01 / 导读
导读
引用
Strang, G., & Herman, E. (2016). Calculus Volume 1. OpenStax. Free official edition: https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1
章节概要
第1章：函数与图像
本书以一个地震问题开篇——9 级地震比 8.2 级地震强多少？——这个问题随后用对数来回答。本章复习微积分所需的函数：记号、定义域与值域、图像、零点和复合；多项式函数、有理函数、幂函数和根式函数及其变换；弧度制下的三角函数；包括反三角函数在内的反函数；以及指数函数和对数函数，并初步介绍双曲函数。本章被定位为正式学习微积分之前必须掌握的基础。
第2章：极限
预览一节说明切线问题和面积问题如何引出微分学与积分学，并把瞬时速度看作平均速度的极限。本章随后通过表格和图像估计极限，讨论单侧极限和无穷极限，建立极限运算法则和代数技巧（因式分解、共轭有理化、夹逼定理），并定义连续性，对间断点分类，陈述介值定理。在直观处理之后，最后一节给出精确的 ε–δ 定义并说明如何用它证明极限。
第3章：导数
本章直接以极限为基础，把导数定义为切线斜率和差商的极限，然后把它看作一个函数，讨论高阶导数以及可导与连续的关系。本章建立求导法则（幂法则、和差积商法则），把导数解释为运动、人口增长以及边际成本和边际收益中的变化率，并推导三角函数的导数、链式法则、借助反函数定理求反函数的导数、隐函数求导，以及指数函数和对数函数的导数（包括对数求导法）。
第4章：导数的应用
本章用导数解决问题：相关变化率、线性近似与微分（包括测量误差）、借助临界点求最值和极值，以及中值定理及其关于函数增减的推论。随后讨论一阶和二阶导数判别法与凹凸性、用于作图的无穷远处极限和渐近线、实际最优化问题、用于未定式和比较增长速度的洛必达法则、近似求根的牛顿法，以及引向积分的原函数和初值问题。
第5章：积分
本章从阿基米德的穷竭法出发，引入求和记号和用来近似面积的黎曼和，然后把定积分定义为有向面积，讨论其性质和函数的平均值。微积分基本定理（两部分，以及积分中值定理）把积分与微分联系起来。本章最后介绍积分公式与净变化定理、换元积分，以及涉及指数函数、对数函数和反三角函数的积分。
第6章：积分的应用
定积分被应用于曲线之间的面积、用切片法（圆盘法和垫圈法）以及柱壳法求体积、弧长与曲面面积，以及质量、功和静水压力（胡佛水坝的例子）等物理量。矩与质心引出帕普斯定理。随后本章给出严格的处理：把自然对数定义为积分，把指数函数定义为其反函数，并把它们应用于指数增长与衰减（倍增时间与半衰期），最后讨论双曲函数的微积分。
核心概念
第1章：函数与图像
- 函数：对每个输入恰好指定一个输出的规则；在图像上可用竖线检验。
- 反函数：当函数是一一对应时存在，其图像是原图像关于直线 y = x 的对称图形；三角函数需要限制定义域才有反函数。
- 自然指数函数与自然对数：eˣ 与 ln x，是贯穿微积分的一对互逆函数。
第2章：极限
- 极限：当输入趋近某点时函数趋近的值，即使函数在该点没有定义，极限也可能存在。
- 连续性：若函数在某点有定义、极限存在且二者相等，则称函数在该点连续。
- 介值定理：闭区间上的连续函数取到端点函数值之间的每一个值。
- ε–δ 定义：用于证明极限命题的精确定义。
第3章：导数
- 导数：差商的极限，给出切线斜率和瞬时变化率。
- 链式法则：复合函数的求导法则 (f∘g)′(x) = f′(g(x))g′(x)。
- 隐函数求导：当 y 没有显式给出时，对方程两边求导以求 dy/dx。
第4章：导数的应用
- 临界点：导数为零或不存在的点，是局部极值唯一可能出现的位置。
- 中值定理：可导函数在区间内存在一点，其瞬时变化率等于区间上的平均变化率。
- 洛必达法则：通过分别对分子和分母求导来计算 0/0 和 ∞/∞ 型未定式的极限。
- 原函数：导数等于给定函数的函数，相差一个常数。
第5章：积分
- 黎曼和：用矩形面积之和近似曲线下的面积。
- 定积分：黎曼和的极限，度量有向面积。
- 微积分基本定理：微分与积分互为逆运算，定积分可以用原函数来计算。
- 换元法：逆用链式法则来简化积分。
第6章：积分的应用
- 圆盘法、垫圈法与柱壳法：通过对截面或柱壳积分来计算旋转体体积的方法。
- 功与静水压力：对力关于距离积分、对压强关于面积积分所得的物理量。
