01 / 読書ガイド
読書ガイド
引用
Judson, T. W. (2026). Abstract Algebra: Theory and Applications (2026 annual edition; Sage exercises by R. A. Beezer). Orthogonal Publishing L3C. Free official edition: https://judsonbooks.org/abstract-algebra-theory-and-applications/
章の要約
第1〜2章：予備知識／整数
第1章は読者に必要な予備知識をまとめる。証明とは何か、どう書くかについての短い注意に続いて、集合、関数、関係、同値関係と分割を扱う。第2章は最初の代数的モデルとして整数を展開する。数学的帰納法と整列性、割り算の原理、ユークリッドの互除法による最大公約数、算術の基本定理である。
第3章：群
整数の同値類（ℤₙ）と三角形の対称性によって群の動機づけを行い、行列群を含む多くの例とともに公理的に定義する。基本的性質と部分群が続く。追加演習の節では、UPC や ISBN のような識別番号のチェックディジットがどのように誤りを検出するかを示す。
第4章：巡回群
一つの元で生成される群を調べ、巡回群の部分群は巡回群であることを証明する。複素数の乗法群、円周群と1のべき根、そして暗号への準備となる、nを法とする大きなべき乗を計算するための反復二乗法を扱う。
第5章：置換群
置換を巡回置換の記法と互換の積で表し、偶置換と奇置換から交代群に至る。正多角形の対称性の群として二面体群を導入し、立方体の運動群もあわせて扱い、非可換群の例を数多く与える。
第6章：剰余類とラグランジュの定理
剰余類が群を分割することからラグランジュの定理――部分群の位数は群の位数を割り切る――が得られる。逆は成り立たないことに触れ、系としてフェルマーの定理とオイラーの定理を導く。
第7章：暗号入門
応用の章であり、秘密鍵方式（シフト暗号、アフィン暗号、行列暗号）と、オイラーの定理に基づく公開鍵暗号、具体的には RSA を扱い、RSA を使ってメッセージが本物であることを確認する方法も示す。追加演習では素数判定と素因数分解を探究する。
第8章：代数的符号理論
ハミング距離を用いて誤り検出符号と誤り訂正符号を導入する。線形符号を ℤ₂ⁿ の部分群として扱い、パリティ検査行列と生成行列で記述し、シンドロームと剰余類による復号で効率的に復号する。
第9章：同型
同型な群を定義して調べる。ケーリーの定理は、すべての群が置換群と同型であることを示す。外部直積と内部直積を導入し、ℤₘ × ℤₙ が巡回群となる条件を与える。
第10章：正規部分群と剰余群
正規部分群とは左剰余類と右剰余類が一致する部分群のことであり、それによって剰余群（商群）を構成できる。この章では n ≥ 5 のとき交代群 Aₙ が単純であることを証明する。
第11章：準同型
群の準同型写像と核は同型写像を一般化したものである。第一・第二・第三同型定理と対応定理を証明し、追加演習で自己同型を扱う。
第12章：行列群と対称性
幾何学を不変量の研究とみなすクラインの観点に沿って、一般線形群、特殊線形群、直交群、ユークリッド群を扱い、続いて平面の有限対称群を分類し、壁紙群と結晶群を説明する。
第13章：群の構造
有限アーベル群の基本定理により、有限アーベル群は素数べき位数の巡回群の直積として分類される。後半では、ガロア理論に必要な正規列と組成列、ジョルダン＝ヘルダーの定理、可解群を導入する。
第14章：群作用
集合への群作用から軌道と固定部分群が得られ、共役による群の自分自身への作用から類等式が導かれる。バーンサイドの数え上げ定理を、彩色の数え上げとスイッチング関数の分類に応用する。
第15章：シローの定理
群作用を用いて、ラグランジュの定理の部分的な逆として三つのシローの定理を証明し、ある種の群が単純でないことを示したり、小さな群を分類したりするのに応用する。最後に小さな位数の群を探すプロジェクトがある。
第16章：環
行列、四元数、多項式などの例とともに、環、整域、体を定義する。環準同型、イデアル、剰余環、極大イデアルと素イデアルが続き、最後の節では中国の剰余定理を、大きな整数を並列計算するソフトウェアの設計に応用する。
第17章：多項式
割り算の原理と多項式の根を通じて多項式環を調べる。続いて、ガウスの補題とアイゼンシュタインの判定法を含む既約多項式を扱い、F が体のとき F[x] のすべてのイデアルが単項イデアルであることを示し、三次方程式と四次方程式の解法に関する追加演習を設けている。
第18章：整域
整域の商体を構成する。一意分解整域、単項イデアル整域、ユークリッド整域を比較し、ガウス整数を中心的な例とし、一意分解整域上の多項式環が一意分解整域であることを証明する。
第19章：束とブール代数
