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导读
引用
Gallian, J. A. (2025). Contemporary Abstract Algebra (11th ed.). Chapman & Hall/CRC.
章节概要
第十一版由预备性的第0章和31个编号章节组成：群（第1–11章）、环与多项式（第12–18章）、域（第19–22章），以及一系列拓展专题（第23–31章）。几乎每章都以习题结尾，随后是一篇或几篇简短的人物传记；书末约有40页的部分答案。
第0章：预备知识
复习课程所需的背景：整数的性质、模算术、复数、数学归纳法、等价关系和映射。
第1–4章：群论初步；群；有限群与子群；循环群
在给出正式定义之前，先通过正方形的对称和二面体群引入群的概念，然后给出定义、基本性质和一段历史注记。接下来几章讨论术语、子群判别法和子群的例子，再讨论循环群的性质及其子群的分类。
第5–8章：置换群；同构；陪集与拉格朗日定理；外直积
置换群之后是同构、自同构和凯莱定理。陪集一章证明拉格朗日定理，并把陪集应用于置换群、立方体和足球的旋转群以及魔方；外直积一章附有应用小节。
第9–11章：正规子群与商群；群同态；有限阿贝尔群基本定理
这是群论的结构核心：正规子群、商群及其应用、内直积、同态与第一同构定理，以及有限阿贝尔群的分类和基本定理的证明。
第12–15章：环论初步；整环；理想与商环；环同态
先给出环的动机和定义，以及例子、性质和子环。随后讨论整环、域和环的特征，再讨论商环、素理想与极大理想、环同态和分式域。
第16–18章：多项式环；多项式的因式分解；整环中的整除性
从多项式环和带余除法出发，进入多项式的因式分解，再到不可约元与素元、唯一分解整环和欧几里得整环，并附有关于费马大定理的历史讨论。
第19–22章：扩域；代数扩张；有限域；几何作图
域论从域论基本定理、分裂域和不可约多项式的零点讲起，接着讨论有限扩张与代数扩张、有限域的分类与结构，并通过可构造数把理论应用于经典的几何作图问题。
第23–25章：西罗定理；有限单群；生成元与关系
回到群论：共轭类、类方程、西罗定理及其应用；有限单群；以及用生成元与关系给出的表示，包括15阶以内群的分类和二面体群的刻画。
第26–28章：对称群；对称与计数；群的凯莱有向图
等距变换、有限平面对称群的分类和三维有限旋转群的分类；伯恩赛德定理和群作用在计数问题中的应用；以及用凯莱有向图来描绘群。
第29章：代数编码理论导论
线性码、校验矩阵译码和陪集译码，并附有历史注记。
第30–31章：伽罗瓦理论导论；分圆扩张
最后两章篇幅较短（约14页和10页），借助第19–21章的域论，介绍伽罗瓦理论和分圆扩张。
核心概念
第0–11章：群
- 二面体群：正多边形的对称所构成的群，是本书的第一个群的例子。
- 拉格朗日定理：有限群的子群的阶整除群的阶。
- 商群：由正规子群的陪集构成的群。
- 第一同构定理：群同态的像同构于以其核作商得到的商群。
- 有限阿贝尔群基本定理：每个有限阿贝尔群都是素数幂阶循环群的直积。
第12–18章：环与多项式
- 整环：有单位元且无零因子的交换环。
- 素理想与极大理想：以之作商分别得到整环和域的理想。
- 唯一分解整环：其中每个非零非单位元都能分解为不可约元之积、且在相差次序和单位的意义下唯一的整环。
第19–22章：域
- 分裂域：使给定多项式完全分解为一次因式的最小扩域。
- 有限域：只含有限个元素的域；这类域由其阶（某个素数的幂）完全分类。
- 可构造数：能用直尺和圆规作出的长度，是证明某些经典作图不可能的工具。
第23–31章：专题
- 西罗定理：保证素数幂阶子群存在并描述其个数的一组定理。
- 伯恩赛德定理：计算群作用轨道个数的公式，用于在对称意义下计数。
- 线性码：构成子空间的纠错码，可用校验矩阵或陪集来译码。
评析
优点
