Algebraic Topology（代数拓扑）

引用

Hatcher, A. (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. Free official edition: https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html

章节概要

第0章：基础几何概念

这一简短的预备章以非正式的方式、几乎不加证明地介绍全书使用的几何思想：同伦、形变收缩、映射柱与同伦等价；通过粘贴胞腔构造的 CW 复形（胞腔复形）；积、商、纬悬、联和楔和等空间运算；同伦等价的两个判别准则；以及同伦扩张性质。作者说明本章可以先读，也可以跳过、在需要时再回头查阅。

第1章：基本群

本章以相互链接与不链接的圆为动机，定义道路、同伦和基本群，计算 π₁(S¹) ≅ ℤ，并得出若干早期推论：代数基本定理、二维布劳威尔不动点定理以及 S² 上的博苏克–乌拉姆定理。1.2 节引入自由积和范坎彭定理，并用它们由 2 维骨架计算胞腔复形的基本群。1.3 节展开覆叠空间理论——提升性质、用 π₁ 的子群对覆叠空间分类、覆叠变换与群作用。附加专题讨论图与自由群（包括自由群的子群），以及 K(G,1) 空间与群的图。

第2章：同调

在解释为何高阶同伦群难以计算而同调较易处理之后，本章分阶段构造同调：Δ 复形与单纯同调，然后是奇异同调，并证明同伦不变性、长正合列、切除以及单纯同调与奇异同调的等价。早期应用包括布劳威尔不动点定理和维数不变性。2.2 节发展计算工具——球面映射的度、胞腔同调、欧拉示性数、迈耶–菲托里斯序列和带系数的同调——并证明 Sⁿ 上存在处处非零的切向量场当且仅当 n 为奇数。2.3 节给出同调公理以及范畴与函子的语言。附加专题涵盖 H₁ 与 π₁ 的关系、经典应用（若尔当曲线定理、区域不变性、可除代数、博苏克–乌拉姆定理）以及单纯逼近与莱夫谢茨不动点定理。

第3章：上同调

上同调被引入为同调的对偶，泛系数定理说明一者如何决定另一者。本章的重点是反变性带来的额外结构：使上同调成为环的上积、屈内特公式、射影空间上同调环的计算，以及在 ℝⁿ 上可除代数结构问题中的应用。3.3 节讨论流形的定向与庞加莱对偶、它与上积的联系，以及亚历山大对偶等其他形式的对偶。内容丰富的附加专题包括同调的泛系数、一般屈内特公式、H 空间与霍普夫代数、SO(n) 的上同调、博克施泰因同态、极限与 Ext、转移同态以及局部系数。

第4章：同伦论

本章定义高阶同伦群及其长正合列，随后给出怀特黑德定理、胞腔逼近和 CW 逼近。4.2 节讨论同伦群的切除（包括弗洛伊登塔尔纬悬定理）、胡雷维奇定理、纤维丛及其长正合列，以及稳定同伦群，并列出球面已知稳定同伦群的表格。4.3 节通过艾伦伯格–麦克莱恩空间把同伦与上同调联系起来，用到 K(G, n) 的映射来表示上同调类，并引入纤维化、波斯特尼科夫塔和障碍理论。十二个附加专题从基点问题和霍普夫不变量，一直到纤维丛的上同调（勒雷–赫希、吉辛和托姆同构）、布朗可表示性定理、谱与同调理论、多尔德–托姆定理以及斯廷罗德平方与幂运算。

附录

附录汇集了正文中处理得较简略的点集拓扑内容：胞腔复形的拓扑、紧开拓扑、同伦扩张性质和单纯 CW 结构。

核心概念

第0章：基础几何概念

• 同伦等价：映射 f: X → Y 与 g: Y → X，其复合与恒等映射同伦，此时 X 与 Y 具有"相同的形状"。
• CW 复形：按维数由低到高逐步粘贴胞腔而构造的空间，是本书主要研究的空间类。
• 同伦扩张性质：能把定义在子空间上的同伦扩张到整个空间的性质，对 CW 对成立。

第1章：基本群

• 基本群 π₁(X, x₀)：基点处环路的同伦类在环路复合下构成的群。
• 范坎彭定理：由各部分及其交的基本群计算开集之并的基本群。
• 覆叠空间：局部上是与离散纤维之积的映射；良好空间的连通覆叠与 π₁ 子群的共轭类相对应。

第2章：同调

• 奇异同调：由单形到空间的全部连续映射构造的同调，具有同伦不变性并满足切除。
• 长正合列与切除：联系空间对、子空间与商空间同调的工具，是大多数计算的基础。
• 胞腔同调：利用每个胞腔对应一个生成元的链复形来计算 CW 复形同调的高效方法。
• 迈耶–菲托里斯序列：对分成两部分的空间而言，范坎彭定理在同调中的类比。