集合の包含、和集合、共通部分を一般化する構造として、半順序集合、束、ブール代数を導入する。有限ブール代数を分類し、その理論をスイッチング回路に応用する。
第20章：ベクトル空間
任意の体上のベクトル空間――部分空間、一次独立性、基底、次元――を扱う短い章で、体の拡大を扱うのに必要な道具を用意する。
第21章：体
代数拡大と超越拡大、拡大次数とその乗法性、代数的閉包、分解体を展開する。この理論を古典的な作図問題に応用し、定規とコンパスでは立方体の倍積、任意の角の三等分、円の正方形化が不可能であることを示す。
第22章：有限体
各素数べきに対してその位数の有限体がただ一つ存在し、その乗法群が巡回群であることを証明する。有限体を多項式（巡回）符号に応用し、BCH 符号に関する追加演習を設けている。
第23章：ガロア理論
体の自己同型と多項式のガロア群から、中間体と部分群を対応させるガロア理論の基本定理に至る。応用として、べき根による可解性、一般の五次方程式が解けないこと、代数学の基本定理の証明を扱う。
主要概念
第1〜2章：予備知識／整数
- 同値関係と分割：反射的・対称的・推移的な関係で、その類が集合を互いに交わらない部分に分ける。
- 割り算の原理とユークリッドの互除法：余りのある割り算と、それを繰り返して最大公約数を求める方法。
第3〜4章：群／巡回群
- 群：結合的な演算、単位元、逆元をもつ集合。
- 部分群：同じ演算でそれ自身が群になる部分集合。
- 巡回群：一つの元で生成される群。そのような群はすべて ℤ またはある ℤₙ と同型である。
第5〜6章：置換群／剰余類とラグランジュの定理
- 巡回置換の記法と偶奇性：置換を巡回置換で書き、互換によって偶置換か奇置換かに分類すること。
- 二面体群：正 n 角形の対称性の群で、2n 個の元をもつ。
- ラグランジュの定理：有限群の部分群の位数は群の位数を割り切る。
第7〜8章：暗号入門／代数的符号理論
- RSA：二つの大きな素数の積を素因数分解することの困難さに安全性の根拠をおく公開鍵方式。
- 線形符号：ℤ₂ⁿ の部分群である符号で、生成行列とパリティ検査行列で記述される。
- 最小距離：符号語間のハミング距離の最小値で、いくつの誤りを検出・訂正できるかを決める。
第9〜11章：同型／正規部分群と剰余群／準同型
- ケーリーの定理：すべての群は置換群と同型である。
- 剰余群：正規部分群による剰余類全体がなす群。
- 第一同型定理：準同型写像の像は、定義域を核で割った剰余群と同型である。
第12〜13章：行列群と対称性／群の構造
- 直交群：長さと角度を保つ行列全体で、対称性の記述に使われる。
- 有限アーベル群の基本定理：有限アーベル群はどれも素数べき位数の巡回群の直積である。
- 可解群：剰余群がすべてアーベル群となる正規列をもつ群。
第14〜15章：群作用／シローの定理
- 軌道と固定部分群：群による点の像全体と、その点を固定する部分群。
- バーンサイドの数え上げ定理：軌道の個数は不動点の個数の平均に等しい。
- シロー部分群：最大の素数べき位数をもつ部分群で、その存在と個数をシローの定理が制御する。
第16〜18章：環／多項式／整域
- イデアルと剰余環：環の元による乗法で閉じた部分環で、商環を作るのに使われる。
- 極大イデアル：剰余環が体になるイデアル。
- 既約多項式：与えられた体上でより低い次数の多項式の積に分解できない多項式。
- 一意分解整域：既約元への分解が単数倍と順序を除いて一意である整域。
第19章：束とブール代数
- 束：任意の二元が最小上界と最大下界をもつ半順序集合。
- ブール代数：可補分配束で、集合演算やスイッチング回路のモデルとなる。
第20〜21章：ベクトル空間／体
- 拡大次数：大きい体を小さい体上のベクトル空間とみたときの次元。
- 分解体：多項式が一次式の積に分解する最小の拡大体。
- 作図可能数：定規とコンパスで得られる長さで、次数が2のべきである拡大に含まれなければならない。
第22〜23章：有限体／ガロア理論
- ガロア体：位数 pⁿ のただ一つの有限体で、零でない元は巡回群をなす。
- ガロア群：基礎体を固定する、体の拡大の自己同型全体がなす群。
- ガロア理論の基本定理：中間体とガロア群の部分群の間の対応。
批判的分析
長所
- 理論と一体化した応用。 序文は、厳密な証明に初めて出会う学生の動機づけに応用例が役立つと説明している。暗号、符号理論、対称性、数え上げ、ソフトウェア設計、スイッチング回路、作図問題、多項式符号が独立した章や節として登場するので、学生は群・環・体がなぜ重要なのかを理解できる。
- 明確な指針をもつ柔軟な構成。 序文には章の依存関係図と、1学期の授業、理論重視の2学期の授業、応用重視の授業のための推奨シラバスが示されている。応用の章は理論の流れを壊さずに省ける。
- 能動的な読書の支援。 各章には授業前に答える読解問題、計算的なものから理論的なものまでの演習があり、多くの章にプログラミング演習、プロジェクト、参考文献がある。選ばれた演習のヒントと解答は付録にある。
