Calculus Volume 1（微分積分学 第1巻）

引用

Strang, G., & Herman, E. (2016). Calculus Volume 1. OpenStax. Free official edition: https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1

章の要約

第1章：関数とグラフ

本書は地震の問い――マグニチュード9の地震はマグニチュード8.2の地震よりどれだけ強いのか――から始まり、それは後で対数を使って答えられる。この章では微積分に必要な関数を復習する。記法、定義域と値域、グラフ、零点、合成、多項式関数・有理関数・べき関数・根号関数とその変換、弧度法による三角関数、逆三角関数を含む逆関数、そして指数関数と対数関数であり、双曲線関数にも初めて触れる。本格的な微積分に入る前に習得すべき土台として位置づけられている。

第2章：極限

導入の節では、接線の問題と面積の問題がどのように微分法と積分法につながったか、そして瞬間速度が平均速度の極限であることを説明する。続いて表やグラフから極限を推定し、片側極限と無限大の極限を扱い、極限法則と代数的な技法（因数分解、共役による有理化、はさみうちの原理）を展開し、連続性を定義して不連続点を分類し、中間値の定理を述べる。直観的な扱いの後、最後の節でイプシロン・デルタによる厳密な定義と、それを用いた極限の証明の仕方を示す。

第3章：導関数

極限を直接の土台として、導関数を接線の傾き、そして差分商の極限として定義し、次にそれを関数として捉え、高階導関数や微分可能性と連続性の関係を扱う。微分法則（べき乗則、和・積・商の法則）を展開し、導関数を運動、人口増加、限界費用・限界収入における変化率として解釈し、三角関数の導関数、連鎖律、逆関数定理による逆関数の導関数、陰関数微分、対数微分法を含む指数関数・対数関数の導関数を導く。

第4章：導関数の応用

導関数を使って問題を解く章である。関連する変化率、1次近似と微分（測定誤差を含む）、臨界点による最大・最小と極値、平均値の定理と、関数の増加・減少に関するその帰結を扱う。続いて1階・2階導関数による判定と凹凸、グラフを描くための無限遠での極限と漸近線、応用的な最適化、不定形とその増加の速さの比較のためのロピタルの定理、根を近似するニュートン法、そして積分へとつながる原始関数と初期値問題を扱う。

第5章：積分

アルキメデスの取り尽くし法から出発して、総和記号と面積を近似するリーマン和を導入し、定積分を符号つき面積として定義し、その性質と関数の平均値を扱う。微分積分学の基本定理（第1部と第2部、積分の平均値の定理を含む）が積分と微分を結びつける。最後に積分公式と正味変化の定理、置換積分、指数関数・対数関数・逆三角関数を含む積分を扱う。

第6章：積分の応用

定積分を、曲線で囲まれた面積、切片による体積（円板法とワッシャー法）と円筒殻法による体積、曲線の長さと表面積、そして質量、仕事、静水圧による力（フーバーダムの例）といった物理量に応用する。モーメントと重心からパップスの定理に至る。続いて自然対数を積分で定義し、指数関数をその逆関数とする厳密な扱いを与え、それらを指数的な増加と減衰（倍増時間と半減期）に応用し、双曲線関数の微積分で締めくくる。

主要概念

第1章：関数とグラフ

• 関数：各入力にちょうど一つの出力を対応させる規則。グラフ上では垂直線テストで確かめられる。
• 逆関数：関数が一対一のときに存在し、そのグラフは元のグラフを直線 y = x で折り返したものになる。三角関数が逆関数をもつには定義域を制限する必要がある。
• 自然指数関数と自然対数：eˣ と ln x。微積分全体で使われる互いに逆の関数。

第2章：極限

• 極限：入力がある点に近づくとき関数が近づく値で、その点で関数が定義されていなくても存在しうる。
• 連続性：ある点で関数が定義され、極限が存在し、両者が一致するとき、その点で連続であるという。
• 中間値の定理：閉区間上の連続関数は、端点での値の間にあるすべての値をとる。
• イプシロン・デルタによる定義：極限に関する主張を証明するために使われる極限の厳密な定義。

第3章：導関数

• 導関数：差分商の極限で、接線の傾きと瞬間的な変化率を与える。
• 連鎖律：合成関数の微分の規則 (f∘g)′(x) = f′(g(x))g′(x)。
• 陰関数微分：y が陽に与えられていないとき、方程式の両辺を微分して dy/dx を求めること。

第4章：導関数の応用

• 臨界点：導関数が0になるか存在しない点で、極値の候補はこれに限られる。
• 平均値の定理：微分可能な関数には、瞬間的な変化率が区間での平均変化率に等しくなる点がある。
• ロピタルの定理：分子と分母を微分して、0/0 や ∞/∞ の不定形の極限を求める方法。
• 原始関数：導関数が与えられた関数になる関数で、定数の差を除いて定まる。

第5章：積分

• リーマン和：曲線の下の面積を近似する長方形の面積の和。
• 定積分：リーマン和の極限で、符号つき面積を測る。
• 微分積分学の基本定理：微分と積分は互いに逆の操作であり、定積分は原始関数を用いて計算できる。
• 置換積分：連鎖律を逆にたどって積分を簡単にすること。

