01 / 导读
导读
引用
Judson, T. W. (2026). Abstract Algebra: Theory and Applications (2026 annual edition; Sage exercises by R. A. Beezer). Orthogonal Publishing L3C. Free official edition: https://judsonbooks.org/abstract-algebra-theory-and-applications/
章节概要
第1–2章：预备知识；整数
第1章列出读者需要的背景：先简要说明什么是证明以及如何书写证明，然后讨论集合、函数、关系、等价关系与划分。第2章把整数作为第一个代数模型来展开：数学归纳法与良序原理、带余除法、用欧几里得算法求最大公因数，以及算术基本定理。
第3章：群
本章通过整数的等价类（ℤₙ）和三角形的对称来引出群，然后用公理定义群，并给出包括矩阵群在内的大量例子，接着讨论基本性质与子群。附加习题一节说明 UPC 和 ISBN 等识别号中的校验位如何检测错误。
第4章：循环群
本章研究由单个元素生成的群，证明循环群的子群仍是循环群。它讨论复数乘法群、圆周群与单位根，以及用于计算模 n 大幂次的反复平方法，为密码学做准备。
第5章：置换群
置换用轮换记号和对换之积来表示；偶置换与奇置换引出交错群。本章把二面体群作为正多边形的对称群引入，并讨论立方体的运动群，提供大量非交换群的例子。
第6章：陪集与拉格朗日定理
陪集划分群，由此得到拉格朗日定理：子群的阶整除群的阶。本章指出其逆命题不成立，并推出费马定理和欧拉定理作为推论。
第7章：密码学导论
这是一个应用章节，涵盖私钥体制（移位密码、仿射密码和矩阵密码）以及基于欧拉定理的公钥密码，具体是 RSA，包括如何用 RSA 验证消息的真实性。附加习题探讨素性检验和因数分解。
第8章：代数编码理论
本章借助汉明距离引入检错码和纠错码；线性码被看作 ℤ₂ⁿ 的子群，用校验矩阵和生成矩阵描述，并通过伴随式和陪集译码高效译码。
第9章：同构
本章定义并研究同构的群；凯莱定理表明每个群都同构于一个置换群。随后引入外直积和内直积，并给出 ℤₘ × ℤₙ 为循环群的条件。
第10章：正规子群与商群
正规子群恰好是左陪集与右陪集相同的子群，它们使商群的构造成为可能。本章证明当 n ≥ 5 时交错群 Aₙ 是单群。
第11章：同态
群同态与核是同构的推广。本章证明第一、第二、第三同构定理和对应定理，并有关于自同构的附加习题。
第12章：矩阵群与对称
本章沿着克莱因把几何视为研究不变量之学的观点，讨论一般线性群、特殊线性群、正交群和欧几里得群，然后对平面上的有限对称群进行分类，并介绍壁纸群和晶体群。
第13章：群的结构
有限阿贝尔群基本定理把有限阿贝尔群分类为素数幂阶循环群的直积。后半部分引入次正规列与合成列、若尔当–赫尔德定理以及可解群，这些是伽罗瓦理论所需要的。
第14章：群作用
群在集合上的作用给出轨道和稳定子；群通过共轭作用于自身，由此得到类方程。伯恩赛德计数定理被用于计算着色数和对开关函数分类。
第15章：西罗定理
本章利用群作用证明三条西罗定理，作为拉格朗日定理的部分逆命题，并用它们证明某些群不是单群、对小阶群进行分类。章末有一个寻找小阶群的项目。
第16章：环
本章定义环、整环和域，例子包括矩阵、四元数和多项式。随后讨论环同态、理想、商环以及极大理想与素理想；最后一节把中国剩余定理应用于设计大整数并行计算的软件。
第17章：多项式
本章通过带余除法和多项式的根来研究多项式环，然后讨论不可约多项式，包括高斯引理和艾森斯坦判别法，证明当 F 是域时 F[x] 的每个理想都是主理想，并提供关于求解三次和四次方程的附加习题。
第18章：整环
本章构造整环的分式域，比较唯一分解整环、主理想整环和欧几里得整环，以高斯整数作为核心例子，并证明唯一分解整环上的多项式环仍是唯一分解整环。
第19章：格与布尔代数
本章把偏序集、格和布尔代数作为推广集合包含、并和交的结构加以介绍，对有限布尔代数进行分类，并把理论应用于开关电路。