- 质心：系统的平衡点，由矩求得；帕普斯定理把质心与旋转体体积联系起来。
- 指数增长与衰减：倍增时间或半衰期恒定的模型 y = y₀e^{kt}。
评析
优点
- 结构清晰，附学习目标。 每节以编号的学习目标开始，以习题结束；每章末尾有关键术语、关键公式、核心概念和复习题，便于查阅和复习。
- 例题配有即时练习。 例题逐步求解，随后是"Checkpoint"练习题，其答案在书末答案中；奇数号习题的答案也列在书末。
- 应用贯穿全书。 各章开篇的问题（地震震级、Hennessey Venom GT 的加速度、拍摄火箭发射的摄像机、冰帆船、胡佛水坝）在章内稍后得到解答；一级方程式看台、自由下落的跳伞者、大峡谷玻璃天桥的质心等学生项目则拓展了内容。
- 超越函数的处理和严格程度都很灵活。 序言说明，指数函数和对数函数在第1章非正式地出现，在 6.7 节严格处理，且分别安排在独立小节中，因此课程既可采用"早讲超越函数"也可采用"晚讲超越函数"的顺序；极限也先直观处理，ε–δ 定义单独成节。
局限
- 只涉及单变量，而且只是第一部分。 第1卷止于积分的应用；积分技巧、微分方程和级数在第2卷，多元微积分在第3卷，完整的课程序列需要其他各卷。
- 有证明但不是重点。 序言提到书中有 60 多个定理证明，但许多结论（例如介值定理和最值的存在性）只陈述和使用而不证明，因此本书不是分析学教材。
- 篇幅长、内容密。 连同答案近 800 页，相似习题很多，学生可能需要指导来决定优先做哪些题。
- 技术工具的使用是可选的。 标有 [T] 的习题需要计算器或计算机代数系统，但本书不讲授特定工具，因此数值和图形方面的练习取决于教师的选择。
书中的应用
应用涵盖自然科学和社会科学：用对数比较地震强度（第1章）；相对论质量与极限（第2章）；速度与加速度、人口增长、边际成本与边际收益（第3章）；火箭发射中的相关变化率、收益和表面积的最优化以及牛顿法（第4章）；冰帆船行驶距离与净变化（第5章）；以及第6章中的体积、弧长、质量、功、胡佛水坝所受的静水压力、质心、指数增长与衰减，以及用双曲函数描述的悬链线形状。学生项目包括函数的最大值、推导圆面积公式、一级方程式看台、迭代过程与混沌、自由下落的跳伞者和大峡谷玻璃天桥。
在课程中的定位
在这份"微积分与多元微积分"书单中，Calculus Volume 1 与 Silvanus Thompson 的 Calculus Made Easy（一般被视为非正式、直观的入门书）并列；Thompson 适合想要轻松入门的读者，而 OpenStax 提供带完整习题的标准课程内容。Thomas' Calculus 一般被描述为在一卷中涵盖单变量和多元微积分的综合性标准教材，既可以替代 OpenStax 的三卷，也可以作为额外习题的来源。
Robert Wrede 的 Advanced Calculus 和 Binmore 等人的 Calculus: Concepts and Methods 的内容超出本卷，适合学完本卷（及后续各卷）单变量内容、希望追求更高严格性或更高阶主题的学生。
如何使用本书
本书为大学单变量微积分的第一门课程而写，通常是两到三学期课程序列的第一学期。学生需要中学代数和三角，并熟悉函数；第1章和附录C复习微积分之前的预备知识。
典型的一学期课程讲授第2–5章，把第1章作为复习，并选讲第6章的部分小节（面积、体积，可能还有物理应用）。偏好"晚讲超越函数"的教师可以把 3.9 节、5.6 节以及指数函数内容推迟到 6.7 节之后。先读每节的学习目标，研读例题并完成 Checkpoint，再做各类节末习题，并在书末答案中核对奇数题。考试前利用章末的核心概念和复习题，每章至少尝试一个学生项目，看看这些思想如何应用。免费的网页版还提供划线和笔记功能。
版本与来源
本导读依据 Calculus Volume 1（OpenStax，2016 年首次出版；© 2016 Rice University，CC BY-NC-SA 4.0），阅读的是 OpenStax 图书页面 https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1 链接的官方网页版 PDF（2026 年 4 月生成）。导读参考了序言（范围、教学特色、早讲或晚讲超越函数、答案与资源）、完整目录、全部六章的引言和学习目标、所有小节标题、全部六章完整的核心概念总结、学生项目，以及附录和答案部分的结构。