Complex Analysis（複分析）

引用

Stewart, I., & Tall, D. (2018). Complex Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.

章節概要

全書從第0章開始共有十八章，約380頁。劍橋大學出版社介紹說，本書從已確立的實分析理論出發發展複分析，強調複平面更豐富的幾何所帶來的差異，並用簡單的拓撲思想把視覺直覺轉化為嚴格證明。第二版保留了經過訂正的原有正文，並新增三章：第15章（無窮小）、第16章（柯西定理的同調版本）和第17章（進一步的方向）。

第0章：The Origins of Complex Analysis, and Its Challenge to Intuition（複分析的起源及其對直覺的挑戰）

十二頁的歷史性開篇：複數的起源、關於其意義的爭論、它們在平面上的表示、十九世紀柯西對無窮小的使用，以及魏爾斯特拉斯的分析算術化，它是第一版形式化方法的基礎。第二版增加了一種基於含無窮小的擴域的新的形式化方法，本章還提出了視覺直覺與嚴格性之間的關係。

第1–2章：Algebra of the Complex Plane（複平面的代數）；Topology of the Complex Plane（複平面的拓撲）

第1章把複數定義為帶有加法和乘法的實數有序對，涵蓋實部與虛部、模、共軛和極座標，包括複數不能排序的證明。第2章是前幾章中最長的一章，共35頁，涵蓋開集與閉集、極限與連續、路徑、連通性與區域，並證明鋪砌引理（Paving Lemma）：區域內的一條路徑可以被有限個圓盤覆蓋，因此區域內任意兩點都可以用由水平和豎直線段組成的路徑連接。

第3–5章：Power Series（冪級數）；Differentiation（微分）；The Exponential Function（指數函數）

第3章把收斂性從實數推廣到複數序列和級數：柯西收斂的一般原理、絕對收斂、比較判別法和比值判別法，以及圓盤內的冪級數。第4章類比實的情形定義導數，並證明冪級數在其收斂圓內無窮次可微，同時與實函數的「糟糕行為」形成對比。第5章把 exp、sin 和 cos 定義為冪級數，並證明歐拉公式、週期性以及相關的三角函數和雙曲函數。

第6–7章：Integration（積分）；Angles, Logarithms, and the Winding Number（角度、對數與環繞數）

第6章詳細討論複積分：圍道、沿路徑的積分、圍道積分基本定理，以及後面的證明要用到的估計引理（Estimation Lemma）。第7章由實冪級數推出輻角，透過輻角的連續選取以及積分來定義路徑繞一點的環繞數，並討論閉路徑補集的連通分支。

第8–9章：Cauchy's Theorem（柯西定理）；Homotopy Versions of Cauchy's Theorem（柯西定理的同倫版本）

第8章對三角形、星形區域以及不繞區域外任何一點的任意路徑證明柯西定理，使用局部原函數和沿鄰近階梯路徑的積分；還討論了割線、若爾當圍道和單連通區域。第9章給出對邊界以及端點固定的同倫路徑或閉路徑的同倫版本，全部建立在原函數的局部存在性和圍道積分基本定理之上。

第10–12章：Taylor Series（泰勒級數）；Laurent Series（洛朗級數）；Residues（留數）

第10章從柯西積分公式證明泰勒級數，並得到莫雷拉定理、柯西估計、劉維爾定理以及代數基本定理的證明，同時討論零點、函數的延拓和模的局部極值。第11章引入洛朗級數、孤立奇點與本性奇點、黎曼球面以及無窮遠處的行為。第12章涵蓋留數定理及其在無窮積分、無窮級數和其他習題中的應用。

第13–14章：Conformal Transformations（保角變換）；Analytic Continuation（解析延拓）

第13章討論導數不為零處函數的保角性質，證明莫比烏斯函數保持圓，並把保角映射應用於二維位勢理論、透過柯西–黎曼方程得到的拉普拉斯方程，以及機翼翼型的設計。第14章說明限於圓盤的冪級數如何透過相互重疊的區域延拓，進而得到多值函數和黎曼曲面，以對數、平方根和複冪為例。

第15–17章：Infinitesimals in Real and Complex Analysis（實分析與複分析中的無窮小）；Homology Version of Cauchy's Theorem（柯西定理的同調版本）；The Road Goes Ever On …（路仍在延伸……）

