抽象代数教程

引用

Pinter, C. C. (2010). A Book of Abstract Algebra (2nd ed.). Dover Publications. Unabridged republication of the second edition (McGraw-Hill, 1990); first edition 1982.

章节概要

全书 33 章篇幅都不长，每章先以与学生对话的方式讨论一个中心概念，再接上长长的习题组；目录中以斜体标出的主题只在习题中展开。

第1章：为什么要学抽象代数？

这是一章历史性的引言，讨论代数的历史、新的代数、代数结构、公理与公理化代数，以及抽象化。前言说，本书一开始就许诺要证明五次方程不能用根式求解，并在第 33 章兑现这一承诺。

第2–5章：运算／群的定义／群的基本性质／子群

从运算及其性质出发引入群（有限群与无限群、阿贝尔群与非阿贝尔群，以及群表），再讨论群的基本性质、子群、生成元与定义关系。习题组补充了最大似然译码、直积、凯莱图、群的中心以及群码。

第6–8章：函数／置换群／有限集合上的置换

在置换群之前先复习单射、满射和双射（习题涉及有限状态机与自动机）。接着讲对称群和二面体群，习题中有一个在人类学中的应用；然后是轮换、对换、奇置换与偶置换，以及交错群。

第9–11章：同构／群元素的阶／循环群

讨论同构与不同构的群、凯莱定理，以及（在习题中）自同构；随后是元素的幂、指数律、元素的阶，以及循环群及其子群。

第12–13章：划分与等价关系／陪集计数

等价关系为拉格朗日定理及其推论做好准备；习题概览了阶不超过 10 的群，并涉及共轭元素和群作用。

第14–16章：同态／商群／同态基本定理

由同态、正规子群和核引出商群与同态基本定理。习题组走得更远：类方程、同构定理与对应定理、柯西定理与西罗定理，以及有限阿贝尔群的分解。

第17–23章：环：定义与基本性质／理想与同态／商环／整环／整数／素因子分解／数论初步（选学）

从环、整环和域开始，讨论理想、商环、素理想与极大理想，以及特征、有限域和分式域。整数被刻画为有序整环，并由此得到唯一分解。选学的第 23 章讨论同余、费马定理与欧拉定理以及中国剩余定理。

第24–26章：多项式环／多项式的因式分解／多项式中的代入

讨论多项式环、域上的带余除法、不可约多项式与 F[x] 中的唯一分解，然后是根与因式、ℚ 上和实数上的多项式、艾森斯坦判别法以及插值。

第27–30章：域的扩张／向量空间／域扩张的次数／尺规作图

引入代数元与超越元以及极小多项式；用简短的一章线性代数（线性无关、基、维数、线性变换）来定义扩张次数；进而讨论单扩张与逐次扩张、可作图数与不可能的作图。

第31–33章：伽罗瓦理论：序曲／伽罗瓦理论：核心／用根式解方程

先准备重根、根域与扩域的同构，再讨论域的自同构、伽罗瓦群、伽罗瓦对应与基本定理；最后借助根式扩张和可解群，以五次方程不可根式求解作结。

附录A–C：集合论复习／整数复习／数学归纳法复习

第二版新增的简短复习，各附有习题，适合想先从预备知识讲起的课程；书末还有部分习题的答案。

核心概念

第1–13章：群

• 群：带有满足结合律的运算、单位元和逆元的集合；运算可交换时称为阿贝尔群。
• 轮换分解：有限集合上的任一置换都可写成不相交轮换之积，并且要么是偶置换，要么是奇置换。
• 同构：保持运算的双射；凯莱定理表明任何群都同构于一个置换群。
• 拉格朗日定理：有限群的子群的阶整除群的阶。

第14–16章：同态与商群

• 正规子群与核：同态的核总是正规子群。
• 同态基本定理：同态的像同构于定义域对核的商群。

第17–26章：环、整数与多项式

• 整环与域：没有零因子的含幺交换环，以及每个非零元都可逆的交换环。
• 素理想与极大理想：商环分别为整环和域的理想。
• 不可约多项式：在给定域上不能分解为更低次多项式之积的多项式。

第27–33章：域与伽罗瓦理论

• 扩张次数：把大域看作小域上的向量空间时的维数；它解释了为什么某些尺规作图不可能完成。
• 伽罗瓦群：固定基域的扩域自同构所成的群，基本定理把它的子群与中间域对应起来。
• 可解群：与根式可解性相对应的群论条件。

