個数を数える公式で、対称性を同一視したうえで対象を数えるのに使われる。
• 線形符号：部分空間をなす誤り訂正符号で、パリティ検査行列や剰余類によって復号される。

批判的分析

長所

• 豊富な例題と演習。 出版社によれば、計算問題と理論問題を合わせて約1,900の演習、300を超える例題があり、奇数番号の演習には巻末に解答の骨子とヒントが付いている（略解は約40ページに及ぶ）。一般化する習慣を身につけさせるための演習も特色として挙げられている。T. S. Blyth は zbMATH の第2版の書評で、すでに明快な叙述と演習の多さを高く評価していた。
• 理論の中に組み込まれた具体的な応用。 節の見出しからは、理論が登場するその場に応用が置かれていることがわかる。剰余類は立方体とサッカーボールの回転やルービックキューブに応用され、バーンサイドの定理は数え上げに応用され、代数的符号理論には1章が丸ごと割かれ、ケイリー有向グラフも扱われる。出版社は、応用が科学、計算機、日常生活から取られていると説明している。
• 歴史と人物。 ほぼすべての章の終わりに伝記があり、アーベル、コーシー、ガロアからアラン・チューリング、ジェシー・マクウィリアムズ、ヴェラ・プレス、マンジュル・バルガヴァまでが登場する。フェルマーの最終定理や作図問題などについての歴史的な注記もある。Blyth はこれらの伝記を楽しいものと評した。
• 印刷された本を超えた支援。 本書は著者のウェブサイトにある対話型の正誤問題やコンピュータ演習にリンクしており、そのサイトには証明や抽象代数を学ぶ学生への助言もある。学生用解答集は、奇数番号のすべての演習と多くの偶数番号の演習の解答を収めている。

短所

• 1つの授業で扱える量を超える。 予備知識の章のあとに31章があり、典型的な1学期の授業より多くの内容を含む。教員も独習者も取捨選択が必要で、第23–31章の特別な話題は限られた時間を奪い合うことになる。
• ガロア理論は導入のみ。 ガロア理論と円分拡大を扱う最後の2章は短く、ガロア理論を本格的に学ぶ必要がある学生は、そのあとでより高度な教科書が必要になる。
• 一部の話題はオンラインへ移った。 印刷版にはもはやベクトル空間の章も、フリーズ群と結晶群の章も含まれていない。著者のウェブサイトには、第9版のそれらの章が掲載されている。
• 奇数番号のみの解答と軽い調子。 Blyth が第2版について挙げた2つの留保、つまり解答が奇数番号の演習にしかないことと、気の利いた引用が多すぎることは、現在の本にもそのまま当てはまる。出版社は奇数番号の解答の骨子と「意欲を高めるユーモラスな引用」を特色として宣伝している。

コースにおける位置づけ

Gallian はこの分野の本格的な標準教科書であり、このコースの主教科書として自然な選択である。リストの中のより穏やかな本のうち、Thomas Judson の Abstract Algebra: Theory and Applications は、群、環、体を応用と任意の Sage 演習とともに扱う、無料でオープンライセンスの教科書とされている。最初の授業では Gallian の有力な代替となり、並行して読めば別の説明として役立つ。Nathan Carter の Visual Group Theory は、形式的な代数に入る前にケイリー図と無料のソフトウェアによって群についての直観を育てる本で、第1–11章のよい副読本になる。Gallian のウェブサイトは、Carter の本で使われるソフトウェア Group Explorer にリンクしている。

Peter Cameron の Introduction to Algebra は、証明、集合、関係から始めて環、群、ベクトル空間、加群を扱う本とされており、Gallian の印刷版が扱わない線形代数を補ってくれる。Charles Pinter の A Book of Abstract Algebra は抽象代数の穏やかな入門書であり、最初の授業では Gallian の取り組みやすい代替にも副読本にもなる。R. B. J. T. Allenby の Rings, Fields and Groups は、Gallian とは逆に群より先に環と体を扱う抽象代数の入門書で、同じ構造を別の角度から見せてくれる。

本書の使い方

出版社は本書を、学生が計算を行い証明を書けるようになることを主な目的とする授業のための本としている。したがって、最初の証明中心の授業を終えた数学専攻の学生や教員志望の学生、さらに群論や環論を必要とする計算機科学や物理学の学生に向いている。

実践的な計画は次のとおりである。

• 第0章は必要な範囲だけ読む。 合同算術、同値関係、帰納法は、序盤の群の章が依拠する道具である。
• 1学期目（群）： 第1–11章。正方形の対称性から有限アーベル群の分類までを扱う。群論にとどまる授業なら、最後に第23章（シローの定理）を加えてもよい。
• 2学期目（環と体）： 第12–22章を扱い、そのあと特別な話題から選ぶ。ガロア理論の第30–31章は、第19–21章の体論を前提とする。
• 課題研究向けの特別な話題： 第26–29章（対称性、数え上げ、ケイリー有向グラフ、符号理論）は、学生の課題研究や発表に向いている。

演習に取りかかる前に例題をひととおり確認し、各章で計算問題と証明問題をバランスよく解くとよい。各章を読んだあとは著者のウェブサイトの正誤問題で理解を確かめ、コンピュータ演習で予想を立てて検証し、奇数番号の演習は略解や学生用解答集で答え合わせをするとよい。