01 / 導讀
導讀
引用
Beck, M., Marchesi, G., Pixton, D., & Sabalka, L. (2025). A First Course in Complex Analysis (Edition 1.6). Orthogonal Publishing L3C. Free official edition: https://matthbeck.github.io/complex.html
章節概要
第1章：複數
本章先簡要介紹複數如何從三次方程式的卡爾達諾公式中產生，然後把 ℂ 形式地定義為帶有特定乘法的實數對，並證明它構成一個體。接著在代數觀點與幾何觀點之間來回切換——極式、指數記號 e^{iφ}、單位根、共軛、絕對值與三角不等式——最後討論後續各章需要的平面初等拓樸（開集與閉集、邊界、區域、路徑與連通性）。一個可選實驗要求學生手算複數，再用 SageMath 核對結果。
第2章：微分
本章為複函數定義極限與連續性，並引入複可微性；在開集上可微的函數稱為全純函數。柯西–黎曼方程式作為把複可微性與實部、虛部偏導數連結起來的條件被推導出來，調和函數首次出現；簡短的一節證明在區域上導數為零的函數是常數。
第3章：函數的例子
本章累積一批例子。它證明莫比烏斯變換把圓和直線映為圓和直線；加入無窮遠點後引出交比以及到球面的球極投影。指數函數和三角函數被推廣到複數自變數，並獲得新的特徵，例如指數函數的週期性；對數透過分支來處理，複數冪也一併討論。
第4章：積分
本章沿分段平滑路徑定義複積分，給出基本性質以及用路徑長度表示的標準估計。它研究反導函數以及積分何時與路徑無關，引入封閉路徑的同倫，並證明同倫形式的柯西定理。最後給出柯西積分公式，先針對圓盤（包括平均值形式），再推廣到更一般的簡單封閉路徑。
第5章：柯西定理的推論
本章在第4章的基礎上推導導數的積分公式，並得出全純函數無窮次可微的結論。隨後給出莫雷拉定理以及單連通區域上反導函數的存在性；最後一節「把柯西公式推向極限」，證明代數基本定理和關於有界整函數的劉維爾定理。
第6章：調和函數
本章回到實值函數，證明全純函數的實部是調和函數，並證明在單連通區域上每個調和函數都是這樣的實部。它證明調和函數的平均值性質和最大–最小值原理，並透過習題討論狄利克雷問題和卜瓦松核。
第7章：冪級數
本章以一個此前工具無法計算的積分為動機，從頭建立數列、完備性、級數和收斂判別法，然後討論函數列與函數項級數以及均勻收斂。它證明冪級數存在收斂半徑，並描述這類級數在何處收斂。
第8章：泰勒級數與羅朗級數
本章在兩個方向上把冪級數與全純函數連結起來：冪級數在其收斂圓盤內是全純的，而每個全純函數在局部都有冪級數展開。它對零點進行分類，證明恆等原理和最大模定理，引入環形區域上的羅朗級數，並最終透過在奇異點附近展開被積函數，算出第7章開頭的那個積分。
第9章：孤立奇異點與留數定理
孤立奇異點被分為可去奇異點、極點和本性奇異點，卡索拉蒂–魏爾斯特拉斯定理描述了本性奇異點附近的行為。本章定義留數並給出幾種計算法則，進而得到留數定理，把沿封閉路徑的積分化為留數之和。章末討論用於計算零點和極點個數的輻角原理與儒歇定理，習題則把留數應用於實瑕積分。
第10章：留數定理的離散應用
最後一章是一組分步引導的多步驟課題，用複積分回答離散問題：計算 1/k² 之和等無窮級數、二項式係數恆等式、費氏數的公式，以及戴德金和的互反律。給教師的說明建議把它們用作較長的作業或小組專題。
附錄A：微積分中的定理
簡短的附錄彙集了正文用到的實微積分結論，例如極值定理、均值定理和微積分基本定理。
核心概念
第1章：複數
- 作為體的複數：帶有規定加法和乘法、滿足通常代數法則的實數對。
- 極式：把 z 寫成 r e^{iφ}，乘法變為長度相乘、輻角相加。
- 區域：平面上的連通開集，是本書中複函數的標準定義域。
第2章：微分
- 全純函數：在開集每一點都複可微的函數。
- 柯西–黎曼方程式：可微函數的實部與虛部滿足的偏微分方程式 u_x = v_y，u_y = −v_x。
第3章：函數的例子
- 莫比烏斯變換：滿足 ad − bc ≠ 0 的映射 (az + b)/(cz + d)，把圓和直線映為圓和直線。
- 球極投影：擴充平面與球面之間的對應，把圓映為圓。
- 對數的分支：在區域上連續地選取對數；由於複指數函數具有週期性，這一步是必要的。
第4章：積分
- 路徑積分：複函數沿參數化路徑的積分。
- 柯西定理：若封閉路徑能在區域內收縮為一點，則全純函數沿它的積分為零（同倫形式）。
- 柯西積分公式：全純函數在封閉路徑內部的值由沿該路徑的積分決定。
第5章：柯西定理的推論
- 無窮次可微性：全純函數具有任意階導數，且由積分公式給出。
- 劉維爾定理：每個有界整函數都是常數。
- 代數基本定理：每個非常數多項式都有複數根。
第6章：調和函數
- 調和函數：具有連續二階偏導數並滿足拉普拉斯方程式的實函數。
- 最大值原理：區域上的非常數調和函數在內部沒有最大值或最小值。
第7章：冪級數
- 均勻收斂：函數列以與點無關的速度收斂，它保持連續性並允許逐項積分。
