Complex Variables and Applications（複變函數及其應用）

引用

Brown, J. W., & Churchill, R. V. (2014). Complex Variables and Applications (9th ed.). McGraw-Hill Education.

章節概要

第九版共12章，正文約460頁，另有前言部分，書末附參考文獻、區域變換表和索引。各章分成若干編號的短小節，每節只有幾頁，許多小節之後緊跟一個標題僅為「例題」的小節。出版社介紹說，本版保留了以往各版的內容和風格，同時擴充了對定理的解釋，論證更加詳細，並把各個主題分到獨立的小節中。

第1章：複數

和與積、代數性質、向量與模、三角不等式、共軛複數、指數形式、積與商的輻角、複數的方根，以及複平面中的區域。

第2章：解析函數

函數與映射（第一個例子是 w = z²），包括涉及無窮遠點的極限，連續性與導數。本章推導柯西–黎曼方程以及可微的充分條件（包括極座標形式），然後定義解析函數和調和函數，最後討論唯一確定的解析函數和反射原理。

第3章：初等函數

指數函數與對數函數、對數的分支及其導數、冪函數、三角函數與雙曲函數及其零點和奇點，以及反三角函數與反雙曲函數。

第4章：積分

從實變數復值函數的積分引出圍道和圍道積分，包括涉及支割線的例子以及積分模的上界。本章討論原函數，並給出單連通和多連通區域上柯西–古爾薩定理的證明。隨後講柯西積分公式及其推廣、劉維爾定理與代數基本定理，以及最大模原理。

第5章：級數

數列與級數的收斂、泰勒級數和洛朗級數（均附證明）、冪級數的絕對收斂與均勻收斂、冪級數和函數的連續性、冪級數的積分與求導、級數表示的唯一性，以及冪級數的乘法與除法。

第6章：留數與極點

孤立奇點與留數、柯西留數定理、無窮遠點處的留數、孤立奇點的三種類型、極點處的留數、解析函數的零點，以及函數在孤立奇點附近的性態。

第7章：留數的應用

利用若爾當引理、缺口路徑、繞支點的缺口和沿支割線積分來計算反常積分，包括來自傅立葉分析的積分。本章還討論含正弦和餘弦的定積分、輻角原理、儒歇定理以及拉普拉斯逆變換。

第8章：初等函數的映射

線性變換、變換 w = 1/z 以及分式線性變換（包括上半平面的映射）。隨後討論指數函數、sin z、z² 和 z^(1/2) 的分支所給出的映射，多項式的平方根，以及黎曼面入門。

第9章：共形映射

角度與比例因子的保持、區域性逆映射、調和共軛，以及調和函數和邊界條件在共形映射下如何變換。

第10章：共形映射的應用

定常溫度（半平面和象限中的問題）、靜電勢，以及藉助流函數討論的二維流體流動，包括繞角流動和繞圓柱流動。

第11章：施瓦茨–克里斯托費爾變換

把實軸映射到多邊形上，三角形與矩形，退化多邊形，以及若干物理例子：透過狹縫的槽道流、帶錯位的槽道流，以及導電板邊緣附近的靜電勢。

第12章：泊松型積分公式

泊松積分公式與圓盤上的狄利克雷問題、相關的邊值問題、施瓦茨積分公式、半平面上的狄利克雷問題，以及諾伊曼問題。

核心概念

第1–3章：複數與函數

• 指數形式與方根：用模和輻角表示複數，以計算乘積、冪和方根。
• 柯西–黎曼方程：刻畫復可微性的、關於實部和虛部的條件。
• 調和函數：拉普拉斯方程的解，與解析函數密切相關。
• 對數的分支：單值對數的選取及其導數。

第4–5章：積分與級數

• 圍道積分：覆函數沿平面內路徑的積分。
• 柯西–古爾薩定理與柯西積分公式：復積分的核心結果。
• 劉維爾定理與最大模原理：由積分公式推出的結論。
• 洛朗級數：含負冪次的展開式，在孤立奇點附近成立。

