Complex Variables and Applications（复变函数及其应用）

引用

Brown, J. W., & Churchill, R. V. (2014). Complex Variables and Applications (9th ed.). McGraw-Hill Education.

章节概要

第九版共12章，正文约460页，另有前言部分，书末附参考文献、区域变换表和索引。各章分成若干编号的短小节，每节只有几页，许多小节之后紧跟一个标题仅为"例题"的小节。出版社介绍说，本版保留了以往各版的内容和风格，同时扩充了对定理的解释，论证更加详细，并把各个主题分到独立的小节中。

第1章：复数

和与积、代数性质、向量与模、三角不等式、共轭复数、指数形式、积与商的辐角、复数的方根，以及复平面中的区域。

第2章：解析函数

函数与映射（第一个例子是 w = z²），包括涉及无穷远点的极限，连续性与导数。本章推导柯西–黎曼方程以及可微的充分条件（包括极坐标形式），然后定义解析函数和调和函数，最后讨论唯一确定的解析函数和反射原理。

第3章：初等函数

指数函数与对数函数、对数的分支及其导数、幂函数、三角函数与双曲函数及其零点和奇点，以及反三角函数与反双曲函数。

第4章：积分

从实变量复值函数的积分引出围道和围道积分，包括涉及支割线的例子以及积分模的上界。本章讨论原函数，并给出单连通和多连通区域上柯西–古尔萨定理的证明。随后讲柯西积分公式及其推广、刘维尔定理与代数基本定理，以及最大模原理。

第5章：级数

序列与级数的收敛、泰勒级数和洛朗级数（均附证明）、幂级数的绝对收敛与一致收敛、幂级数和函数的连续性、幂级数的积分与求导、级数表示的唯一性，以及幂级数的乘法与除法。

第6章：留数与极点

孤立奇点与留数、柯西留数定理、无穷远点处的留数、孤立奇点的三种类型、极点处的留数、解析函数的零点，以及函数在孤立奇点附近的性态。

第7章：留数的应用

利用若尔当引理、缺口路径、绕支点的缺口和沿支割线积分来计算反常积分，包括来自傅里叶分析的积分。本章还讨论含正弦和余弦的定积分、辐角原理、儒歇定理以及拉普拉斯逆变换。

第8章：初等函数的映射

线性变换、变换 w = 1/z 以及分式线性变换（包括上半平面的映射）。随后讨论指数函数、sin z、z² 和 z^(1/2) 的分支所给出的映射，多项式的平方根，以及黎曼面入门。

第9章：共形映射

角度与比例因子的保持、局部逆映射、调和共轭，以及调和函数和边界条件在共形映射下如何变换。

第10章：共形映射的应用

定常温度（半平面和象限中的问题）、静电势，以及借助流函数讨论的二维流体流动，包括绕角流动和绕圆柱流动。

第11章：施瓦茨–克里斯托费尔变换

把实轴映射到多边形上，三角形与矩形，退化多边形，以及若干物理例子：通过狭缝的槽道流、带错位的槽道流，以及导电板边缘附近的静电势。

第12章：泊松型积分公式

泊松积分公式与圆盘上的狄利克雷问题、相关的边值问题、施瓦茨积分公式、半平面上的狄利克雷问题，以及诺伊曼问题。

核心概念

第1–3章：复数与函数

• 指数形式与方根：用模和辐角表示复数，以计算乘积、幂和方根。
• 柯西–黎曼方程：刻画复可微性的、关于实部和虚部的条件。
• 调和函数：拉普拉斯方程的解，与解析函数密切相关。
• 对数的分支：单值对数的选取及其导数。

第4–5章：积分与级数

• 围道积分：复函数沿平面内路径的积分。
• 柯西–古尔萨定理与柯西积分公式：复积分的核心结果。
• 刘维尔定理与最大模原理：由积分公式推出的结论。
• 洛朗级数：含负幂次的展开式，在孤立奇点附近成立。