第6章：積分の応用

• 円板法・ワッシャー法・円筒殻法：断面や殻を積分して回転体の体積を求める方法。
• 仕事と静水圧による力：力を距離について、圧力を面積について積分して求める物理量。
• 重心：系がつり合う点で、モーメントから求める。パップスの定理は重心を回転体の体積と結びつける。
• 指数的な増加と減衰：倍増時間または半減期が一定のモデル y = y₀e^{kt}。

批判的分析

長所

• 学習目標を伴う明快な構成。 各節は番号つきの学習目標で始まり演習で終わる。各章の終わりには重要用語、重要公式、主要概念、復習演習があり、本書は見通しがよく復習しやすい。
• すぐに練習できる例題。 例題は段階を追って解かれ、その後に「チェックポイント」の問題が続き、その答えは巻末の解答にある。奇数番号の演習の答えも巻末に載っている。
• 全体を通じた応用。 章の冒頭の問題（地震のマグニチュード、ヘネシー・ヴェノム GT の加速、ロケット打ち上げを撮影するカメラ、アイスボート、フーバーダム）は各章の後半で解かれ、F1 のグランドスタンド、自由落下するパラシュート降下者、グランドキャニオン・スカイウォークの重心といった学生プロジェクトが内容を広げる。
• 超越関数の扱いと厳密さに柔軟。 序文によれば、指数関数と対数関数は第1章で非形式的に、6.7節で厳密に扱われ、独立した節になっているので、授業は超越関数を早く扱う順序にも遅く扱う順序にも従える。極限もまず直観的に扱われ、イプシロン・デルタによる定義は独立した節にある。

短所

• 1変数のみで、しかも最初の部分だけ。 第1巻は積分の応用で終わる。積分の技法、微分方程式、級数は第2巻に、多変数の微積分は第3巻にあるので、授業の系列全体には他の巻が必要である。
• 証明はあるが中心ではない。 序文は60を超える定理の証明に言及しているが、多くの結果（たとえば中間値の定理や最大値・最小値の存在）は証明されずに述べられて使われるので、本書は解析学の教科書ではない。
• 長くて密度が高い。 解答を含めて800ページ近くあり、似た演習が多いので、学生はどの問題を優先すべきかについて指導が必要かもしれない。
• テクノロジーの使用は任意。 [T] の印がついた演習は電卓や数式処理システムを求めるが、本書は特定のツールを教えないので、数値的・図的な作業は教員の選択に左右される。

本書で扱う応用

応用は自然科学と社会科学にわたる。対数による地震の強さの比較（第1章）、相対論的な質量と極限（第2章）、速度と加速度、人口増加、限界費用と限界収入（第3章）、ロケット打ち上げの関連する変化率、収入や表面積の最適化、ニュートン法（第4章）、アイスボートの移動距離と正味変化（第5章）、そして第6章の体積、曲線の長さ、質量、仕事、フーバーダムにかかる静水圧、重心、指数的な増加と減衰、双曲線関数で表される懸垂線の形である。学生プロジェクトには、関数の最大値、円の面積の公式の導出、F1 のグランドスタンド、反復過程とカオス、自由落下するパラシュート降下者、グランドキャニオン・スカイウォークが含まれる。

コースにおける位置づけ

この「微積分と多変数微積分」のリストで、Calculus Volume 1 は、Silvanus Thompson の Calculus Made Easy（一般に非形式的で直観的な入門書とされる）と並ぶ。Thompson は穏やかに最初の一歩を踏み出したい読者に向き、OpenStax は演習を備えた標準的な授業内容一式を提供する。Thomas' Calculus は一般に、1変数と多変数の微積分を1冊で扱う包括的な標準教科書とされ、OpenStax の3巻の代わりにも、追加の問題の供給源にもなる。

Robert Wrede の Advanced Calculus と Binmore らの Calculus: Concepts and Methods は本巻を超える内容を扱う。これらは本巻（とその続巻）の1変数の内容を終え、より厳密さや発展的な話題を求める学生に向いている。

本書の使い方

本書は大学レベルの1変数微積分の最初の授業、典型的には2〜3学期にわたる系列の最初の学期のために書かれている。学生には中等教育の代数と三角法、関数への慣れが必要である。第1章と付録Cが微積分以前の予備知識を復習する。

典型的な1学期では、第1章を復習として、第2〜5章と第6章の一部の節（面積、体積、場合によっては物理的応用）を扱う。超越関数を後で扱いたい教員は、3.9節、5.6節、指数関数の内容を6.7節まで遅らせることができる。各節の学習目標をまず読み、例題とチェックポイントに取り組み、次に節末の演習を幅広く解き、奇数番号の答えを巻末で確かめるとよい。試験の前には章末の主要概念と復習演習を使い、各章で少なくとも一つの学生プロジェクトに挑戦して考え方の応用を確かめるとよい。無料のウェブ版ではマーカーやメモの機能も使える。

版と出典

本ガイドは Calculus Volume 1（OpenStax、初版2016年、© 2016 Rice University、CC BY-NC-SA 4.0）に基づき、OpenStax の書籍ページ https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1 からリンクされた公式のウェブ用PDF（2026年4月生成）を読んで作成した。序文（範囲、教育上の特徴、超越関数を早く扱うか遅く扱うか、解答と資料）、目次全体、全6章の導入部と学習目標、すべての節見出し、全6章の主要概念のまとめ全体、学生プロジェクト、そして付録と解答編の構成を参照している。