第20章：向量空间
简短的一章讨论任意域上的向量空间——子空间、线性无关、基与维数——为处理域扩张准备工具。
第21章：域
本章展开代数扩张与超越扩张、扩张次数及其乘法性、代数闭包和分裂域，并把理论应用于经典尺规作图问题，证明不可能用直尺和圆规倍立方、三等分任意角或化圆为方。
第22章：有限域
本章证明对每个素数幂都存在唯一一个该阶的有限域，且其乘法群是循环群。有限域被应用于多项式（循环）码，并附有关于 BCH 码的附加习题。
第23章：伽罗瓦理论
域自同构和多项式的伽罗瓦群引出伽罗瓦理论基本定理，它把中间域与子群一一对应。应用包括根式可解性、一般五次方程不可根式求解，以及代数基本定理的一个证明。
核心概念
第1–2章：预备知识；整数
- 等价关系与划分：自反、对称、传递的关系，其等价类把集合分成互不相交的部分。
- 带余除法与欧几里得算法：带余数的除法，以及反复做除法以求最大公因数的方法。
第3–4章：群；循环群
- 群：带有结合运算、单位元和逆元的集合。
- 子群：在同一运算下自身也构成群的子集。
- 循环群：由一个元素生成的群；这样的群都同构于 ℤ 或某个 ℤₙ。
第5–6章：置换群；陪集与拉格朗日定理
- 轮换记号与奇偶性：把置换写成轮换，并按对换个数分为偶置换或奇置换。
- 二面体群：正 n 边形的对称群，有 2n 个元素。
- 拉格朗日定理：有限群的子群的阶整除群的阶。
第7–8章：密码学导论；代数编码理论
- RSA：一种公钥体制，其安全性基于分解两个大素数之积的困难性。
- 线性码：作为 ℤ₂ⁿ 子群的码，用生成矩阵和校验矩阵描述。
- 最小距离：码字之间汉明距离的最小值，决定能检测或纠正多少个错误。
第9–11章：同构；正规子群与商群；同态
- 凯莱定理：每个群都同构于一个置换群。
- 商群：正规子群的陪集所构成的群。
- 第一同构定理：同态的像同构于定义域模去核所得的商群。
第12–13章：矩阵群与对称；群的结构
- 正交群：保持长度和角度的矩阵全体，用于描述对称。
- 有限阿贝尔群基本定理：每个有限阿贝尔群都是素数幂阶循环群的直积。
- 可解群：具有各因子都为阿贝尔群的次正规列的群。
第14–15章：群作用；西罗定理
- 轨道与稳定子：一个点在群作用下的全部像，以及固定该点的子群。
- 伯恩赛德计数定理：轨道个数等于不动点个数的平均值。
- 西罗子群：具有最大素数幂阶的子群，其存在性与个数由西罗定理控制。
第16–18章：环；多项式；整环
- 理想与商环：对乘以环中元素封闭的子环，用于构造商环。
- 极大理想：商环为域的理想。
- 不可约多项式：在给定域上不能分解为更低次多项式之积的多项式。
- 唯一分解整环：分解为不可约元的方式在相差单位和顺序的意义下唯一的整环。
第19章：格与布尔代数
- 格：任意两个元素都有最小上界和最大下界的偏序集。
- 布尔代数：有补分配格，可作为集合运算和开关电路的模型。
第20–21章：向量空间；域
- 扩张次数：把较大的域看作较小域上的向量空间时的维数。
- 分裂域：使多项式分解为一次因式之积的最小扩域。
- 可构造数：能用尺规作出的长度，它必须位于次数为 2 的幂的扩张中。
第22–23章：有限域；伽罗瓦理论
- 伽罗瓦域：唯一的 pⁿ 阶有限域，其非零元构成循环群。
- 伽罗瓦群：保持基域不动的域扩张自同构所构成的群。
- 伽罗瓦理论基本定理：中间域与伽罗瓦群子群之间的对应。
评析
优点
- 应用与理论融为一体。 序言解释说，应用实例有助于激励初次接触严格证明的学生。密码学、编码理论、对称、计数、软件设计、开关电路、尺规作图和多项式码都以完整的章或节出现，学生因而能看到群、环、域为何重要。
- 结构灵活、指引清楚。 序言给出章节依赖图，以及一学期课程、偏理论的两学期课程和偏应用课程的建议大纲；应用章节可以删去而不破坏理论主线。
- 支持主动阅读。 每章都有课前回答的阅读问题，习题从计算型到理论型都有，许多章还有编程练习、项目和参考文献。部分习题的提示与答案收在附录中。