评析

优点

• 先讲动机，再讲形式。 前言说明，本书避免“定义—定理—证明—推论”的固定套路，以与学生对话的方式写成，把概念追溯到其来源和熟悉的直观。证明很少超过几行。
• 背景知识随用随补。 置换群之前复习函数，拉格朗日定理之前讲等价关系，附录 A–C 复习集合、整数和归纳法，因此不必另修一门预备课程。
• 习题是全书的核心。 Allen Stenger 在 MAA Reviews 的书评中指出，全书一半以上的篇幅用于成系列的问题。带标题的习题组从计算到简短证明，再到证明新结果的题组，一直延伸到西罗定理、二次剩余和代数闭包等进阶内容，让能力较强的学生有继续深入的空间。
• 目标明确。 多项式、域扩张和作图各章都通向五次方程的不可解性，因此后半部分各章的目的一目了然。

局限

• 许多理论只出现在习题中。 同构定理、对应定理、柯西定理与西罗定理以及有限阿贝尔群的结构只在习题组中出现。习题布置得少的课程会错过这些内容。
• 答案帮助有限。 只有标 # 的习题有答案，前言称这些只是部分解答或关键提示。
• 范围传统且固定。 Stenger 认为本书的选题和处理方式都非常传统，Dover 版是 1990 年版的原样重印。唯一分解只针对 ℤ 和 F[x] 讨论，没有一般整环的理论，也没有模等更进一步的主题。
• 应用处于边缘。 第二版前言说明，应用（主要是编码理论和自动机理论）只加在习题部分，可以省略。

书中的应用

应用只出现在习题组中：最大似然译码（第 3 章）、群码与汉明码（第 5 章）、有限状态机与自动机（第 6 章），以及置换群在人类学中的应用（第 7 章）。书中没有涉及密码学。

在课程中的定位

Pinter 是一本对话式的入门教材，涵盖群、环、域，并以伽罗瓦理论收尾。Nathan Carter 的 Visual Group Theory 借助图形和配套软件只讲群论，适合在 Pinter 第 1–16 章之前或同时阅读；Carter 没有涉及的环、域和伽罗瓦理论则由 Pinter 补上。Thomas Judson 的免费教材 Abstract Algebra: Theory and Applications 覆盖相近的范围，把密码学和编码理论作为独立章节，并提供可选的 Sage 练习；想了解应用或做计算机实验时，可与 Pinter 配合使用。Joseph Gallian 的 Contemporary Abstract Algebra 是一本篇幅更大的教材，例题和历史注记丰富，适合希望覆盖面更广、或已在离散数学课上接触过证明的学生。

读完 Pinter 之后，Peter Cameron 的 Introduction to Algebra 是自然的下一步：它先讲环再讲群，并加入模、数系的构造及更多专题，可以补足 Pinter 放在习题里或未涉及的内容。R. B. J. T. Allenby 的 Rings, Fields and Groups 对同样三种结构的处理更严格、更全面，宜在学完入门课程后阅读，而不是用来代替入门课程。

如何使用本书

本书适合作为抽象代数的第一门课程。Dover 称它适合数学专业的三、四年级学生和未来的数学教师，前言也说本书主要面向“一般水平的学生”。不要求先修代数课程：基础知识随需补充，需要的是中学代数以及阅读和书写简短证明的意愿。如果对集合、整数或归纳法不熟悉，先复习附录。

实用的学习计划：

• 第一学期（群）： 第 1–16 章。第 1 章快速浏览以把握全局；第 12–16 章是群论的核心，需要投入最多时间。
• 第二学期或后半学期（环与域）： 第 17–22 章和第 24–27 章，然后是第 29–30 章。第 23 章标明为选学。学过线性代数的学生可以略读第 28 章。
• 伽罗瓦理论： 第 31–33 章，需要第 24–29 章以及第 14–16 章的商群内容作为基础。
• 一学期概览课程： 第 1–19 章；如果已熟悉运算、函数和等价关系，可略读第 2、6、12 章；时间允许再学第 24、25、27 章。

把习题组当作正文来学。每章先做开头的计算题组，至少做一组简短证明题，再做一组证明新结果的后续题组；标 † 的题组要按顺序做。标 # 的习题在书末有部分答案；其余习题最好请同学或老师帮忙检查证明。打算继续深入学习代数的学生，应完成第 16 章关于同构定理和西罗定理的习题组，因为正文没有证明它们。第 3 章和第 5–7 章的应用题组是选做内容，可按兴趣添加。