第6–7章：留數

• 留數定理：由孤立奇點處的留數計算圍道積分。
• 若爾當引理與缺口圍道：計算實反常積分的技巧。
• 輻角原理與儒歇定理：計算圍道內零點和極點的個數。

第8–12章：映射與邊值問題

• 分式線性變換：形如 (az + b)/(cz + d) 的映射，把圓和直線映為圓和直線。
• 共形映射：保持角度的映射，用來變換調和函數和邊界條件。
• 施瓦茨–克里斯托費爾變換：把上半平面映射到多邊形區域的映射。
• 泊松積分公式：圓盤上狄利克雷問題的解。

評析

優點

• 為應用而選取的理論。 出版社說明，本書旨在發展在應用中佔重要地位的理論，並特別強調留數和共形映射的應用。目錄也印證了這一點：兩章專講留數，四章講映射及其應用，最後落在定常溫度、靜電學、流體流動以及狄利克雷和諾伊曼問題上。
• 核心定理有完整證明。 泰勒定理、洛朗定理和柯西–古爾薩定理都有單獨的證明小節。讀者可以看到論證過程，教師也可以選擇跳過。
• 小節短小、便於拆分。 大多數小節只有兩到五頁。出版社把第九版將各主題分入獨立小節列為改進之一，這使得佈置精確的閱讀範圍十分方便。
• 參考工具。 區域變換表集中放在附錄中，供第8–11章使用。腳註就高等微積分中較精細的結果引向其他教材，使微積分背景不同的學生都能跟上論證。

局限

• 高等微積分的結果只引用不證明。 腳註把精細結果的證明引向他書，說明部分基礎取自別處。想要自成體系的嚴格推導的學生需要一本更偏理論的教材。
• 內容偏古典。 主題止於泊松型公式、黎曼面和施瓦茨–克里斯托費爾變換；黎曼映射定理或整函數理論等主題沒有出現在小節標題中。
• 不是一本視覺化或計算型的教材。 目錄側重解析技巧。擅長從幾何影像或計算機實驗中學習的學生可能需要一本輔助讀物。

在課程中的定位

在本課程書單中，Brown 和 Churchill 的書是以方法和應用為主的標準第一門課程教材。Matthias Beck 等人的 A First Course in Complex Analysis 是一本免費、篇幅更短的入門替代教材，兩者可以對照閱讀。Brown 和 Churchill 在留數應用、共形映射和物理邊值問題方面走得遠得多。Tristan Needham 的 Visual Complex Analysis 透過幾何影像展開同一學科，適合與本書第1–3章和第8–9章同時閱讀。Ian Stewart 和 David Tall 的 Complex Analysis 是一本更重視嚴格性和拓撲的中級教材。

對於更偏理論的第二門課程，Lars Ahlfors 的 Complex Analysis 以及 Stein 和 Shakarchi 的 Complex Analysis 把這門學科作為純粹數學來展開。它們證明了 Brown 和 Churchill 只加以引用的內容，並在更深層次上討論共形映射理論等主題。將來走向物理或工程的學生會發現本書第7章和第10–12章最為直接有用；走向純粹數學的學生則應把本書當作計算基礎，然後再讀 Ahlfors 或 Stein–Shakarchi。

如何使用本書

本書是為復變函數理論與應用的入門課程編寫的教材，通常由數學、物理和工科學生在學完微積分之後修讀。實際的前提是多元微積分。學過證明入門對閱讀證明小節有幫助，但不是必需的。

• 一學期的核心路線： 第1–7章，從複數一直到留數及其應用。第一遍閱讀時，第4章和第5章的證明小節可以略讀。
• 應用方向： 學完第7章後，閱讀第8–10章，瞭解映射及其物理應用。工程或數學物理課程可再加第11章或第12章。把附錄中的變換表放在手邊。
• 練習： 大量「例題」小節是習題的範本。在第7章中用留數計算多個反常積分，直到選擇圍道變得得心應手。
• 自學： 逐個閱讀短小節並做完習題再往下讀。藉助 Needham 的書培養幾何直覺，並用 Beck 等人的免費教材獲得對核心理論的另一種講解。