第3章：上同调

• 泛系数定理：通过 Hom 与 Ext 用同调表示上同调。
• 上积：使 H*(X; R) 成为分次环的乘积，比加法结构更精细。
• 庞加莱对偶：对闭的可定向 n 维流形，H^k 与 H_{n−k} 同构，上积给出非退化配对。

第4章：同伦论

• 怀特黑德定理：在所有同伦群上诱导同构的 CW 复形之间的映射是同伦等价。
• 胡雷维奇定理：对 (n−1) 连通空间，第一个非零同伦群与第一个非零同调群同构。
• 纤维丛与纤维化：具有同伦提升性质、给出同伦群长正合列的映射。
• 艾伦伯格–麦克莱恩空间 K(G, n)：只有一个非零同伦群的空间，表示上同调 Hⁿ(–; G)。

评析

优点

• 几何化、易读的叙述。 序言把可读性列为首要目标之一，并说明本书偏重几何而非代数方面。从第1章相互链接的圆，到射影空间和透镜空间的胞腔结构，论证都配有大量图示和例子。
• CW 复形与 Δ 复形使计算高效。 书中把 CW 复形强调为最自然的空间类，而 Δ 复形结构（例如环面只需 2 个三角形，而单纯复形需要 14 个）简化了早期的同调计算。
• 核心内容加大量选读材料。 每章先是核心部分，然后是合起来约占全书一半的附加专题，因此本书既可用于第一门课程，也可作日后参考，读者还可以自行选择同调、上同调和同伦的学习顺序。
• 习题丰富。 每节和每个附加专题末尾都有习题，从常规验证到较难的问题都有，少数附有提示或文献出处。

局限

• 研究生程度的先修要求。 序言假定读者具备本科代数和点集拓扑知识，尤其是商空间；点集拓扑的细节在正文中常被简略处理并移至附录，缺乏这方面背景的读者可能会遇到困难。
• 没有谱序列和 K 理论。 谱序列被有意留到另一卷，向量丛、示性类和 K 理论则留到再一卷，因此一些标准计算不在本书范围内。
• 没有答案，难度不均。 书中不提供习题答案，附加专题的难度差别也很大，这使自学颇具挑战。
• 内容偏经典。 作者称书中材料本质上是经典的；模型范畴或高阶范畴论等现代发展没有讨论。

书中的应用

应用集中在前面的小节和附加专题中：代数基本定理、布劳威尔不动点定理和博苏克–乌拉姆定理（1.1 节）；维数不变性、关于球面切向量场的"毛球定理"以及欧拉示性数（第2章）；若尔当曲线定理、区域不变性、可除代数和莱夫谢茨不动点定理（2.B–2.C 节）；用上积限制 ℝⁿ 上的可除代数结构（3.2 节）；以及流形和子空间补集上的庞加莱对偶与亚历山大对偶（3.3 节）。

在课程中的定位

在这份"拓扑与几何"书单中，Hatcher 是研究生层次的代数拓扑教材。Richard Earl 的 Topology: A Very Short Introduction 和 Jeffrey Weeks 的 The Shape of Space 一般被视为对拓扑思想以及曲面和三维流形几何的非正式、直观介绍；它们是有益的背景读物，但不能为本书的证明做准备。Sutherland 的 Introduction to Metric and Topological Spaces 一般被视为点集拓扑的第一门课程教材，提供 Hatcher 所假定的商空间、紧性和连通性知识。

Munkres 的 Topology 讲授点集拓扑，并在第二部分介绍基本群和覆叠空间；在读 Hatcher 之前学习该书或 Sutherland，可以打下所需基础，而 Munkres 的代数拓扑章节与 Hatcher 第1章有所重叠。要学习同调、上同调和高阶同伦论，应在这些书之后阅读 Hatcher。

如何使用本书

本书面向研究生和高年级本科生。读者应掌握群论以及环与模的基础（用于系数和上积），并熟悉包括商空间在内的点集拓扑；第0章和附录提供几何与点集方面的背景。

典型的第一门课程按需讲授第0章，再讲第1章（1.1–1.3 节）和第2章（2.1–2.2 节），也可加入 2.B 节和第3章的部分内容（上同调、上积和庞加莱对偶）。第二门课程继续讲第3章和第4章的核心部分（4.1–4.3 节）。附加专题可按兴趣选读——例如自由群看 1.A，经典应用看 2.B，纤维丛看 4.D，斯廷罗德平方看 4.L。仔细推敲例子并动手画图，尝试每节末的习题，并在作者网站上查看勘误表和补充材料。

版本与来源

本导读依据作者康奈尔大学网站上的 Algebraic Topology 免费电子版（2022 年 10 月的 PDF，包含剑桥大学出版社 2002 年初版在 2015 年重印时的更正），https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html。导读参考了序言（目标、结构、先修要求、Δ 复形、后续卷册和 2015 年重印说明）、标准记号、包括全部附加专题和附录的完整目录、全部五章的引言、所有节与小节标题、第1–4章主要编号定理的陈述，以及部分习题。