這是第二版新增的三章。第15章（35頁）為含無窮小的實數與複數擴張提供了形式基礎，透過放大來可視化，並把它與經典分析、標準分析和非標準分析聯繫起來。第16章擴展柯西定理的同倫版本，問奇點造成的「洞」如何影響積分；它利用鋪砌引理給出的階梯路徑，由矩形之和定義閉鏈與邊界，並證明沿邊界的積分為零。第17章是一個八頁的概覽，說明這門學科已經走向何方、正在走向何方：黎曼猜想、模函數、多複變函數、複流形、複動力系統和分形幾何。

核心概念

第0–5章：基礎

• 作為有序對的複數：第1章的形式定義，其中乘法對應於把 i 的平方定義為負一。
• 鋪砌引理：第2章把路徑的圖像化為階梯路徑的工具，在第7章和第16章中再次使用。
• 複函數的無窮可微性：第4章與實函數的對比。
• 歐拉公式：exp(z) = cos(z) + i sin(z)，在第5章由冪級數定義證明。

第6–14章：積分與主要定理

• 估計引理：用圍道長度和被積函數的最大值給圍道積分設界，在後面的證明中使用。
• 環繞數：第7章中衡量路徑繞一點多少圈的量。
• 柯西定理及其各種版本：針對三角形、星形區域、同倫路徑（第8–9章）和邊界（第16章）。
• 留數、保角映射與黎曼曲面：第12–14章。

第15–17章：第二版新增內容

• 無窮小：第15章的擴域。
• 閉鏈與邊界：第16章的同調語言。

評析

優點

• 一以貫之的方法。 先發展拓撲（第2章），其鋪砌引理在環繞數（第7章）和同調定理（第16章）中再次出現，因此對路徑的直覺成為一種證明技巧，而不是含糊的手勢。出版社強調的正是這一策略。
• 對柯西定理的深入處理。 這條定理以三種形式出現：針對三角形和星形區域，並涉及割線和若爾當圍道（第8章）；透過同倫（第9章）；以及透過同調（第16章），每一種都建立在局部原函數之上。學生可以看到假設條件是如何一步步減弱的。
• 歷史與動機。 第0章在進入技術內容之前，先交代歷史背景和直覺與嚴格性的主題。
• 書中的應用。 第12章用留數計算無窮積分和無窮級數，第13章把保角映射應用於位勢理論和機翼設計。

侷限

• 很晚纔講到複微分。 微分從第75頁纔開始，之前有一個35頁的拓撲章節，想盡快看到解析函數的學生會覺得開頭較慢；拓撲是走嚴格路線的代價。
• 以實分析為前提。 本書從實分析出發，因此適合已經嚴格學過極限、序列和級數的學生。
• 非標準內容。 第15章給出無窮小的形式化理論，這一視角與大多數本科課程不同；遵循標準教學大綱的讀者可以跳過它，也可以跳過簡短的第17章。
• 應用有限。 應用主要是留數計算和用於位勢理論的保角映射；例如沒有關於傅立葉變換或拉普拉斯變換的章節。

在課程中的定位

Stewart 和 Tall 在本課程書單中介於較易的入門書與研究生階段的經典之間。Beck、Marchesi、Pixton 和 Sabalka 的《A First Course in Complex Analysis》是一本免費的一學期教材，儘量少依賴實分析，目標是留數定理；Brown 和 Churchill 的《Complex Variables and Applications》是一本兼顧應用的入門書。對沒有學過實分析的學生來說，兩者都更適合作為初次接觸這門學科的讀物。Needham 的《Visual Complex Analysis》是幾何直覺方面的天然伴讀，它透過圖像和物理直覺而不是僅靠形式證明來講同樣的思想。Ahlfors 的《Complex Analysis》以及 Stein 和 Shakarchi 的《Complex Analysis》是之後可轉向的簡潔的研究生教材。

如何使用本書

本書面向已修完實分析第一門課和多變數微積分、希望學習基於證明但有幾何動機的複分析的本科生。

實用的學習安排如下：

• 核心（第1–12章）： 按順序閱讀。第2章對初次閱讀者來說最陌生，但它的鋪砌引理會在第7章和第8章中派上用場。第6–12章承載核心定理：積分、柯西定理及其同倫版本、泰勒級數與洛朗級數，以及留數。
• 應用與延伸（第13–14章）： 保角映射適合對物理或工程感興趣的人，解析延拓則通向黎曼曲面。
• 選學（第0、15–17章）： 第0章隨時都可以讀，用來了解背景；第16章為第二遍閱讀提供更深入的同調版柯西定理；第15章適合對無窮小感興趣的讀者；第17章是簡短的延伸閱讀指南。

請邊讀正文邊做習題，尤其是第12章的留數習題，它們讓核心定理有用武之地。