01 / 导读
导读
引用
Binmore, K., & Davies, J. (2002). Calculus: Concepts and Methods. Cambridge University Press.
章节概要
本书循序渐进地带领读者从单变量微积分走向多变量微积分，再到简单的微分方程和差分方程。单变量微积分与线性代数的思想在需要时引入，往往换一个新的角度来讲，并且先对二维情形作详细研究，再推广到更高维。书中没有定理和形式化证明，讲解依靠几何手段、例题和图示。
第1章：Matrices and Vectors
微积分从线性代数开始。多变量微积分是用矩阵和向量的语言写成的，所以先建立它们的运算和变换。经济学方面的例子包括商品束和价格向量。
第2章：Functions of One Variable
从本书自己的视角重温单变量微积分，涵盖幂函数、指数函数和三角函数，导数及其计算，以及高阶导数。
第3–4章：Functions of Several Variables；Stationary Points
通过偏导数和梯度研究多元函数。下一章针对一元和多元函数，在有约束和无约束的情形下求出并分类驻点。
第5–6章：Vector Functions；Optimisation of Scalar Valued Functions
向量值函数及其导数引出链式法则和多元标量值函数的泰勒级数。最优化一章讨论凸函数和凹函数，以及用拉格朗日方法求解约束最优化。
第7–9章：Inverse Functions；Implicit Functions；Differentials
这几章讨论函数何时可以求逆、隐函数定理关于隐式确定某个变量的方程说了什么，以及微分如何给出小变化的近似。
第10–11章：Sums and Integrals；Multiple Integrals
积分从和式、分部积分和微积分基本定理开始，推广到重积分，包括无界区域上的积分。
第12–14章：Differential Equations of Order One；Complex Numbers；Linear Differential and Difference Equations
一阶微分方程之后是复数，最后一章的线性微分方程和差分方程需要用到它。全书以带星号习题的答案结尾，附有一些提示和解答，约80页。
核心概念
第1–2章：矩阵、向量与单变量
- 矩阵与向量运算：用来表达多变量内容的代数。
- 单变量函数的导数：作为多变量各章的基础而被重新审视。
第3–6章：多变量与最优化
- 偏导数与梯度：多元函数的变化率。
- 驻点：一阶条件成立的点，由二阶信息加以分类。
- 拉格朗日方法：约束最优化，用于经济学问题。
第7–11章：反函数、隐函数与积分
- 隐函数定理：一个方程把某个变量定义为其他变量的函数所需的条件。
- 微分：用于小变化的线性近似。
- 重积分：在平面及更高维区域上的积分。
第12–14章：微分方程与差分方程
- 一阶微分方程：变化率由当前状态给出。
- 线性差分方程：其离散时间对应物，用于分步演化的模型。
评析
优点
- 循序渐进而严肃认真。 剑桥大学出版社称本书是入门读物，同时是一本“严肃”的书，借助几何手段、例题、图示和习题（345道习题和649幅插图）仔细讲解概念问题。
- 为非专业读者开辟道路。 出版社称本书对数学、经济学和理科学生都有吸引力，其在商业和经济方面的应用范围对一本微积分教材来说并不常见。
- 内置线性代数。 线性代数的思想在需要时讲授，读者不必先学一门单独的矩阵课程就能进入多变量微积分。
- 直观的图示。 许多插图用 Mathematica 绘制，有助于理解难以手绘的曲面等对象。
- 支持自学。 解答可在书中（带星号习题的答案以及提示和解答约占80页）或网上获得。
局限
- 没有证明。 出版社明确说明书中没有定理和形式化证明。需要看到论证及其逻辑的学生，之后还要读一本严格的分析教材。
- 起初集中在二维。 对更高维的处理是由平面推广而来，因此想要对多变量向量微积分作完整、抽象论述的读者会觉得不够。
- 并非向量分析的全面综述。 章节列表中没有线积分与面积分、散度与旋度的章节，需要向量场理论的物理和工程专业学生要另找他书。
书中的应用
对商业和经济的侧重是本书特色的一部分。书中用商品束和价格向量说明矩阵与向量，用拉格朗日方法的最优化解决经济问题，并把反函数、隐函数和微分应用于契约曲线、影子价格和斯勒茨基方程等经济学概念。积分与概率相联系，差分方程则应用于经济和社会模型。书中也包含科学方面的例子。
在课程中的定位
在课程书单的微积分书籍中，宾莫尔与戴维斯针对的是需要多变量微积分、最优化以及简单微分方程和差分方程的读者，尤其是经济学和社会科学领域的读者。它不是单变量微积分的第一门课。要学习单变量的思想，斯特朗与赫尔曼免费的 Calculus Volume 1 和轻松的入门读物 Calculus Made Easy 是更合适的起点，而篇幅很大的 Thomas' Calculus 涵盖包括多变量在内的标准全套课程。
与 Thomas' Calculus 相比，宾莫尔与戴维斯把矩阵和最优化放在前面，并把拉格朗日乘数法、隐函数和差分方程作为核心话题。肖姆丛书中雷德的 Advanced Calculus 是以习题为主的纲要，适合作为额外练习的补充。
如何使用本书
本书面向希望不经过形式化证明的课程就理解多变量微积分及其主要用途的经济、商业、理科和数学专业学生。它适合已经懂一些单变量微积分的读者；第2章会重温这部分内容，因此内置了简短的复习。
合理的安排是：第1、2章作为基础，第3至6章为多变量与最优化的核心，第7至9章学习反函数、隐函数和微分，第10、11章学习积分，第12至14章学习方程。经济学专业的学生最需要最优化和微分的章节；理科学生可以较快地进入积分与方程的章节。
要做习题：带星号的题目在书末附有答案和提示，这是检查自己做得对不对的主要办法。在进入代数推导之前，先利用插图建立直观图像。之后想看证明的读者，应转向分析学的第一门课程。