- オープンで計算にも対応。 本書は GNU フリー文書利用許諾契約書のもとで公開され、PreTeXt で書かれてウェブ版・PDF版・印刷版があり、最近の SageMath で検証された Sage 演習がウェブ版と Sage 版で利用できる。
短所
- ところどころ深さより幅を優先。 短い章もあり――第20章のベクトル空間は数ページしかなく、第19章は主な流れからやや離れている――加群論、表現論、基礎を超える可換環論は扱われていない。
- 解答は部分的。 付録は選ばれた演習のヒントと解答だけを与え、証明は概略にとどまることが多いので、独習者は自分の議論を確かめる別の手段が必要である。
- PDF には Sage の内容がない。 標準のPDFは Sage の節を省いており、それらはウェブ版と別の Sage 版PDFに含まれている。計算の要素を求める読者はそちらを使う必要がある。
- ある程度の成熟を前提とする。 正式な前提知識は挙げられていないが、序文は行列と行列式への慣れを想定しており、第1章の証明の扱いは簡潔である。証明の授業を受けたことのない学生には支援が必要かもしれない。
本書で扱う応用
応用は章全体や節を占めている。UPC と ISBN のチェックディジットによる誤り検出（3.6節）、高速な剰余べき乗（4.3節）、RSA を含む秘密鍵暗号と公開鍵暗号（第7章）、線形符号とシンドローム復号による代数的符号理論（第8章）、対称性、壁紙群、結晶群（第12章）、彩色とスイッチング関数のバーンサイドによる数え上げ（第14章）、並列処理ソフトウェア設計における中国の剰余定理（16.5節）、ブール代数と電気回路（第19章）、定規とコンパスによる作図（21.3節）、多項式符号と BCH 符号（第22章）、そして多項式方程式のべき根による可解性（23.3節）である。
コースにおける位置づけ
この抽象代数のリストで最も取り組みやすいのは、Judson の本と Nathan Carter の Visual Group Theory である。後者は一般に、群への視覚的で直観的な入門書とされ、Judson の第3〜15章の前に、あるいは並行して群の構造を図で見たい読者に向いている。Gallian の Contemporary Abstract Algebra は一般に、応用と演習が豊富な広く使われる学部教科書とされ、Judson と似た範囲を扱う。どちらか一方を主教科書にし、他方を追加の例の供給源にできる。
Pinter の A Book of Abstract Algebra も最初の講義向けの本で、対話的な文体の33の短い章で群から環、体の拡大、ガロア理論へと進み、理論の多くを演習問題の中に置いている。Judson と並行して、別の角度からの説明として読むとよい。Cameron の Introduction to Algebra と Allenby の Rings, Fields and Groups はどちらも群より先に環を扱う。Cameron はさらにベクトル空間、加群、数の体系の構成、符号理論、ガロア理論へ進むので、Judson の第16〜23章を読んだ後に環、体、ガロア理論をさらに学びたい学生に向いている。
本書の使い方
本書は1学期または2学期の学部授業向けであり、典型的な読者は数学専攻の学生や、数学を副専攻とする理学・工学・計算機科学の学生である。読者は証明を読むことに慣れ、基本的な行列と行列式を知っている必要がある。第1〜2章で集合、同値関係、帰納法、整除性を復習する。
1学期の場合、序文は第1〜6章、第9・10・11章、第13章（前半）、第16・17章、第18章（前半）、第20・21章を勧め、関心に応じて応用の章を加えるとしている。応用を重視するなら第7・8・12・14・19・22章を含め、理論的な2学期の授業ならシローの定理、有限体、ガロア理論まで進む。各章の読解問題に答えてから演習に取り組み、付録Bで選ばれた解答を確かめ、ウェブ版の Sage 演習を使って群・環・体を実験するとよい。
版と出典
本ガイドは Abstract Algebra: Theory and Applications の2026年版（タイトルページの日付は2026年8月4日、© 1997–2026 Thomas W. Judson and Robert A. Beezer、GNU フリー文書利用許諾契約書）に基づき、公式の書籍ページ https://judsonbooks.org/abstract-algebra-theory-and-applications/ からリンクされた無料PDFを読んで作成した。序文（授業計画、依存関係図、演習、読解問題、Sage）、謝辞、全23章と付録を含む目次全体、各章の導入部とすべての節見出し、主要な定理の主張と応用の節（3.6節、4.3節、16.5節、21.3節、23.3節を含む）を参照している。