01 / 导读
导读
引用
Wrede, R. C., & Spiegel, M. R. (2010). Schaum's Outline of Advanced Calculus (3rd ed.). McGraw-Hill.
章节概要
背景与主旨
这是一本 Schaum 系列的“提要”（Outline）：每章以紧凑的形式陈述基本定义、定理和方法，然后演算例题，并配有补充习题。出版社称第三版含有1,370道完整解答的题目、对课程基础的完整复习，以及对高等微积分各概念的简明解释。它的设计是与课堂教材配合使用，而不是取代教材。
全书十六章，从实数与数列出发，经过一元和多元的微积分与向量分析，到级数、傅里叶方法、特殊函数和复变函数。前半部分提供基础和多元微积分；后半部分涵盖级数与变换，以及复变函数。
第1–3章：数；数列；函数、极限与连续
全书从实数系开始：集合、小数与几何表示、指数、根和对数，以及实数所依据的公理。第2章讨论数列、数列的极限、有界性和柯西收敛准则，并初步接触无穷级数。第3章转向函数、极限与连续，包括分段连续和一致连续。
第4–5章：导数；积分
第4章给出导数、求导法则及其应用。第5章给出定积分及其在计算面积和体积中的用途，并注意数值计算。
第6–8章：偏导数；向量；偏导数的应用
第6章把极限、连续和导数推广到多元函数。第7章涵盖向量代数与几何、向量函数，以及梯度、散度和旋度等微分算子。第8章把偏导数应用于几何和最优化，包括拉格朗日乘数法和积分号下求导。
第9–10章：多重积分；线积分、面积分与积分定理
第9章讨论二重和三重积分以及变量替换。第10章引入线积分和面积分，以及向量微积分的积分定理，即格林定理、斯托克斯定理和散度定理。
第11–12章：无穷级数；广义积分
第11章涵盖级数的收敛判别法、幂级数和泰勒级数。第12章讨论广义积分及其收敛性。
第13–15章：傅里叶级数；傅里叶积分；Gamma 与 Beta 函数
第13章介绍傅里叶级数及其性质，以及在边值问题中的应用。第14章把这些思想推广到傅里叶积分和变换。第15章涵盖 Gamma 函数和 Beta 函数及二者的关系。
第16章：复变函数
最后一章介绍复分析：复函数、积分、级数和留数。
核心概念
第1–5章：基础
- 实数的完备性：作为极限基础的公理性质。
- 柯西收敛准则：不知道极限也能检验数列是否收敛。
- 一致连续：在整个区间上表现良好的更强形式的连续性。
- 微积分基本定理：微分与积分之间的联系。
第6–10章：多元与向量微积分
- 偏导数与雅可比行列式：多元函数的导数，以及变量替换中的因子。
- 梯度、散度与旋度：向量分析的微分算子。
- 拉格朗日乘数法：带约束的最优化。
- 格林、斯托克斯与散度定理：区域上的积分与其边界上积分之间的关系。
第11–16章：级数、变换与复变量
- 收敛判别法、幂级数和泰勒级数：判断级数是否收敛，并用级数表示函数的方法。
- 傅里叶级数与积分：用三角项表示函数。
- Gamma 与 Beta 函数：由积分定义的特殊函数。
- 留数：复分析中用于计算积分的工具。
评析
优点
- 以解题为中心。 书中有1,370道已解答的题目，为课程中的大部分技巧提供了示范，并配有补充习题供练习。
- 内容紧凑。 十六章汇集了一门典型高等微积分课程的主题，从数列和连续性到向量积分定理、傅里叶方法和复变函数，集于一卷。
- 与其他教材兼容。 本书设计为与课堂教材并用，因而是额外练习和快速复习的好来源。
- 组织清晰。 每章都遵循先陈述、再演算例题的同一模式，读者可以很快找到某道习题所需的法则。
局限
- 是提要，而非完整教材。 理论只作简略陈述，想要了解动机或完整证明的读者需要在身旁备一本分析学教科书。
- 叙述有限。 这种形式重方法轻解释，初学者可能发现各章之间的联系没有被充分展开。
- 层次与范围。 本书涵盖一元和多元微积分，不涉及测度论或泛函分析，因此不能替代严格的实分析课程。
在课程中的定位
Advanced Calculus 是多元或高等微积分课程的辅助读物。它以书单中其他书所涵盖的一元微积分为前提：Calculus Made Easy 是核心思想的非正式入门读物，Calculus Volume 1 是免费的一元微积分首门课程教材，Binmore 的 Calculus: Concepts and Methods 和 Thomas' Calculus 则带着讲解和习题把这门学科推进到多元微积分。
如果极限和导数的概念对你还是新的，应先读那些书。然后，对于偏导数、向量微积分、级数、傅里叶方法和复变函数，当学生需要比主教材更多的例题时，这本书可以作为参考和练习来源。
如何使用本书
本书面向已学过入门微积分、希望在高等课程主题上做例题练习的数学、物理和工程专业本科生。
与课堂讲授或主教材并用。对每个主题，先读定义和定理的概要，再在看解答之前自己尝试例题，最后做补充习题。第6–10章的多元与向量微积分是大多数理工科课程的核心，第11–16章则是关于级数、傅里叶分析和复变函数的课程的下一个模块。
由于理论很浓缩，每当某个定理需要完整证明或动机说明时，请配合教科书使用。把第1–5章作为基础的复习，跳过你的课程已经讲过的内容。