动态经济学中的微分方程、稳定性与混沌

引用

Brock, W. A., & Malliaris, A. G. (1989). Differential Equations, Stability and Chaos in Dynamic Economics. North-Holland.

章节概要

本书属于North-Holland出版社的Advanced Textbooks in Economics丛书，约390页。它向经济学家介绍三种数学方法：常微分方程、稳定性技术和混沌动力学。出版社的内容简介列出了涉及的理论：解的存在与延拓、唯一性、对初始数据和参数的依赖、线性系统、线性系统的稳定性、二维相位分析、局部与全局稳定性、稳定流形、最优控制的稳定性，以及混沌动力学的经验检验。应用包括微观经济动态、投资理论、宏观经济政策、资本理论、经济周期和金融经济学。每章末尾都有两节，一节是杂项应用与练习，一节是补充评述与参考文献；全书还提供了500多篇使用微分方程、稳定性分析和混沌动力学的文献指南。

第1–2章：Basic Properties of Differential Equations（微分方程的基本性质）；Linear Differential Equations（线性微分方程）

前两章提供数学基础。第一章讲微分方程的基本性质；出版社列出的主题包括解的存在、延拓与唯一性，以及对初始数据和参数的依赖。第二章转向线性微分方程和线性系统的行为。

第3–4章：Stability Methods: An Introduction（稳定性方法导论）；Advanced Stability Methods（高级稳定性方法）

两章发展稳定性分析。导论从线性系统的稳定性和二维相位分析入手。高级一章继续讲局部与全局稳定性和稳定流形，即非线性经济模型所需要的工具。

第5章：Stability of Optimal Control（最优控制的稳定性）

本章把稳定性分析应用于最优控制，即经济主体在时间上选择路径的框架。它把数学各章与经济理论中使用的动态最优化模型联系起来。

第6–9章：Microeconomic Dynamics（微观经济动态）；Stability in Investment Theory（投资理论中的稳定性）；Macroeconomic Policies（宏观经济政策）；Stability in Capital Theory（资本理论中的稳定性）

全书中段是一连串应用。第6、7章讲微观经济动态和投资理论，第8章讲宏观经济政策，第9章讲资本理论，每章都使用前面各章的稳定性方法。

第10章：Introduction to Chaos and Other Aspects of Nonlinearity（混沌及非线性其他方面导论）

最后一个编号章节介绍混沌动力学和其他非线性行为，包括出版社简介提到的混沌经验检验。全书最后是附录、参考书目和索引。

核心概念

第1–2章

• 解的存在与唯一性：微分方程具有唯一明确解的条件。
• 对初始数据和参数的依赖：起点或参数变化时，解如何变化。
• 线性系统：解与稳定性可以被完整分析的一类系统。

第3–5章

• 线性系统的稳定性：系统是回到还是偏离其稳态。
• 二维相位分析：在平面上研究两变量系统的行为。
• 局部与全局稳定性；稳定流形：处理非线性系统的工具。
• 最优控制的稳定性：动态最优化问题的稳定性结果。

第6–10章

• 微观经济动态、投资理论、宏观经济政策、资本理论：目录中列出的应用领域。
• 混沌动力学：行为看似不规则的确定性非线性系统，并有检测它的经验检验。

评析

优点

• 目的明确。 本书围绕三种点名的方法展开，并说明了每种方法的用途：常微分方程、稳定性技术和混沌动力学。目录依此顺序推进，从基本性质到线性系统、稳定性、最优控制、应用，再到混沌。
• 应用于与动态最相关的经济学领域。 十章中有四章把这些方法应用于微观经济动态、投资、宏观经济政策和资本理论，简介还提到了经济周期和金融经济学。
• 练习和文献指引。 每章最后的两节，即应用与练习以及补充评述与参考文献，为读者提供了可做的习题，并给出进入500多篇参考文献的路径。

局限

• 年代。 本书出版于1989年，书中没有后来关于经济学中动态系统、混沌及其经验检验的研究。它是方法以及当时文献的来源。
• 数学要求。 出版社把它面向对经济理论有特殊兴趣的经济学研究生、经济学研究人员和应用数学家，其目录从微分方程的一般性质开始，而不是先复习微积分和线性代数。
• 范围。 本书集中于连续时间的微分方程；模型是离散时间的读者需要其他材料。

在课程中的定位

在数理经济学书单中，这是一本专门的研究生层次著作。Lis与Rosser的Basic Mathematics for Economists和Sydsaeter、Hammond、Strom与Carvajal的Essential Mathematics for Economic Analysis是为经济学学生写的入门书，从初等技巧讲起。Chiang与Wainwright的Fundamental Methods of Mathematical Economics是历史悠久的中级教材，从均衡分析和矩阵讲到最优化，再讲到动态工具；Ian Jacques的Mathematics for Economics and Business是面向经济与商业的一般数学教材。

对于已经学完Chiang与Wainwright中动态工具、需要研究级动态模型背后的稳定性理论、最优控制和混沌的读者，Brock与Malliaris是自然的下一步。

如何使用本书

本书适合经济理论方向的研究生、构建动态模型的研究人员，以及对经济应用感兴趣的应用数学家。熟悉微积分和线性代数，并具备研究生水平的经济理论，是合理的起点。

实用的阅读安排：

• 核心： 第1至4章；用到最优控制的读者再读第5章。务必做练习，因为每章末尾都有。
• 应用： 选择与研究兴趣相符的应用章节：微观经济动态、投资、宏观经济政策或资本理论。
• 混沌： 最后读第10章，把它当作需要用较新文献补充的导论。
• 作为参考： 各章末尾的补充评述是当时文献的指南，可借以查找原始论文。