第6–7章：留数

• 留数定理：由孤立奇点处的留数计算围道积分。
• 若尔当引理与缺口围道：计算实反常积分的技巧。
• 辐角原理与儒歇定理：计算围道内零点和极点的个数。

第8–12章：映射与边值问题

• 分式线性变换：形如 (az + b)/(cz + d) 的映射，把圆和直线映为圆和直线。
• 共形映射：保持角度的映射，用来变换调和函数和边界条件。
• 施瓦茨–克里斯托费尔变换：把上半平面映射到多边形区域的映射。
• 泊松积分公式：圆盘上狄利克雷问题的解。

评析

优点

• 为应用而选取的理论。 出版社说明，本书旨在发展在应用中占重要地位的理论，并特别强调留数和共形映射的应用。目录也印证了这一点：两章专讲留数，四章讲映射及其应用，最后落在定常温度、静电学、流体流动以及狄利克雷和诺伊曼问题上。
• 核心定理有完整证明。 泰勒定理、洛朗定理和柯西–古尔萨定理都有单独的证明小节。读者可以看到论证过程，教师也可以选择跳过。
• 小节短小、便于拆分。 大多数小节只有两到五页。出版社把第九版将各主题分入独立小节列为改进之一，这使得布置精确的阅读范围十分方便。
• 参考工具。 区域变换表集中放在附录中，供第8–11章使用。脚注就高等微积分中较精细的结果引向其他教材，使微积分背景不同的学生都能跟上论证。

局限

• 高等微积分的结果只引用不证明。 脚注把精细结果的证明引向他书，说明部分基础取自别处。想要自成体系的严格推导的学生需要一本更偏理论的教材。
• 内容偏古典。 主题止于泊松型公式、黎曼面和施瓦茨–克里斯托费尔变换；黎曼映射定理或整函数理论等主题没有出现在小节标题中。
• 不是一本可视化或计算型的教材。 目录侧重解析技巧。擅长从几何图像或计算机实验中学习的学生可能需要一本辅助读物。

在课程中的定位

在本课程书单中，Brown 和 Churchill 的书是以方法和应用为主的标准第一门课程教材。Matthias Beck 等人的 A First Course in Complex Analysis 是一本免费、篇幅更短的入门替代教材，两者可以对照阅读。Brown 和 Churchill 在留数应用、共形映射和物理边值问题方面走得远得多。Tristan Needham 的 Visual Complex Analysis 通过几何图像展开同一学科，适合与本书第1–3章和第8–9章同时阅读。Ian Stewart 和 David Tall 的 Complex Analysis 是一本更重视严格性和拓扑的中级教材。

对于更偏理论的第二门课程，Lars Ahlfors 的 Complex Analysis 以及 Stein 和 Shakarchi 的 Complex Analysis 把这门学科作为纯粹数学来展开。它们证明了 Brown 和 Churchill 只加以引用的内容，并在更深层次上讨论共形映射理论等主题。将来走向物理或工程的学生会发现本书第7章和第10–12章最为直接有用；走向纯粹数学的学生则应把本书当作计算基础，然后再读 Ahlfors 或 Stein–Shakarchi。

如何使用本书

本书是为复变函数理论与应用的入门课程编写的教材，通常由数学、物理和工科学生在学完微积分之后修读。实际的前提是多元微积分。学过证明入门对阅读证明小节有帮助，但不是必需的。

• 一学期的核心路线： 第1–7章，从复数一直到留数及其应用。第一遍阅读时，第4章和第5章的证明小节可以略读。
• 应用方向： 学完第7章后，阅读第8–10章，了解映射及其物理应用。工程或数学物理课程可再加第11章或第12章。把附录中的变换表放在手边。
• 练习： 大量"例题"小节是习题的范本。在第7章中用留数计算多个反常积分，直到选择围道变得得心应手。
• 自学： 逐个阅读短小节并做完习题再往下读。借助 Needham 的书培养几何直觉，并用 Beck 等人的免费教材获得对核心理论的另一种讲解。