- 收斂半徑：冪級數收斂的圓盤的半徑。
第8章：泰勒級數與羅朗級數
- 泰勒展開：每個全純函數在局部都是一個冪級數的和。
- 恆等原理：區域上的兩個全純函數若在一個有聚點的集合上相等，則處處相等。
- 羅朗級數：表示環形區域上全純函數的雙邊級數。
第9章：孤立奇異點與留數定理
- 留數：在孤立奇異點處羅朗展開中 (z − z₀)⁻¹ 的係數。
- 留數定理：沿封閉路徑的積分等於所圍留數之和乘以 2πi。
- 儒歇定理：一種比較判別法，說明兩個函數在路徑內部有相同個數的零點。
第10章：留數定理的離散應用
- 用留數求和：透過沿不斷擴大的路徑積分由 π cot(πz) 構造的函數，計算 Σ 1/k² 之類的級數。
- 戴德金和：一類數論求和，其互反律可以用留數定理證明。
評析
優點
- 為第一門嚴格課程而寫。 作者指出，對許多學生而言複變分析是他們第一門嚴格的分析課，本書也充分體現了這一點：盡量少依賴實分析，從頭建立數列與級數，並把需要的微積分定理集中在附錄中。
- 明確的目標形塑了結構。 全書以留數定理為目標。第7章開頭給出一個第4–5章的工具無法處理的積分，第8章用羅朗級數費力地算出它，第9章再用留數輕鬆解決，讀者因此明白為什麼需要級數這套工具。
- 離散應用。 第10章關於無窮級數、二項式係數、費氏數和戴德金和的引導式課題，在入門教科書中並不多見，展示了留數定理如何連結連續數學與離散數學。
- 習題與軟體。 全書分布著 250 多道習題（許多附有提示）和大量 SageMath 提示；開放授權（CC BY 4.0）允許教師改編。
局限
- 冪級數出現較晚。 由於級數從頭建構，泰勒級數直到第8章才出現。已修過實分析的學生可能覺得第7章進展緩慢，偏好先講冪級數的教師需要調整順序。
- 留數之外的內容有限。 保角映射只涉及莫比烏斯變換和初等函數；黎曼映射定理、解析延拓、無窮乘積以及伽瑪函數和 ζ 函數都沒有涉及。進一步學習需要更高階的教科書。
- 應用主要是數學性的。 除了調和函數與狄利克雷問題的動機之外，幾乎沒有流體流動或積分變換之類的物理、工程應用。
- 實積分留給習題。 用留數計算實瑕積分這一標準技巧只出現在習題中，而不是有例題的正文小節；需要在應用課程中使用該技巧的學生還需要更多例子。
書中的應用
應用集中在第10章和習題中。第10章引導讀者利用 π cot(πz)/z² 的留數計算 ζ(2) 及其交錯形式、二項式係數恆等式、費氏數的封閉公式，以及戴德金和的互反律（作者把這一方法歸功於拉德馬赫）。第5章和第9章的習題計算有理函數的實瑕積分，第6章則把調和函數與狄利克雷問題和卜瓦松核連結起來。
在課程中的定位
在這份複變分析書單中，Beck 等人的書與 Brown 和 Churchill 所著 Complex Variables and Applications（一般被視為面向應用的入門書）並列；兩者相比，Beck 等人的書更以證明為中心，而 Brown 和 Churchill 常用於重視工程應用的場合。Tristan Needham 的 Visual Complex Analysis 一般被描述為以圖形和幾何為主導的講法，適合作為培養直覺的搭配讀物，尤其有助於理解第3章的莫比烏斯變換和複數乘法的幾何意義。Stewart 和 Tall 的 Complex Analysis 是另一本大學部層次的選擇。
Ahlfors 的 Complex Analysis 以及 Stein 和 Shakarchi 的 Complex Analysis 一般用於研究所或榮譽課程。Beck 等人的書是通往這兩本書的良好準備：同倫形式的柯西定理、留數計算和儒歇定理，正是那些教科書建立保角映射、解析延拓和特殊函數的基礎。
如何使用本書
本書面向把複變分析作為（可能是）第一門嚴格分析課的大學部學生。讀者需要多變數微積分（偏導數、線積分思想、極座標），並對閱讀和書寫證明有一定的熟悉度；不要求修過實分析。
作者指出書中內容多於一個學期所能講授的。核心路線是第1–5章，然後是第7–9章，以留數定理收尾；第6章的調和函數和第3章的部分內容（球極投影、交比）可以壓縮，修過實分析的學生可以快速讀過 7.1–7.2 節。第10章最適合作為課程末尾的專題。認真完成各章末的習題（許多附有提示），並利用 SageMath 提示和第1章的可選實驗來核對計算、以視覺方式呈現函數。
版本與來源
本導讀依據 A First Course in Complex Analysis Edition 1.6（2025 年 8 月，© 2002–2025 Matthias Beck、Gerald Marchesi、Dennis Pixton、Lucas Sabalka，CC BY 4.0），閱讀的是官方書籍頁面 https://matthbeck.github.io/complex.html 提供的免費 PDF；平裝本由 Orthogonal Publishing 出版。導讀參考了「關於本書」、給教師的說明、完整目錄、全部十章及附錄的引言、所有小節標題、主要編號定理和命題的敘述、若干範例（莫比烏斯變換、同倫、留數計算），以及第1、5、6、9章的習題。