- 开放且支持计算。 本书以 GNU 自由文档许可证发布，用 PreTeXt 编写，有网页版、PDF 版和印刷版；配套的 Sage 习题（已用较新的 SageMath 版本测试）可在网页版和 Sage 版中使用。
局限
- 有些地方重广度轻深度。 部分章节很短——第20章向量空间只有几页，第19章与主线略有距离——模论、表示论以及超出基础的交换代数都没有涉及。
- 答案不完整。 附录只给出部分习题的提示与答案，证明往往只是概要，自学者需要其他方式来检验自己的论证。
- PDF 中没有 Sage 内容。 标准 PDF 省略了 Sage 小节，这些内容在网页版和单独的 Sage 版 PDF 中；需要计算部分的读者应使用那些版本。
- 需要一定的数学成熟度。 虽然没有列出正式的先修要求，序言假定读者熟悉矩阵和行列式，而第1章对证明的讨论较简短；没有上过证明课程的学生可能需要额外帮助。
书中的应用
应用占据了整章或整节：UPC 和 ISBN 校验位的检错（3.6 节）、快速模幂运算（4.3 节）、包括 RSA 在内的私钥与公钥密码（第7章）、线性码与伴随式译码的代数编码理论（第8章）、对称、壁纸群与晶体群（第12章）、用伯恩赛德定理计数着色与开关函数（第14章）、中国剩余定理在并行处理软件设计中的应用（16.5 节）、布尔代数与电路（第19章）、尺规作图（21.3 节）、多项式码与 BCH 码（第22章），以及多项式方程的根式可解性（23.3 节）。
在课程中的定位
在这份抽象代数书单中，Judson 的书和 Nathan Carter 的 Visual Group Theory 是最容易上手的两本。后者一般被视为对群论的直观、可视化入门，适合希望在学习 Judson 第3–15章之前或同时借助图形理解群结构的读者。Gallian 的 Contemporary Abstract Algebra 一般被描述为应用和习题丰富、使用广泛的本科教材，覆盖范围与 Judson 相近；可以以其中一本为主教材，另一本作为补充例题的来源。
Pinter 的 A Book of Abstract Algebra 也是第一门课的教材，以对话式的文字分成33个短章，从群讲到环、域扩张和伽罗瓦理论，并把大量理论放在习题中；适合与 Judson 并读，作为另一种讲法。Cameron 的 Introduction to Algebra 和 Allenby 的 Rings, Fields and Groups 都先讲环再讲群。Cameron 还进一步讲到向量空间、模、数系的构造、编码理论和伽罗瓦理论，适合读完 Judson 第16–23章后想在环、域和伽罗瓦理论上继续深入的学生。
如何使用本书
本书适用于一学期或两学期的本科课程，典型读者是数学专业学生，以及辅修数学的理科、工科和计算机科学学生。读者应能阅读证明，并了解基本的矩阵与行列式；第1–2章复习集合、等价关系、归纳法和整除性。
对于一学期课程，序言建议讲授第1–6章、第9、10、11章、第13章（前半）、第16、17章、第18章（前半）以及第20、21章，并按兴趣加入应用章节。若侧重应用，可纳入第7、8、12、14、19、22章；若是偏理论的两学期课程，则继续讲到西罗定理、有限域和伽罗瓦理论。先回答每章的阅读问题再做习题，用附录B核对部分答案，并利用网页版中的 Sage 习题对群、环、域进行实验。
版本与来源
本导读依据 Abstract Algebra: Theory and Applications 2026 年版（扉页日期为 2026 年 8 月 4 日，© 1997–2026 Thomas W. Judson 与 Robert A. Beezer，GNU 自由文档许可证），阅读的是官方图书页面 https://judsonbooks.org/abstract-algebra-theory-and-applications/ 链接的免费 PDF。导读参考了序言（课程安排、依赖图、习题、阅读问题和 Sage）、致谢、包括全部 23 章和附录的完整目录、每章引言和所有小节标题，以及主要定理的陈述和应用小节（包括 3.6、4.3、16.5、21.3 和 23.3 节）。