微積分：概念と方法

引用

Binmore, K., & Davies, J. (2002). Calculus: Concepts and Methods. Cambridge University Press.

章の要約

本書は、1変数の微積分から多変数の微積分へ、さらに簡単な微分方程式と差分方程式へと、読者をやさしく導く。1変数の微積分と線形代数の考え方は必要になったところで、しばしば新しい視点から導入され、2次元の場合を詳しく調べてからより高い次元へ一般化する。定理や形式的な証明はなく、説明は幾何学的な工夫、例題、図に頼っている。

第1章：Matrices and Vectors

微積分は線形代数から始まる。多変数の微積分が行列とベクトルの言葉で書かれるため、その演算や変換が最初に整えられる。経済学の例として、商品の組合せや価格ベクトルが挙げられている。

第2章：Functions of One Variable

本書独自の視点からの1変数微積分の復習で、べき関数、指数関数、三角関数、導関数とその計算、高階導関数を扱う。

第3–4章：Functions of Several Variables；Stationary Points

多変数関数を偏導関数と勾配を通して調べる。次の章では、1変数と多変数の関数について、制約のある場合とない場合の停留点を求め、分類する。

第5–6章：Vector Functions；Optimisation of Scalar Valued Functions

ベクトル値関数とその導関数から、連鎖律と多変数スカラー値関数のテイラー級数に至る。最適化の章では、凸関数と凹関数、そしてラグランジュの方法による制約付き最適化を扱う。

第7–9章：Inverse Functions；Implicit Functions；Differentials

関数がいつ逆関数をもつか、変数を暗黙のうちに定める方程式について陰関数定理が何を述べるか、微分が小さな変化の近似をどのように与えるかを扱う。

第10–11章：Sums and Integrals；Multiple Integrals

積分は和、部分積分、微積分学の基本定理から始まり、非有界な領域での積分を含む重積分へと拡張される。

第12–14章：Differential Equations of Order One；Complex Numbers；Linear Differential and Difference Equations

1階微分方程式のあとに、最終章の線形微分方程式と差分方程式に必要な複素数が来る。巻末には、星印付きの演習問題の答えとヒント・解答があり、約80ページに及ぶ。

主要概念

第1–2章：行列、ベクトル、1変数

• 行列とベクトルの演算：多変数の内容を表現する代数。
• 1変数関数の導関数：多変数の章の土台として捉え直される。

第3–6章：多変数と最適化

• 偏導関数と勾配：多変数関数の変化率。
• 停留点：一階の条件が成り立つ点で、二階の情報で分類される。
• ラグランジュの方法：経済学の問題に応用される制約付き最適化。

第7–11章：逆関数、陰関数、積分

• 陰関数定理：方程式がある変数を他の変数の関数として定める条件。
• 微分：小さな変化に用いる線形近似。
• 重積分：平面およびより高い次元の領域上の積分。

第12–14章：微分方程式と差分方程式

• 1階微分方程式：変化率が現在の状態によって与えられるもの。
• 線形差分方程式：その離散時間版で、段階的に進むモデルに用いられる。

批判的分析

長所

• やさしいが本格的。 ケンブリッジ大学出版局は本書を入門書でありながら「本格的」なものと述べ、概念上の論点を幾何学的な工夫、例題、図、演習（345題の演習と649点の図）によって丁寧に説明するとしている。
• 専門外の読者への道筋。 出版社は、本書が数学、経済学、理科の学生にアピールすること、そして商学・経済学の応用の幅が微積分の教科書としては珍しいことを述べている。
• 線形代数が組み込まれている。 線形代数の考え方は必要に応じて扱われるので、多変数微積分に達する前に行列の別の課程を学ぶ必要がない。
• 視覚的な教材。 図の多くは Mathematica で作成されており、手で描くのが難しい曲面などの理解を助ける。
• 独習の支援。 解答は本の中（ヒントと解答付きの星印付き演習の答えが約80ページを占める）またはウェブで入手できる。

短所

• 証明がない。 出版社は、定理も形式的な証明もないと明言している。議論とその論理を見る必要のある学生は、その後に厳密な解析学のテキストが必要になる。
• 最初は2次元に集中。 より高い次元の扱いは平面からの一般化によるので、多変数のベクトル解析の完全で抽象的な扱いを求める読者にはもの足りない。
• ベクトル解析の網羅的な概観ではない。 章の一覧には線積分や面積分、発散や回転の章がないので、ベクトル場の理論を必要とする物理や工学の学生は他の本を見る必要がある。

本書で扱う応用

商学と経済学への重点は、本書の性格の一部である。行列とベクトルを商品の組合せや価格ベクトルで例示し、経済学の問題にラグランジュの方法による最適化を用い、逆関数、陰関数、微分を契約曲線、シャドウプライス、スルツキー方程式といった経済学の概念に応用する。積分は確率と結びつけられ、差分方程式は経済・社会のモデルに応用される。科学の例も含まれている。

コースにおける位置づけ

コースの微積分の本のなかで、ビンモアとデイヴィスは、とりわけ経済学や社会科学で多変数の微積分、最適化、簡単な微分方程式と差分方程式を必要とする読者を対象にしている。1変数微積分の最初の課程ではない。1変数の考え方を学ぶには、ストラングとハーマンによる無料の Calculus Volume 1 や、くだけた入門書 Calculus Made Easy のほうが出発点に向いており、非常に大部の Thomas' Calculus は多変数を含む標準的な全課程を扱う。

Thomas' Calculus と比べると、ビンモアとデイヴィスは行列と最適化を前面に出し、ラグランジュの未定乗数法、陰関数、差分方程式を中心的な話題として扱う。シャウム叢書のウレードによる Advanced Calculus は問題中心の概説で、追加の練習に適した補助教材である。

本書の使い方

本書は、形式的な証明の課程を経ずに多変数の微積分とその主な用途を理解したい、経済学、商学、理科、数学の学生のためのものである。1変数の微積分をすでにある程度知っている読者に向いており、第2章で復習するので、短いおさらいが組み込まれている。

無理のない計画は、第1章と第2章を土台とし、第3〜6章を多変数と最適化の中心部、第7〜9章を逆関数・陰関数・微分、第10〜11章を積分、第12〜14章を方程式にあてることである。経済学の学生には最適化と微分の章が最も重要で、理系の学生は積分と方程式の章へ素早く進むのもよい。

演習に取り組むこと。星印付きの問題には巻末に答えとヒントがあり、自分の解答を確かめる主な手段になる。代数に取りかかる前に、図を使って全体像を描いておく。そのあと証明を求める読者は、解析学の最初の課程に進むとよい。