- 大量的例题与习题。 据出版社介绍，书中约有1,900道计算题和理论题、300多个例题，奇数号习题在书末附有解答要点和提示（部分答案约占40页）。出版社还特别提到一类培养"推广"习惯的习题。T. S. Blyth 在 zbMATH 上评论第二版时，就已称赞其叙述清晰、习题丰富。
- 融入理论之中的具体应用。 从小节标题可以看出，应用就安排在相应理论出现的地方：陪集用于立方体和足球的旋转以及魔方，伯恩赛德定理用于计数，代数编码理论独立成章，还有凯莱有向图。出版社称这些应用取自科学、计算机领域以及日常生活。
- 历史与人物。 几乎每章末尾都有人物传记，从阿贝尔、柯西、伽罗瓦到艾伦·图灵、杰西·麦克威廉斯、薇拉·普莱斯和曼朱尔·巴尔加瓦；书中还有关于费马大定理、几何作图等主题的历史注记。Blyth 称这些传记令人愉快。
- 印刷文本之外的支持。 本书链接到作者网站上的交互式判断题和计算机习题，该网站还为学习证明和抽象代数的学生提供建议。学生习题解答手册收录了全部奇数号习题和许多偶数号习题的解答。
局限
- 内容超出一门课的容量。 预备章之后还有31章，超过典型的一学期课程；教师和自学者都必须取舍，第23–31章的专题会争夺有限的时间。
- 伽罗瓦理论只是入门。 关于伽罗瓦理论和分圆扩张的最后两章篇幅较短，需要完整学习伽罗瓦理论的学生之后还需要更高级的教材。
- 部分主题移到了网上。 印刷版已不再包含向量空间一章，也不再包含饰带群与晶体群一章；作者网站提供了第九版中的这些章节。
- 只有奇数号答案，语气较轻松。 Blyth 对第二版提出的两点保留意见——只给出奇数号习题的答案，以及诙谐引语过多——同样适用于现在的版本：出版社仍在宣传奇数号习题的解答要点和"激励性与幽默的引语"。
在课程中的定位
Gallian 是这一学科的完整标准教材，自然适合作为本课程的主教材。在书单中较平易的书里，Thomas Judson 的 Abstract Algebra: Theory and Applications 被描述为一本免费、开放许可的教材，讲授群、环、域及其应用，并配有可选的 Sage 练习；它是第一门课中可以替代 Gallian 的有力选择，同时阅读也能提供另一种讲解。Nathan Carter 的 Visual Group Theory 在进入形式代数之前，借助凯莱图和免费软件培养对群的直观认识，是第1–11章的良好辅助读物；Gallian 的网站链接了 Carter 一书所用的软件 Group Explorer。
Peter Cameron 的 Introduction to Algebra 被描述为从证明、集合与关系讲起，涵盖环、群、向量空间和模，因此可以补上 Gallian 印刷版所略去的线性代数。Charles Pinter 的 A Book of Abstract Algebra 是一本平易的抽象代数入门书，在第一门课中可作为 Gallian 的易读替代或辅助读物。R. B. J. T. Allenby 的 Rings, Fields and Groups 是一本先讲环与域、后讲群的抽象代数导论，顺序与 Gallian 相反，可以让学生从另一角度认识同样的结构。
如何使用本书
出版社说明，本书适用于以让学生学会计算和书写证明为主要目标的课程，因此适合修过第一门证明类课程的数学专业学生和未来教师，也适合需要群论和环论的计算机科学与物理专业学生。
实用的学习安排如下：
- 第0章按需阅读。 模算术、等价关系和归纳法是前面几章群论所依赖的工具。
- 第一学期（群）： 第1–11章，从正方形的对称一直讲到有限阿贝尔群的分类。若课程只讲群论，可在最后加上第23章（西罗定理）。
- 第二学期（环与域）： 第12–22章，然后从专题中选学。第30–31章的伽罗瓦理论以第19–21章的域论为前提。
- 适合做课题的专题： 第26–29章（对称、计数、凯莱有向图、编码理论）很适合用作学生课题或课堂报告。
做习题之前先把例题过一遍，每章都兼做计算题和证明题。每读完一章，用作者网站上的判断题检验理解，借助计算机习题提出并检验猜想，并用书末的部分答案或学生习题解答手册核对奇数号习题。