動態經濟學中的微分方程、穩定性與混沌

引用

Brock, W. A., & Malliaris, A. G. (1989). Differential Equations, Stability and Chaos in Dynamic Economics. North-Holland.

章節概要

本書屬於North-Holland出版社的Advanced Textbooks in Economics叢書，約390頁。它向經濟學家介紹三種數學方法：常微分方程、穩定性技術和混沌動力學。出版社的內容簡介列出了涉及的理論：解的存在與延拓、唯一性、對初始資料和引數的依賴、線性系統、線性系統的穩定性、二維相位分析、區域性與全域性穩定性、穩定流形、最優控制的穩定性，以及混沌動力學的經驗檢驗。應用包括微觀經濟動態、投資理論、宏觀經濟政策、資本理論、經濟週期和金融經濟學。每章末尾都有兩節，一節是雜項應用與練習，一節是補充評述與參考文獻；全書還提供了500多篇使用微分方程、穩定性分析和混沌動力學的文獻指南。

第1–2章：Basic Properties of Differential Equations（微分方程的基本性質）；Linear Differential Equations（線性微分方程）

前兩章提供數學基礎。第一章講微分方程的基本性質；出版社列出的主題包括解的存在、延拓與唯一性，以及對初始資料和引數的依賴。第二章轉向線性微分方程和線性系統的行為。

第3–4章：Stability Methods: An Introduction（穩定性方法導論）；Advanced Stability Methods（高階穩定性方法）

兩章發展穩定性分析。導論從線性系統的穩定性和二維相位分析入手。高階一章繼續講區域性與全域性穩定性和穩定流形，即非線性經濟模型所需要的工具。

第5章：Stability of Optimal Control（最優控制的穩定性）

本章把穩定性分析應用於最優控制，即經濟主體在時間上選擇路徑的框架。它把數學各章與經濟理論中使用的動態最最佳化模型聯絡起來。

第6–9章：Microeconomic Dynamics（微觀經濟動態）；Stability in Investment Theory（投資理論中的穩定性）；Macroeconomic Policies（宏觀經濟政策）；Stability in Capital Theory（資本理論中的穩定性）

全書中段是一連串應用。第6、7章講微觀經濟動態和投資理論，第8章講宏觀經濟政策，第9章講資本理論，每章都使用前面各章的穩定性方法。

第10章：Introduction to Chaos and Other Aspects of Nonlinearity（混沌及非線性其他方面導論）

最後一個編號章節介紹混沌動力學和其他非線性行為，包括出版社簡介提到的混沌經驗檢驗。全書最後是附錄、參考書目和索引。

核心概念

第1–2章

• 解的存在與唯一性：微分方程具有唯一明確解的條件。
• 對初始資料和引數的依賴：起點或引數變化時，解如何變化。
• 線性系統：解與穩定性可以被完整分析的一類系統。

第3–5章

• 線性系統的穩定性：系統是回到還是偏離其穩態。
• 二維相位分析：在平面上研究兩變數系統的行為。
• 區域性與全域性穩定性；穩定流形：處理非線性系統的工具。
• 最優控制的穩定性：動態最最佳化問題的穩定性結果。

第6–10章

• 微觀經濟動態、投資理論、宏觀經濟政策、資本理論：目錄中列出的應用領域。
• 混沌動力學：行為看似不規則的確定性非線性系統，並有檢測它的經驗檢驗。

評析

優點

• 目的明確。 本書圍繞三種點名的方法展開，並說明了每種方法的用途：常微分方程、穩定性技術和混沌動力學。目錄依此順序推進，從基本性質到線性系統、穩定性、最優控制、應用，再到混沌。
• 應用於與動態最相關的經濟學領域。 十章中有四章把這些方法應用於微觀經濟動態、投資、宏觀經濟政策和資本理論，簡介還提到了經濟週期和金融經濟學。
• 練習和文獻指引。 每章最後的兩節，即應用與練習以及補充評述與參考文獻，為讀者提供了可做的習題，並給出進入500多篇參考文獻的路徑。

局限

• 年代。 本書出版於1989年，書中沒有後來關於經濟學中動態系統、混沌及其經驗檢驗的研究。它是方法以及當時文獻的來源。
• 數學要求。 出版社把它面向對經濟理論有特殊興趣的經濟學研究生、經濟學研究人員和應用數學家，其目錄從微分方程的一般性質開始，而不是先複習微積分和線性代數。
• 範圍。 本書集中於連續時間的微分方程；模型是離散時間的讀者需要其他材料。

在課程中的定位

在數理經濟學書單中，這是一本專門的研究生層次著作。Lis與Rosser的Basic Mathematics for Economists和Sydsaeter、Hammond、Strom與Carvajal的Essential Mathematics for Economic Analysis是為經濟學學生寫的入門書，從初等技巧講起。Chiang與Wainwright的Fundamental Methods of Mathematical Economics是歷史悠久的中級教材，從均衡分析和矩陣講到最最佳化，再講到動態工具；Ian Jacques的Mathematics for Economics and Business是面向經濟與商業的一般數學教材。

對於已經學完Chiang與Wainwright中動態工具、需要研究級動態模型背後的穩定性理論、最優控制和混沌的讀者，Brock與Malliaris是自然的下一步。

如何使用本書

本書適合經濟理論方向的研究生、構建動態模型的研究人員，以及對經濟應用感興趣的應用數學家。熟悉微積分和線性代數，並具備研究生水平的經濟理論，是合理的起點。

實用的閱讀安排：

• 核心： 第1至4章；用到最優控制的讀者再讀第5章。務必做練習，因為每章末尾都有。
• 應用： 選擇與研究興趣相符的應用章節：微觀經濟動態、投資、宏觀經濟政策或資本理論。
• 混沌： 最後讀第10章，把它當作需要用較新文獻補充的導論。
• 作為參考： 各章末尾的補充評述是當時文獻的指南，可藉以查詢原始論文。