Complex Analysis（複分析）

引用

Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2003). Complex Analysis. Princeton University Press. Princeton Lectures in Analysis, II.

章節概要

全書共十章和兩個附錄，是《普林斯頓分析講義》四卷中的第二卷，引言多次回指講傅立葉分析的第一卷。每章後附習題，第一章之後的各章另有難度更高的問題。

第1章：Preliminaries to Complex Analysis（複分析預備知識）

複平面、收斂與平面點集、連續函式與全純函式、冪級數，以及沿曲線的積分。本章為 Cauchy 定理做準備，章末只有習題。

第2章：Cauchy's Theorem and Its Applications（Cauchy 定理及其應用）

由 Goursat 定理引出圓盤內原函式的局部存在性和 Cauchy 定理，起初只針對簡單的“玩具圍道”。隨後計算若干積分，證明 Cauchy 積分公式，並給出進一步的應用：Morera 定理、全純函式序列、由積分定義的全純函式、Schwarz 反射原理和 Runge 逼近定理。

第3章：Meromorphic Functions and the Logarithm（亞純函式與對數）

零點與極點、留數公式及例子、奇點與亞純函式、幅角原理及其應用、同倫與單連通區域、複對數，最後一節討論 Fourier 級數與調和函式的關係。

第4章：The Fourier Transform（Fourier 變換）

研究 Fourier 變換在目錄中記為 ℑ 的一類特定函式上的作用，並證明 Paley–Wiener 定理。引言把這一章看作 Fourier 變換與複分析之間的優美聯絡。

第5章：Entire Functions（整函式）

Jensen 公式、有限階函式、無窮乘積（包括正弦函式的乘積公式）、Weierstrass 無窮乘積和 Hadamard 因子分解定理。

第6章：The Gamma and Zeta Functions（Gamma 函式與 Zeta 函式）

先講 Gamma 函式的解析延拓和進一步性質，再講 Zeta 函式及其函式方程與解析延拓。

第7章：The Zeta Function and Prime Number Theorem（Zeta 函式與素數定理）

Zeta 函式的零點與 1/ζ(s) 的估計，然後把素數定理化歸為函式 ψ 與 ψ₁ 的漸近式，並證明這些漸近式。

第8章：Conformal Mappings（共形對映）

共形等價、圓盤與上半平面、帶形區域中的 Dirichlet 問題、Schwarz 引理與自同構、Riemann 對映定理（含 Montel 定理），以及透過 Schwarz–Christoffel 積分把區域共形映到多邊形，最後回到橢圓積分。

第9章：An Introduction to Elliptic Functions（橢圓函式導論）

橢圓函式、Liouville 定理與 Weierstrass ℘ 函式，然後是橢圓函式的模性質與 Eisenstein 級數，包括它們與除數函式的聯絡。

第10章：Applications of Theta Functions（Theta 函式的應用）

Jacobi theta 函式的乘積公式及其變換律，母函式和對分拆的簡短介紹，以及二平方和、四平方和定理的證明。本章開頭強調 theta 函式的雙重性質：對一個變數是橢圓的，對另一個變數是模的。

附錄 A、B：Asymptotics；Simple Connectivity and Jordan Curve Theorem（漸近分析；單連通性與 Jordan 曲線定理）

附錄 A 涵蓋 Bessel 函式、Laplace 方法與 Stirling 公式、Airy 函式和分拆函式。附錄 B 給出單連通性的等價表述、Jordan 曲線定理，以及 Cauchy 定理一般形式的證明。

核心概念

第1–3章：全純函式、Cauchy 與留數

• 全純函式：在複意義下可微的函式，對差商極限的要求支撐起整個理論。
• Cauchy 定理與積分公式：全純函式在適當閉曲線上的積分為零，圓內的函式值可由圓周上的積分給出。
• 留數公式與幅角原理：把積分以及零點和極點的計數化為局部計算的工具。

第4–7章：Fourier、整函式、Zeta

• Paley–Wiener 定理：本章的收尾結果，把函式的性質與其 Fourier 變換的性質聯絡起來。
• Hadamard 分解：用無窮乘積透過零點表示有限階整函式。
• ζ 的函式方程：提供解析延拓，並支撐素數定理的證明。

第8–10章：共形對映、橢圓函式與 Theta 函式

• Riemann 對映定理：平面上每個單連通的真開子集都與單位圓盤共形等價。
• Weierstrass ℘ 函式：一個基本的雙週期函式，橢圓函式由它構造。
• Theta 函式：兼具橢圓性質與模性質的級數，用來證明平方和定理。

評析

優點

• 開篇清楚地交代方法。 引言點出三個現象（圍道積分、正則性、解析延拓），並說主要性質的證明簡短而富有啟發，使讀者在進入技術性章節前先有全貌。
• 超出常規教學大綱的廣度。 出版社的介紹強調與 Fourier 分析、數論和組合學的聯絡。目錄以 Fourier 變換、素數定理、橢圓函式和平方和定理等章節印證了這一點。
• 每章都有練習。 第一章之後，每章末尾都有習題和另一組問題，出版社還發布了若干習題的勘誤表。
• 嚴格而有動機。 出版社稱本書在概念上的洞見與嚴格分析的技術基礎之間取得了謹慎的平衡，各章在證明之前有題詞和對本章要做什麼的說明（如第2章和第10章）。

侷限

• 屬於系列叢書的一卷。 引言引用了第一卷的結果，沒有學過 Fourier 級數和一些實分析的讀者會遇到缺口。
• 對初學者幫助不多。 第一章只是預備性的一章，以習題收尾，初次接觸複數的學生需要另備一本較平緩的教材。
• 後面的章節較為專門。 講橢圓函式和 theta 函式的第9、10章以及講漸近分析的附錄 A 服務於走向數論的讀者，一般課程用不到。

在課程中的定位

Stein 與 Shakarchi 是把複分析與分析學其餘部分聯絡起來的嚴格的進階處理。書單中較早或較平緩的選擇包括 Beck、Marchesi、Pixton 與 Sabalka 的免費單學期教材、Brown 與 Churchill 的入門書，以及 Stewart 與 Tall 的英國本科教材。Needham 的 Visual Complex Analysis 以幾何方式講解這門學科，是培養直覺的好搭檔。

Ahlfors 的經典研究生教材在研究生層次涵蓋同樣的核心，適合想要第二種來源的讀者作比較。Stein 與 Shakarchi 的特點是把 Fourier 分析、Zeta 函式和 theta 函式融入課程，所以學過實分析並想學這些應用的學生應選它。

如何使用本書

本書適合已修過紮實的實分析課程、並且學過或準備學習 Fourier 級數的學生，可作單學期課程的主教材或用於自學。

• 核心： 第1至3章給出中心理論（Cauchy、留數、幅角原理、對數）。一般課程接下來自然是第8章共形對映。
• 後續： 第5至7章講整函式和 Zeta 函式，通向素數定理。
• 選讀： 第9、10章和附錄，適合對橢圓函式、數論或漸近分析感興趣的讀者。

邊學邊做習題，並嘗試每章後更有挑戰性的問題。可對照出版社針對部分習題釋出的勘誤表。