高等微積分学

引用

Wrede, R. C., & Spiegel, M. R. (2010). Schaum's Outline of Advanced Calculus (3rd ed.). McGraw-Hill.

章の要約

背景と主旨

これはシャウム・シリーズの「アウトライン」である。各章で基本的な定義、定理、方法をコンパクトに述べ、続いて例題を解き、補充の演習問題を付ける形式をとる。出版社によれば、第3版には完全に解かれた1,370問、課程の基礎の完全な復習、高等微積分の概念についての簡潔な説明が含まれている。教室で用いる教科書と併用することを意図しており、教科書に取って代わるものではない。

全16章は、実数と数列から、1変数・多変数の微分積分とベクトル解析を経て、級数、フーリエ法、特殊関数、複素変数へと進む。前半は基礎と多変数の微積分を与え、後半は級数と変換、複素変数の関数を扱う。

第1～3章：数；数列；関数、極限、連続

本書は実数の体系から始まる。集合、小数表示と幾何学的表示、指数・根・対数、そして実数の拠って立つ公理を扱う。第2章は数列、数列の極限、有界性、コーシーの収束判定法を扱い、無限級数にも最初に触れる。第3章は関数、極限、連続に移り、区分的連続や一様連続も含む。

第4～5章：導関数；積分

第4章は導関数、微分の規則とその応用を与える。第5章は定積分と、面積・体積の計算への利用を与え、数値計算にも注意を払う。

第6～8章：偏導関数；ベクトル；偏導関数の応用

第6章は極限、連続、導関数を多変数関数に拡張する。第7章はベクトル代数と幾何、ベクトル関数、勾配・発散・回転という微分演算子を扱う。第8章は偏導関数を幾何と最適化に応用し、ラグランジュの未定乗数法と積分記号下の微分を含む。

第9～10章：重積分；線積分、面積分と積分定理

第9章は二重積分・三重積分と変数変換を扱う。第10章は線積分と面積分、およびベクトル解析の積分定理、すなわちグリーンの定理、ストークスの定理、発散定理を導入する。

第11～12章：無限級数；広義積分

第11章は級数の収束判定法、べき級数、テイラー級数を扱う。第12章は広義積分とその収束を扱う。

第13～15章：フーリエ級数；フーリエ積分；ガンマ関数とベータ関数

第13章はフーリエ級数とその性質を、境界値問題への応用とともに導入する。第14章はこれらの考えをフーリエ積分と変換に拡張する。第15章はガンマ関数とベータ関数、およびそれらの関係を扱う。

第16章：複素変数の関数

最終章は複素解析の入門で、複素関数、積分、級数、留数を扱う。

主要概念

第1～5章：基礎

• 実数の完備性：極限の基礎となる公理的性質。
• コーシーの収束判定法：極限を知らなくても数列の収束を調べられる。
• 一様連続：区間全体でうまく振る舞う、より強い形の連続性。
• 微積分学の基本定理：微分と積分の関係。

第6～10章：多変数とベクトル解析

• 偏導関数とヤコビアン：多変数関数の導関数と、変数変換に現れる因子。
• 勾配、発散、回転：ベクトル解析の微分演算子。
• ラグランジュの未定乗数法：制約付きの最適化。
• グリーン、ストークス、発散の定理：領域上の積分とその境界上の積分との関係。

第11～16章：級数、変換、複素変数

• 収束判定法、べき級数、テイラー級数：級数が収束するかを判定し、関数を級数で表す方法。
• フーリエ級数とフーリエ積分：関数を三角関数の項で表すこと。
• ガンマ関数とベータ関数：積分で定義される特殊関数。
• 留数：積分を計算するための複素解析の道具。

批判的分析

長所

• 問題解決を中心とする。 1,370問の解答付き問題により、課程のほとんどの技法の手本が示され、練習用の補充問題も付く。
• コンパクトな網羅。 16章に、数列と連続から、ベクトル積分定理、フーリエ法、複素変数まで、典型的な高等微積分の講義の主題が一冊に集められている。
• 他の教科書と併用できる。 教室の教科書と並べて使うよう設計されており、追加の練習や素早い復習の資料になる。
• 整理された構成。 各章は、まず内容を述べてから例題を解くという同じ型に従うので、演習に必要な規則をすぐに見つけられる。

短所

• アウトラインであり、完全な教科書ではない。 理論は簡潔に述べられているので、動機づけや完全な証明がほしい読者は、解析学の教科書を傍らに置く必要がある。
• 叙述が限られる。 この形式は説明より方法を重んじるため、初学者は章どうしの関連が十分に展開されていないと感じることがある。
• 水準と範囲。 本書は1変数・多変数の微積分を扱い、測度論や関数解析には及ばないので、厳密な実解析の講義の代わりにはならない。

コースにおける位置づけ

Advanced Calculus は、多変数あるいは高等微積分の講義を補う読み物である。書目の他の本が扱う1変数の微積分を前提とする。Calculus Made Easy は中心的な考えへの非公式な入門、Calculus Volume 1 は1変数微積分の初級課程向けの無料教科書、Binmore の Calculus: Concepts and Methods と Thomas' Calculus は、説明と演習を伴って多変数微積分までこの分野を進める。

極限や導関数の考えが初めてなら、まずそれらを読む。そのうえで本書は、偏導関数、ベクトル解析、級数、フーリエ法、複素変数について、主教材より多くの例題がほしい学生のための参考・練習資料としてよく機能する。

本書の使い方

本書は、入門的な微積分を学び、高等課程の主題について解き方の練習をしたい、数学・物理・工学を学ぶ学部生に向けられている。

講義や主教材と並行して使う。各主題について、まず定義と定理の概要を読み、解答を見る前に自分で例題を試し、最後に補充問題に取り組む。第6～10章の多変数とベクトル解析は、多くの理工系の講義の中核であり、第11～16章は、級数、フーリエ解析、複素変数の講義にとって次のまとまりである。

理論は凝縮されているため、定理に完全な証明や動機づけが必要なときは、教科書を併用する。第1～5章は基礎の復習として使い、自分の講義ですでに扱った部分は飛ばす。